Regresión múltiple

Hasta ahora hemos considerado únicamente el caso de la regresión simple. En el caso más general de la regresión múltiple, existen dos o más variables independientes:

=  b0 + b1X1 + b2X2 + ...

La estimación de los coeficientes de una regresión múltiple es un cálculo bastante complicado y laborioso, por lo que se requiere del empleo de programas de computación especializados. Sin embargo, la interpretación de los coeficientes es similar al caso de la regresión simple: el coeficiente de cada variable independiente mide el efecto separado que esta variable tiene sobre la variable dependiente. El coeficiente de determinación, por otro lado, mide el porcentaje de la variación total en Y que es explicado por la variación conjunta de las variables independientes.

El ejemplo numérico que se desarrolla a continuación está basado en un estudio estadístico de los costos administrativos en los bancos comerciales en Guatemala. (Los datos básicos se muestran en el Cuadro 2.) La variable dependiente para el análisis será el nivel anual de los "Gastos Generales y de Administración" en los diferentes bancos del sistema. Si se examina el Cuadro 2, se podrá apreciar que estos costos (que en lo sucesivo llamaremos simplemente "costos administrativos") varían enormemente de un banco a otro. Nuestro problema consistirá, por tanto, en encontrar una lista de variables que nos permitan explicar esta variación observada.

Cuadro 2 Bancos Comerciales Privados en Guatemala (1991).
	Gastos Generales y de Admin.	Total Activo Promedio	Agencias
G&T	48.8	831.5	30
INDUSTRIAL	43.2	1204.0	18
OCCIDENTE	39.4	1153.5	20
del CAFE	29.8	499.6	25
del AGRO	26.2	466.6	30
AGRICOLA MERC.	24.8	522.3	12
INTERNACIONAL	24.0	376.6	12
INMOBILIARIO	21.5	431.3	20
CONSTRUBANCO	18.3	282.2	10
del EJERCITO	15.6	311.8	13
LLOYD'S	14.3	284.5	7
METROPOLITANO	12.9	339.0	8
BANEX	12.5	462.8	3
del QUETZAL	8.8	205.0	12
PROMOTOR	6.0	162.4	3
CITIBANK	5.9	45.8	1
CONTINENTAL	3.6	113.7	4
REFORMADOR	1.7	237.3	7
UNO	1.0	170.8	5
Fuente: Superintendencia de Bancos, Boletín de Estadísticas Bancarias (Guatemala, 4º Trimestre, 1992).

A un nivel muy elemental, por supuesto, dicha variación no tiene realmente ningún misterio, ya que los bancos varían mucho en cuanto a su tamaño, y es más bien de esperarse que los bancos más "grandes" tengan también costos administrativos más altos por el sólo hecho de ser más grandes. Nuestra tarea será traducir esta noción intuitiva en un concepto operativo, y para esto debemos tratar de expresar el "tamaño" de un banco en términos de alguna variable numérica. La variable escogida para este propósito fue el Total de Activos del banco. Con esto, y como una primera aproximación para el análisis, la recta de regresión sería la siguiente:

=  b0 + b1X

donde Y = Costos Administrativos del banco, y X = Activos Totales del banco.

Los Activos Totales de un banco son una buena medida de su "tamaño," aunque no es la única medida posible, por lo que la decisión de adoptar esta medida específica es en cierto modo arbitraria. Por otro lado, el empleo de los Activos Totales como variable independiente en la regresión facilita en cierto modo la interpretación económica de los coeficientes:

(a) El coeficiente b1 nos indica en cuánto incrementa el costo administrativo anual por cada quetzal adicional de activos que maneja el banco. En otras palabras, este coeficiente nos mide el "costo marginal" de administrar un quetzal adicional de activos. Obviamente, este es un dato sumamente interesante para los tomadores de decisiones en el sector bancario. Esperamos naturalmente que este coeficiente sea positivo.

(b) Por otro lado, el coeficiente b0 nos estaría indicando la parte del costo administrativo que no varía directamente con el nivel de los activos del banco. En otras palabras, esta sería la parte del costo administrativo que podría interpretarse como un "costo fijo". Esperamos también que este coeficiente sea positivo.

