3.5.5 Notación de Kendall Lee

D.G. Kendall sugirió de una notación de utilidad para clasificar la amplia diversidad de los diferentes modelos de línea de espera que se han desarrollado. La notación de Kendall, de tres símbolos es como sigue: A/B/K Donde: A: indica la distribución de probabilidades de las llegadas B: Indica la distribución de probabilidades de tiempos de servicio • K: Indica el número de canales Dependiendo de la letra que aparezca en la posición A o B, se puede describir una amplia variedad de sistemas de línea de espera. Las letras que comúnmente se utilizan son: M: Designa una distribución de probabilidad de Poisson para las llegadas o distribución de probabilidad exponencial para el tiempo de servicio. D: Designa el hecho de que las llegadas o el tiempo de servicio es determinístico o constante. G: Indica que las llegadas o el tiempo de servicio tienen una distribución de probabilidad general, con media y varianza conocida.

Características de operación

Las características de operación son medidas de lo bien que funciona el sistema. En la mayoría de las aplicaciones de líneas de espera, el estado estable es de primera importancia. Los estados transitorios, como el de echar a andar y apagar el sistema, no se analizan. Las longitudes de las líneas de espera y los tiempos de espera se calculan en promedio. La derivación llega a los resultados siguientes:

3.5.5.1 Modelo de una sola línea, un servidor, llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales –M/M/1

Cola: • Longitud promedio de la línea Lq = A2_ S(S-A) • Tiempo de espera promedio Wq = Lq = A___ A S(S-A)

Sistema: • Longitud promedio de la línea Ls = Lq + A =_A_ S S-A Tiempo de espera promedio = Ws = Lq =_1_ A S-A Utilización de la instalación U = A S Probabilidad de que la línea exceda a n: P(Ls>n) = (A) n+1 S En donde: A = Tasa promedio de llegada por unidad de tiempo S = Tasa promedio de servicio por unidad de tiempo

Para entender como se utilizan las fórmulas, considérese el siguiente ejemplo

Ejemplo 3-1 ejemplo de un hipermercado Imaginemos un Hipermercado como muchas cajas de salida. Supóngase que los clientes llegan para que se les marque su cuenta, con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación .Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora, para una tasa de servicio de 12 clientes por hora. Dados A = 9 clientes/hora S = 12 clientes/hora Entonces: Lq = A2 = (9)2 = 2,25 clientes S(S-A) 12(12-9)

Wq = A = 9 =0,25 horas ó 15 minutos S(S-A) 12(12-9) Ls = A = 9 = 3 clientes S-A 12-9

 

Ws = 1 = 1 = 0 ,33 horas ó 20 minutos S- A 12-9 U = A = 9 = 0, 75 ó 75% S 12 P (Ls>n) = (A/S) n+1= (9/12) (2+1) = 0, 32 Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75% del tiempo y finalmente, el 32% del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema o tres o más esperando en la cola.

 

3.5.5.2 Modelo de línea de espera de múltiples canales, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial M/M/k

k= Número de Canales o instalaciones de servicio (en este grafico A y B) Po = 1______________ k=n (A/S)n/n! + ((A/S) k/k!)(kS)/ (kS-A)) n=0 Cola: Longitud promedio de la línea = Lq =Po.(A/S)kAS/(K-1)!(kS-A)2 Tiempo de espera promedio Wq = Lq/A

Sistema: • Longitud promedio de la línea Ls = Lq + A S • Tiempo de espera promedio = Ws = Lq A • Utilización de la instalación Pw = A (Probabilidad que una unidad tenga que esperar) S

Probabilidad de n unidades en el sistema n ≤k Pn = ((A/S)n/n!).Po Probabilidad de n unidades en el sistema n >k Pn = Po.(A/S)n/(k)k(n-k) A = Tasa promedio de llegada por unidad de tiempo S = Tasa promedio de servicio por unidad de tiempo k = Número de canales Para comprender como se utilizan las fórmulas, considérese el siguiente ejemplo: En un negocio que vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como otros productos especiales y postres; su dueño está preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los clientes están dando como resultado tiempos de espera excesivos. Aplique los conceptos y modelos para ayudar a solucionar el problema del negocio. Le suministran lo siguiente: Tasa media de Llegada A =0.75 clientes por minuto y una tasa media de servicio S = 1 cliente por minuto. La operación del canal del negocio de Comidas rápidas que actualmente opera con un solo canal se puede expandir a un sistema de dos canales, abriendo un segundo canal; es decir k=2. Calcúlase los parámetros para este sistema.

3.5.5.3 Modelo de línea de espera de un solo canal, con llegadas Poisson y tiempos de servicio arbitrarios M/G/1

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema Po =1 - A/S

Número promedio de unidades en la línea de espera Lq = A2 2+(A/S)2 2(1-A/S) Número promedio de unidades en el sistema Ls = Lq +A/S

Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera Wq = Lq/A

Tiempo promedio que la unidad ocupa el en sistema Ws= Wq +1/S

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar servicio Pw = A/S

Para comprender como se utilizan las fórmulas, considérese el siguiente ejemplo: Un solo empleado maneja las ventas de un almacén. Las llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegadas es de 21 clientes por hora, es decir A = 21/60=0.35 clientes por minuto. Un estudio del proceso del servicio muestra que el tiempo promedio del servicio es de dos minutos por cliente, con una desviación estar de σ =1.2 minutos. El tiempo medio de minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa de servicio S = 1/2 o sea 0.50 clientes por minuto.

3.5.5.4 Modelo de línea de espera de un solo canal, con llegadas Poisson y tiempos de servicio constantes M/D/1

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema Po =1 - A/S

Número promedio de unidades en la línea de espera Lq = (A/S)2 2(1-A/S) Número promedio de unidades en el sistema Ls = Lq +A/S

Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera Wq = Lq/A

Tiempo promedio que la unidad ocupa el en sistema Ws= Wq +1/S

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar servicio Pw = A/S

Para comprender como se utilizan las fórmulas, considérese el siguiente ejemplo:

Los clientes llegan a una máquina automática vendedora de café a una tasa de cuatro por minuto, o sea A =4 Clientes/min.; siguiendo una distribución de Poisson. La máquina de café sirve una tasa de café a una tasa constante de 10 segundos, o sea S =6 /min.

3.5.5.5 Modelo de línea de espera de un solo canal, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial y población finita M/M/1 población finita

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema: Po= 1_____ (N!/(N-)!)(A/S)n Número promedio de unidades en la línea de espera Lq = (1-Po)(N-(A +S/A)

Número promedio de unidades en el sistema Ls= Lq + (1-Po) Tiempo promedio que utiliza la unidad en línea de espera Wq = Lq/ (N-1)A Tiempo promedio que la unidad ocupa el en sistema Ws= Wq + 1/S Probabilidad de n unidades en el sistema n = 0,2, 3… Pn = Po.N!/(N-n)!(A/S)n. Para comprender como se utilizan las fórmulas, considérese el siguiente Ejemplo 3-2

Una industria manufacturera tiene un grupo de seis máquinas idénticas; cada una trabaja un promedio de 20 horas entre averías, por lo que la tasa media de reparación A =1/20 = 0.05 máquinas por hora. Las averías siguen una distribución de Poisson y una sola persona atiende la reparación para las 6 máquinas y su tiempo de servicio se distribuye exponencialmente con media S = 1/2 = 0.5 máquinas por hora.

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