DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

2.8.-VIGAS HIPERESTATICAS

Con cierta frecuencia, se encuentran en el proyecto de máquinas, problemas en os que no hay suficiente información para determinar todas las reacciones desconocidas en una viga, a partir, únicamente, de consideraciones estáticas. Esto sucede cuando el número de incógnitas es superior al de ecuaciones de equilibrio. En el caso de vigas hiperestáticas, no puede determinarse el momento máximo de las condiciones de equilibrio estático, de modo que es necesario encontrar primero la deformación para que pueda determinarse el momento.
EjemploN°2.15: Tenemos una viga uniformemente cargada; la viga esta empotrada en un extremo y soportada en el otro por la reacción R1. El extremo empotrado tiene las reacciones R2 y M2. Para que el sistema este en equilibrio, debe ser igual a cero la suma de las fuerzas verticales y la de los momentos respecto a cualquier eje. Así obtendremos dos ecuaciones, pero como las incógnitas son tres, no son suficientes estas condiciones.

Observado la curva elástica, emplearemos las condiciones de que la flecha es cero en los puntos A y B y que la pendiente de la curva es cero en el punto B. Escribiremos primero la ecuación para el valor del momento en función de una distancia cualquiera x, medida desde el apoyo de la izquierda, y lo sustituiremos en la ecuación de momentos:
      …………(1)

Integrando la ecuación de momentos obtendremos la pendiente:
………...……….……..…..(2)
Ya que debe ser cero la pendiente en el punto B, tenemos la condición de que cuando x=1, dx/dy=0. Cuando se sustituye esta condición en la ecuación anterior obtendremos:

Sustituyendo este valor de C1 en la ecuación (2) e integrando, tendremos:
....(3)
La flecha debe ser cero en el punto A, de forma que y=0, cuando x=0. Sustituyendo esta condición en la ecuación (3), ésta nos dará C2=0. La ecuación (3) se convierte entonces en:
…..…..(4)
La condición restante es que la deformación sea cero en el punto B, o sea, y=0 para x=l. Haciendo esta sustitución en la ecuación (4) obtendremos:

Habiendo obtenido ya una reacción, las otras dos pueden obtenerse de las condiciones de equilibrio. De la suma de fuerzas de dirección vertical encontraremos:

El momento flector en el extremo fijo es:

Ya disponemos de suficiente información para el cálculo del momento máximo que, a partir de este punto, puede determinarse de la forma ordinaria. En la figura 2.11 se indican los diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores. La sustitución de R1 obtenido de la ecuación (5) en (4) nos dará la deformación elástica:

La flecha máxima se encuentra en el punto de pendiente cero. Para hallar la situación de este punto, la ecuación (2) debe igualarse a cero. Por sustitución del valor de C1 y R1 tendremos:

RESISTENCIA DE MATERIALES
Tracción, compresión y corte (o cizalladura)
                  
       =        Tensión de tracción o compresión, kg/cm2
       =        Tensión de corte kg/cm2
F        =        Carga kg
A        =        Área de la sección recta cm2