An�lisis de regresi�n Coeficientes Diagrama de dispersi�n M�nimos cuadrados Par�metros Recta de regresi�n Relaci�n estad�stica Relaci�n funcional Relaci�n lineal Variables |
El objeto de un an�lisis
de regresi�n es investigar la relaci�n estad�stica que existe entre una
variable dependiente (Y) y una o m�s variables
independientes (, ... ). Para poder realizar esta investigaci�n, se
debe postular una relaci�n funcional entre las variables. Debido a su
simplicidad anal�tica, la forma funcional que m�s se utiliza en la pr�ctica
es la relaci�n lineal. Cuando solo existe una variable
independiente, esto se reduce a una l�nea recta:
donde los coeficientes
b0 y
b1 son
par�metros que definen la posici�n e inclinaci�n de la recta. (N�tese que
hemos usado el s�mbolo especial para representar el
valor de Y calculado por la recta. Como veremos, el valor real de
Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado, por lo que es
importante hacer esta distinci�n.)
El par�metro b0, conocido como la "ordenada en el origen," nos indica cu�nto es Y cuando X = 0. El par�metro b1, conocido como la "pendiente," nos indica cu�nto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X. Nuestro problema consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una muestra de observaciones sobre las variables Y y X. En el an�lisis de regresi�n, estas estimaciones se obtienen por medio del m�todo de m�nimos cuadrados.
Cuadro 1.
Costos
Millas 1 213.9 3147 2 212.6 3160 3 215.3 3197 4 215.3 3173 5 215.4 3292 6 228.2 3561 7 245.6 4013 8 259.9 4244 9 250.9 4159 10 234.5 3776 11 205.9 3232 12 202.7 3141 13 198.5 2928 14 195.6 3063 15 200.4 3096 16 200.1 3096 17 201.5 3158 18 213.2 3338 19 219.5 3492 20 243.7 4019 21 262.3 4394 22 252.3 4251 23 224.4 3844 24 215.3 3276 25 202.5 3184 26 200.7 3037 27 201.8 3142 28 202.1 3159 29 200.4 3139 30 209.3 3203 31 213.9 3307 32 227.0 3585 33 246.4 4073 Fuente: J. Johnston, An�lisis Estad�stico de los Costes (Barcelona: Sagitario, S. A., 1966), p. 118. |
Como ejemplo, consideremos las cifras del Cuadro 1, que muestra datos mensuales de producci�n y costos de operaci�n para una empresa brit�nica de transporte de pasajeros por carretera durante los a�os 1949-52 (la producci�n se mide en t�rminos de miles de millas-veh�culo recorridas por mes, y los costos se miden en t�rminos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de relaci�n que existe entre las variables, como primer paso en el an�lisis es conveniente elaborar un diagrama de dispersi�n, que es una representaci�n en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos num�ricos observados. En el diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-veh�culo recorridas, y en el eje Y se mide el costo de operaci�n mensual. Cada punto en el diagrama muestra la pareja de datos (millas-veh�culo y costos de operaci�n) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relaci�n positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-veh�culo recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operaci�n.
Por otro lado, tambi�n se aprecia por qu� este gr�fico se denomina un diagrama de "dispersi�n": no existe una relaci�n matem�ticamente exacta entre las variables, ya que no toda la variaci�n en el costo de operaci�n puede ser explicada por la variaci�n en las millas-veh�culo. Si entre estas variables existiera una relaci�n lineal perfecta, entonces todos los puntos caer�an a lo largo de la recta de regresi�n, que tambi�n ha sido trazada y que muestra la relaci�n "promedio" que existe entre las dos variables. En la pr�ctica, se observa que la mayor�a de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que est�n "dispersos" en torno a ella. Esta dispersi�n representa la variaci�n en Y que no puede atribuirse a la variaci�n en X.
Textos
b�sicos
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Introducci�n
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Estimaci�n de la recta de regresi�n y del coeficiente de determinaci�n
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Regresi�n m�ltiple
-
Regresi�n no lineal
Ejercicios de aplicaci�n a casos concretos
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