MULTICOLINEALIDAD PERFECTA

 

Texto de René A. Fernández Montt (CV)
Basado en Gujarati, “Econometría”

 

Naturaleza de la multicolinealidad: Originalmente el término de multicolinealidad significó la existencia de una relación perfecta o exacta entre las variables explicativas de un modelo de regresión. En la actualidad se incluye en la multicolinealidad el término de error estocástico. Representándose de la sgte forma:

.λ1 x1 + λ2 x2 + λk xk + νi  = 0

La multicolinealidad así referida se refiere solamente a relaciones lineales entre variables x. No elimina las relaciones no lineales existentes entre ellas.

Se supone que en un modelo clásico de regresión lineal no hay multicolinealidad debido a que :

Si la multicolinealidad es perfecta los coeficientes de la regresión de las variables x son indeterminados y sus errores estándar son infinitos. Si la multicolinealidad es menos que perfecta los coef de regresión poseen grandes errores estándar, lo que hace que los coef no pueden ser estimados con gran precisión.

 

Fuentes de Multicolinealidad para Montgomery y Peck:

1. El método de recolección de información empleado, es decir muestras obtenidas en un rango limitado de valores.
2. Restricciones sobre el modelo o en la población que es objeto de muestreo.
3. Especificación del modelo.
4. Un modelo sobredeterminado. Es decir que posee más variables explicativas que el Nº de observaciones.

 

Estimación en presencia de Multicolinealidad perfecta:

Aquí los coef de regresión permanecen indeterminados y sus errores estándar son infinitos. Si X3 y X2 son perfectamente colineales, no hay forma que X3 se mantenga Cte., porque a medida que cambia X2 lo hace X3, esto hace que no se pueda separar la influencia de las dos variables sobre Y.

En el caso de multicolinealidad perfecta, no se puede obtener una solución única para los coeficientes de regresión individual, pero si se pueden obtener para combinaciones lineales de estos. En el caso de multicolinealidad perfecta, las varianzas y os errores estándar de β2 y β3 son infinitos.

 

Estimación en presencia de Multicolinealidad alta pero imperfecta:

Por lo general no existe una relación perfecta entre las variables, pero si puede haber una alta multicolinealidad, situación en la cual es posible la estimación de  los coef de regresión β2 y β3.

 

Consecuencias teóricas de la Multicolinealidad:

Si se satisfacen los supuestos del modelo clásico, los estimadores MCO de los coef de regresión son MELI, y aún en caso de presentarse una alta multicolinealidad, los estimadores seguirán siendo MELI.

Goldberger definió la micronumerosidad exacta como la contraparte de la multicolinealidad exacta, definiendo que en el caso de un tamaño de la muestra cero es imposible hacer cualquier estimación, y si el Nº de observaciones excede el Nº de parámetros sucede exactamente lo mismo.

Primero: El insesgamiento es una propiedad de muestreo repetido, lo que no nos dice nada respecto de las propiedades de los estimadores de una muestra dada.

Segundo: La colinealidad no destruye la propiedad de varianza mínima. Los estimadores lineales  insesgados tienen varianza mínima, es decir son eficientes. Por esto no significa que la varianza de un estimador MCO sea necesariamente pequeña.

 

Consecuencias de la Multicolinealidad:

1.      Los estimadores MCO presentan varianzas y covarianzas grandes que hacen difícil la estimación precisas.

2.      Los intervalos de confianza tienden a ser mucho más amplios, lo que hace más posible aceptar una hipótesis nula de cero.

3.      La razón t de uno o más coef tienden a ser no significativas.

4.      El R ² puede ser muy alto.

5.      Los estimadores MCO y sus errores estándar pueden ser sensibles a pequeños cambios en la información.

 

Cuando la colinealidad es alta no son confiables las pruebas sobre los regresores individuales, en tales casos la prueba F global es la que mostrará si Y está relacionada con los regresores.

En situaciones de extrema multicolinealidad la eliminación de la variable altamente colineal trae como resultado que la otra var. se torne estadísticamente significativa.

 

Detección de la Multicolinealidad:

Lo importante no es si existe o no colinealidad, sino los diferentes grados de colinealidad que existen. La multicolinealidad es una caract de las muestras no de la población. Entre las distintas formas de detectar multicolinealidad están las sgts:

1.      La presencia de un R² elevado y razones t poco significativas. La multicolinealidad se considera dañina solo cuando la totalidad de las influencias de las variables  explicativas  no se pueden separar.

2.      Altas correlaciones entre parejas de regresores: Si el coef de correlación de orden cero es grande mayor que 0.8 la multicolinealidad es un problema grave. Las correlaciones de orden cero elevadas son una condición suficiente pero no necesaria para que exista la multicolinealidad, ya que esta tb se puede presentar con coef de correlaciones bajos, es decir inferiores a 0.5.

 Cuando los modelos tienen más de dos variables explicativas los coef de correlación de orden cero no son una herramienta segura para det si existe o no multicolinealidad, a diferencia si hay solo 2 var. explicativas donde si lo son.

3.      Regresiones auxiliares: Una forma de det cual var. está correlacionada con las otras var. X es realizar una regresión de cada Xi sobre las otras var. X y calcular el R² correspondiente. Cada una de estas regresiones se llama regresiones auxiliares. Para determinar si la variable se deja o no en el modelo se debe comparar el F calculado con el Fi crítico al nivel de significancia seleccionado. Así si el F calculado no excede al F crítico la variable no es colineal con las demás X, y se mantiene en el modelo; en caso contrario se saca del modelo ya que la var. sería colineal.

4.      Valores propios e índice de condición:

Número de condición = k = Máximo valor propio

                                      Mínimo valor propio

Indice de condición (IC) = √ k