ÍNDICE DE CONTENIDOS Esta página web está hecha para facilitar la búsqueda en Internet y una revisión rápida de los contenidos. Puede faltar texto o carecer de fórmulas, gráficos, tablas y notas. Para obtener la tesis completa, deben bajarse los archivos en formato DOC.

Estructura de la propiedad agraria
José Mª Franquet Bernis



-ANNEX Núm:8 -

- ALTRES ESPECIFICACIONS METODOLÒGIQUES -



II. EQUACIONS RECURRENTS

1. GENERALITATS

La resolució de l’exercici exemplificant del Capíto 13, epígraf 3.2. contempla l'aplicació de les equacions recurrents en diferències finites, de gran utilitat en el tractament de problemes d'aquest tipus. Les seves incògnites seran, de vegades, els preus dels productes agrícoles (com és el cas que ens ocupa) i, d'altres vegades, seran les quantitats demandades i/o ofertades dels mateixos. Per aquesta raó, a dites incògnites (pt , qt) anem a denominar-les, genèricament, yt.

L'equació homogènia de primer ordre és:

yt = ayt-1 (1)

Una solució general és una expressió, normalment una funció de t, que proporciona immediatament el valor de yt per substitució directa del valor desitjat de t. Hem de trobar una funció de t, tal que: yt=f(t). Qualsevol funció d'aquesta forma és una solució si satisfà l'equació en diferència. En el cas de primer ordre, la solució f(t) ha de satisfer:

f(t) = af(t-1) (2)

Podem també considerar una equació en diferències finites com a definidora d'una certa funció y=f(t). A cada valor de t correspon un valor de y amb la premissa que la variable independent t ha de prendre exclusivament valors en nombres sencers, és a dir, 0, 1, 2, 3, ...

A més, la solució ha de ser també prou consistent en les condicions inicials del problema que ens ocupa. Les condicions inicials són certs valors establerts de y en un o més punts de la successió. El nombre de condicions inicials ha de ser igual a l'ordre de l'equació per què sigui possible obtenir una solució completa de la mateixa. En el cas de primer ordre sols es necessita una condició inicial. El problema consisteix en trobar la solució o solucions que satisfan l'equació en diferències finites, i a continuació seleccionar la solució que satisfaci, a més, les condicions inicials. En la discussió subsegüent s'han o més la majoria de les demostracions teòriques i les que s'han donat s'han esbossat solament de la millor forma possible. Ens hem de referir, arribats a aquest punt, als llibres de: [13]-W.J. Baumol, Economic Dynamics (Nova York: Macmillan, 1951) caps. IX-XI, i [47]-S.Goldberg, Introduction to difference equations (Nova York: Wiley, 1958) caps. II-III. La discussió que ve a continuació s'ha limitat, doncs, a equacions lineals de primer i segon ordre amb coeficients constants.
2. EQUACIONS HOMOGÈNIES DE PRIMER GRAU

L'equació (1) pot escriure's:
yt
------ = a , per a qualsevol t.
yt-1

Com a conseqüència, obtindrem:



El factor at és, en si mateix, una solució del problema, donat que satisfà (1): at = a(at-1).

Si f(t) és una solució, també ho és cf(t), essent c una constant. Suposem, doncs, que la solució general és: yt = cat. Aquesta satisfà l'equació en diferències finites, ja que:

cat = a(cat-1).

El paràmetre a es dedueix de l'equació en diferències i c es determina a partir de la condició inicial, de forma que la solució general cat satisfaci a aquesta.


3. EQUACIONS HOMOGÈNIES DE SEGON GRAU

L'equació homogènia lineal de segon grau és:

ayt + byt-1 + cyt-2 = 0 (3)

Qualsevol funció de t que satisfaci l'equació en diferències és una solució. La funció xt ens proporciona una solució, sent x un nombre encara indeterminat, com pot comprovar-se substituint xt en (3), així:

axt + bxt-1 + cxt-2 = 0 (4)

i dividint per xt-2:

ax2 + bx + c = 0 (5)

L'equació (5) es resol mitjançant la fórmula acostumada de resolució de les equacions de segon grau, o sigui:

(6)

Aquesta dóna, en general, dos valors d'x: x1 i x2. Per tant, les solucions de l'equació (4), són Si: b2-4ac=0, les dues arrels de l'equació de segon grau són iguals, és a dir, x1=x2=-b/2a. Llavors, fent-se: (Veure Baumol, op.cit. pàg.178). En aquest cas, i com ja sabem, és també una solució. Aquesta és, en efecte, la solució general de l'equació en diferències homogènia de segon grau, sent k1 i k2 dues constants que es determinen a partir de les condicions inicials del problema. En el cas de segon grau es precisen dues condicions inicials. Suposem que aquestes són: yo = 3 i y1 = 4. Llavors, tindrem:



Aquest sistema d'equacions és resoluble per a k1 i k2, ja que x1 i x2 ens són conegudes.

En alguns casos, b2-4ac és negatiu. Així introdueix una complicació addicional i no menyspreable, perquè, d'acord amb (6) hauríem d'extraure l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. L'arrel d'un nombre negatiu és un nombre imaginari simbolitzat unitàriament per la lletra i; la quantitat x (suma d'un nombre real i un d'imaginari) és un nombre complex. (Veure Baumol, op.cit.pàg.181-195). En aquest cas la solució s'obté per un mètode diferent i inclou les funcions trigonomètriques sinus i cosinus. En el present context anem, simplement, a establir la solució. Introduïm, ara, la següent notació:



Trobem l'angle z que el seu sinus és: i el cosinus és: . L'angle z es determina mitjançant l'ús de taules de funcions trigonomètriques o bé una simple calculadora. La solució és;

yt = It [w1 sin(tz) + w2 cos(tz)] (7)

on w1 i w2 són dues constants determinades en la forma usual, d'acord amb les condicions inicials del problema plantejat.



4. EQUACIONS EN DIFERÈNCIES NO HOMOGÈNIES

Per a trobar la solució d'una equació en diferències no homogènies es requereixen dos passos. El primer consisteix en trobar la solució f(t) de l'equació homogènia corresponent. El segon, en trobar la solució particular que anomenarem g(t). La solució final general és: f(t) + g(t). Anem a realitzar el càlcul de la solució particular en una equació de segon grau. L'equació no homogènia o completa és:

ayt + byt-1 + cyt-2 + d = 0 (8)

La solució de la part homogènia de (8) és: . Per a trobar una solució particular substituirem a (9) yt = K (constant) i resoldrem per a K:
aK + bK + cK + d = 0 i K


suposat que: a + b + c * 0. Llavors la solució general és:

y = +

on k1 i k2 es determinen a partir de les condicions inicials. Si a + b + c = 0, suposem que la solució particular és: yt = Kt i substituint a (8), es resol per a K. Llavors la solució general és:

yt = + Kt,

sempre que (-b-2c) * 0. Si (-b-2c)=0, substituïm Kt2 i procedim anàlogament. Si tenim que: (-b-2c)=0, se substitueix Kt2 i es procedeix anàlogament. En el cas de primer ordre o yt = K o bé yt = Kt, i en el cas de segon ordre o yt = K, o yt = K, o yt = Kt2 , obtindrem la solució particular adient a cada cas.