Un posible defecto de esta ecuación es la suposición de que todos los bancos tienen los mismos costos fijos. Por otro lado, se puede apreciar en el Cuadro 2 que los bancos comerciales varían mucho en cuanto al número de sucursales o agencias que operan, y este es un factor que seguramente debe afectar el nivel de los costos administrativos. Por esto, para una mejor aproximación se estimará más bien la siguiente regresión múltiple:

=  b0 + b1X1 + b2X2

donde X₁ = Activos Totales del banco, y X₂ = Número de Agencias del banco.

En esta segunda regresión, el coeficiente b₂ nos está midiendo el incremento en el costo administrativo anual que resulta de manejar una agencia adicional. Esperamos, por tanto, que este coeficiente sea positivo. (Naturalmente que este coeficiente tendría que interpretarse como un costo "promedio" por agencia, ya que ninguna agencia es exactamente igual que otra, por lo que difícilmente pueden tener todas el mismo costo.) Los otros coeficientes tienen la misma interpretación que en la ecuación anterior. Los resultados estimados fueron los siguientes:

=  -1.22 + 0.0275X1 + 0.661X2 R2 = 0.9018

Se puede apreciar en primer lugar que esta regresión tiene un alto grado de poder explicativo: la variación conjunta de estas dos variables explica poco más de 90 por ciento de la variación en los Costos Administrativos.

Por otro lado, se aprecia que el valor estimado para b₀ es negativo, lo cual en principio carece de sentido económico. En vista de esto, conviene en este caso volver a estimar la regresión "por el origen," es decir, sin esta constante. Los resultados son los siguientes:

=  0.0266X1 + 0.621X2 R2 = 0.8995

Aquí se aprecia que el poder explicativo es básicamente igual que en la regresión anterior, aunque al haber eliminado un coeficiente posiblemente redundante, esta segunda regresión nos proporciona en principio estimaciones más eficientes de los otros coeficientes:

(a) El coeficiente b₁, se recordará, nos mide el costo "marginal" de administrar un quetzal adicional de activos. Según estas estimaciones, por tanto, se podría concluir que en números redondos el costo administrativo de un banco "típico" aumentará entre 2 y 3 centavos por año por cada quetzal adicional de activos que administre.

(b) El coeficiente b₂, se recordará, nos mide el incremento en el costo administrativo anual que resulta de manejar una agencia adicional. Según estas estimaciones, por tanto, se podría concluir en números redondos, y tomando en cuenta que los datos se expresan en términos de millones de quetzales, que el costo administrativo de un banco "típico" aumentará alrededor de 620,000 quetzales por año por cada agencia adicional.

Los resultados de este análisis pueden proporcionar una buena indicación sobre el comportamiento de los costos para el banco "típico" en Guatemala, aunque la naturaleza misma de un estudio de este tipo no puede arrojar resultados estrictamente aplicables a cada uno de los bancos considerados individualmente. No obstante, a pesar de esto, un estudio de este tipo de todas maneras puede ser muy útil, porque los resultados pueden proporcionar una "norma" o "estándar" contra el cual se pueden comparar los costos administrativos en un banco particular. En ausencia de un estudio de este tipo, un banco no tiene realmente un criterio para determinar si sus costos son "muy elevados," "aceptables," o "normales," ya que los bancos difieren enormemente en cuanto a cantidad de activos, número de sucursales, etc., de modo que el único criterio objetivo sería el de compararse con un banco de similar tamaño y características. Sin embargo, si se pudiera obtener una fórmula empírica que permita calcular un valor "normal" o "promedio" para los costos administrativos en función de unas pocas variables que permitan una medición numérica, entonces se podría fácilmente determinar si el banco en cuestión está "mejor" o "peor" que el banco "típico" a ese respecto.
 

• Textos básicos
   - Introducción
   - Estimación de la recta de regresión y del coeficiente de determinación
   - Regresión múltiple
   - Regresión no lineal

• Referencias

• Ejercicios de aplicación a casos concretos

  • Caso A - Elecciones en Florida

  • Caso B Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Económico, USA 1966-95.

  • Caso C Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Económico, USA 1929-54.

  • Caso D Ley de Okun: Desempleo y Crecimiento Económico, Alemania 1960-1981.

  • Caso E Función de consumo

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