ÍNDICE DE CONTENIDOS Esta página web está hecha para facilitar la búsqueda en Internet y una revisión rápida de los contenidos. Puede faltar texto o carecer de fórmulas, gráficos, tablas y notas. Para obtener la tesis completa, deben bajarse los archivos en formato DOC.

Estructura de la propiedad agraria
José Mª Franquet Bernis



-ANNEX Núm:8 -

- ALTRES ESPECIFICACIONS METODOLÒGIQUES -



FUNCIONS DE DENSITAT I DE DISTRIBUCIÓ

1. GENERALITATS

En l’estudi de la funció de Pareto aplicada a la distribució de la superfície de la terra a la regió catalana de l’Ebre, es tracten els conceptes estadístics de “funció de distribució” i “funció de densitat” (vegeu Cap.6, epígraf 4).

Convé, al respecte, recordar la definició de "funció de distribució F(x) per a una variable aleatòria continua", com:

(1)

Als punts de continuïtat de f(x), el signe * es pot, si es desitja, substituir per <.

La probabilitat de que la variable X es trobi entre x i x+*x vindrà donada per:



de tal manera que si x és prou petit, tindrem aproximadament :

P(x * X * x+*x) = f(x) *x

Endemés, veiem que en diferenciar ambdós membres de l'expressió (1), obtindrem:
dF(x)
-------- = f(x) ,
dx

per a tots els punts on la funció f(x) és contínua, és a dir, que la derivada de la funció de distribució és, justament, la "funció de densitat".

De fet, per a obtenir la darrera expressió, hem emprat el fet -ja familiar al càlcul infinitesimal- que:



Es tracta d'un cas especial de l'anomenada "regla de Leibnitz per a la diferenciació d'una integral", en el cas de què els límits d'integració depenen del paràmetre x. En efecte, tenim:

,

de tal manera que si a1(x) i a2(x) són funcions derivables de x, la derivada de la integral haurà d'ésser calculada com a funció composada, mitjançant l'aplicació de la "regla de la cadena", o sigui:

,

Per un altre costat, tindrem que el primer sumand d'aquesta expressió, considerant els límits d'integració com a fixos o constants, serà si F (u, x) admet derivada contínua en a1, a2:

,

Endemés, **/*a2 (sent a2 el límit superior d'integració) és, per les mateixes propietats de la integral, el valor que pren la funció subintegral per a: u = a2, o sigui:

**/*a2 = F(a2, x).

Per últim, **/*a1 és, anàlogament, igual a -F(a1, x), donat que el canvi de signe resta justificat per la inversió dels límits d'integració, tot considerant que:

, amb la qual cosa a1 passarà a ser el límit superior d'integració.

D'aquesta manera, si els límits d'integració a1 i a2 són, a la vegada, funcions derivables de x, i segueixen verificant-se les hipòtesis del problema, per a cada x d'un cert interval i per a cada u de l'interval tancat entre a1(x) i a2(x), la derivada de la integral, serà:



on a1, a2 i F se suposen funcions derivables respecte a la variable x.
2. INTERPRETACIONS GRÀFIQUES

Si f(x) és la funció de densitat per a una variable aleatòria X llavors podrem representar y = f(x) gràficament per una corba com la de la FIG. A8-2. Ja que f(x)*0, la corba no pot caure mai per sota de l'eix x. L'àrea total limitada per la corba i l'eix x ha de ser 1 degut a la propietat:
f(x) dx = 1 . Això és una proposició matemàtica del fet que una variable aleatòria de valor real ha de trobar-se compresa sempre entre -* i *. Aleshores, definim la probabilitat de que X es trobi entre a i b com:

P (a < X < b) = f(x) dx.

Podem demostrar que aquesta definició complau els axiomes clàssics de probabilitats, la qual cosa no farem aquí per raons òbvies d'espai i oportunitat.

Una funció f(c) que complau els requisits anteriors s'anomena "funció de probabilitat o distribució de probabilitat" per a una variable aleatòria continua, però més freqüentment s'anomena "funció de densitat de probabilitat" o, simplement, "funció de densitat". Qualsevol funció que acompleixi les propietats anteriors, automàticament és una funció de densitat.

Geomètricament, la probabilitat de que X estigui compresa entre a i b, és a dir, P(a<X<b), es representa per l'àrea sombrejada de la FIG.A8-2.




FIG. A8-2. Representació de la probabilitat: a<X<b.

La funció de distribució F(x) = P(X * x) és una funció monotònicament creixent que augmenta des de zero fins a 1 i es representa per una corba com la de la FIG. A8-3 (102-SPIEGEL, 1981; pàg. 42 i 43).




FIG. A8-3. Representació gràfica de la Funció de distribució.

A les anomenades “distribucions conjuntes”, les idees anteriors es generalitzen fàcilment a dues o més variables aleatòries estadístiques. El cas típic més usual és el de dues variables aleatòries que són ambdues discretes o bé ambdues continúes. Als casos on una variable és discreta i l’altra és contínua, es poden fer, sense gaires problemes, les modificacions adients. També poden fer-se generalitzacions als casos de dues variables.