Introducci�n a la regresi�n lineal

An�lisis de regresi�n Coeficientes Diagrama de dispersi�n M�nimos cuadrados Par�metros Recta de regresi�n Relaci�n estad�stica Relaci�n funcional Relaci�n lineal Variables

El objeto de un an�lisis de regresi�n es investigar la relaci�n estad�stica que existe entre una variable dependiente (Y) y una o m�s variables independientes (, ... ). Para poder realizar esta investigaci�n, se debe postular una relaci�n funcional entre las variables. Debido a su simplicidad anal�tica, la forma funcional que m�s se utiliza en la pr�ctica es la relaci�n lineal.  Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una l�nea recta:

donde los coeficientes b0 y b1 son par�metros que definen la posici�n e inclinaci�n de la recta.  (N�tese que hemos usado el s�mbolo especial  para representar el valor de Y calculado por la recta.  Como veremos, el valor real de Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado, por lo que es importante hacer esta distinci�n.)

El par�metro b0, conocido como la "ordenada en el origen," nos indica cu�nto es Y cuando X = 0.  El par�metro b1, conocido como la "pendiente," nos indica cu�nto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X.  Nuestro problema consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una muestra de observaciones sobre las variables Y y X. En el an�lisis de regresi�n, estas estimaciones se obtienen por medio del m�todo de m�nimos cuadrados.

Cuadro 1.  Operaciones Mensuales en una Empresa de Transporte de Pasajeros.                      Costos      Millas                     Totales    Veh�culo                       (miles)      (miles)     Mes N�          Y              X             1            213.9        3147         2            212.6        3160         3            215.3        3197         4            215.3        3173         5            215.4        3292         6            228.2        3561         7            245.6        4013         8            259.9        4244         9            250.9        4159       10            234.5        3776       11            205.9        3232       12            202.7        3141       13            198.5        2928       14            195.6        3063       15            200.4        3096       16            200.1        3096       17            201.5        3158       18            213.2        3338       19            219.5        3492       20            243.7        4019       21            262.3        4394       22            252.3        4251       23            224.4        3844       24            215.3        3276       25            202.5        3184       26            200.7        3037       27            201.8        3142       28            202.1        3159       29            200.4        3139       30            209.3        3203       31            213.9        3307       32            227.0        3585       33            246.4        4073 Fuente: J. Johnston, An�lisis Estad�stico de los Costes (Barcelona: Sagitario, S. A., 1966), p. 118.

Como ejemplo, consideremos las cifras del Cuadro 1, que muestra datos mensuales de producci�n y costos de operaci�n para una empresa brit�nica de transporte de pasajeros por carretera durante los a�os 1949-52 (la producci�n se mide en t�rminos de miles de millas-veh�culo recorridas por mes, y los costos se miden en t�rminos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de relaci�n que existe entre las variables, como primer paso en el an�lisis es conveniente elaborar un diagrama de dispersi�n, que es una representaci�n en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos num�ricos observados. En el diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-veh�culo recorridas, y en el eje Y se mide el costo de operaci�n mensual. Cada punto en el diagrama muestra la pareja de datos (millas-veh�culo y costos de operaci�n) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relaci�n positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-veh�culo recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operaci�n.

Por otro lado, tambi�n se aprecia por qu� este gr�fico se denomina un diagrama de "dispersi�n": no existe una relaci�n matem�ticamente exacta entre las variables, ya que no toda la variaci�n en el costo de operaci�n puede ser explicada por la variaci�n en las millas-veh�culo. Si entre estas variables existiera una relaci�n lineal perfecta, entonces todos los puntos caer�an a lo largo de la recta de regresi�n, que tambi�n ha sido trazada y que muestra la relaci�n "promedio" que existe entre las dos variables. En la pr�ctica, se observa que la mayor�a de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que est�n "dispersos" en torno a ella. Esta dispersi�n representa la variaci�n en Y que no puede atribuirse a la variaci�n en X.

• Textos b�sicos
   - Introducci�n
   - Estimaci�n de la recta de regresi�n y del coeficiente de determinaci�n
   - Regresi�n m�ltiple
   - Regresi�n no lineal

• Referencias

• Ejercicios de aplicaci�n a casos concretos

  • Caso A - Elecciones en Florida

  • Caso B Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Econ�mico, USA 1966-95.

  • Caso C Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Econ�mico, USA 1929-54.

  • Caso D Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Econ�mico, Alemania 1960-1981.

  • Caso E Funci�n de consumo

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