ÍNDICE DE CONTENIDOS Esta página web está hecha para facilitar la búsqueda en Internet y una revisión rápida de los contenidos. Puede faltar texto o carecer de fórmulas, gráficos, tablas y notas. Para obtener la tesis completa, deben bajarse los archivos en formato DOC.

Estructura de la propiedad agraria
José Mª Franquet Bernis



-ANNEX Núm:8 -

- ALTRES ESPECIFICACIONS METODOLÒGIQUES -

I. DISTRIBUCIÓ TEÒRICA I MÈTODE DE GUMBEL

1.DISTRIBUCIÓ DE VALORS EXTREMS

1.1. Mètode de Gumbel

1.1.1. CONCEPTES PREVIS

La distribució de Gumbel ha estat utilitzada amb bons resultats per a valors extrems independents de variables meteorològiques i pareix ajustar-se prou bé als valors màxims de la precipitació en diferents intervals de temps i després de molts anys d'ús sembla també confirmarse la seva utilitat en els problemes pràctics d'enginyeria de dimensionament de xarxes de drenatge i diverses obres hidràuliques. En la nostra tesi, s'ha emprat per a l'estudi dels períodes de retorn de les temperatures absolutes màximes i mínimes, vent i precipitacions màximes enregistrades en 24 hores.

Si n és el número anyal de valors diaris independents d'un cert element meteorològic o hidrològic i Ex el número mitjà anyal de valors diaris que excedeixen el valor x, la probabilitat de què un valor diari sigui superior a x és: Ex/n, mentre que la probabilitat de què sigui menor serà, com resulta prou palès, la complementària: 1-(Ex/n).

La probabilitat p = F(x), expressada en tant per un, de què el màxim anyal sigui menor que x vindrà donada per: F(x)=(1-Ex/n)n, i si n és suficientment gran, aleshores: F(x) * e-Ex, ja que es tractaria d'un límit indeterminat del tipus:


com es volia demostrar.

Si es fa: y=-ln Ex, es té: F(x)= , ja que també:

-y= ln Ex ; Ex = e-y.

y és la variable reduïda, y = -ln ln[1/F(x)], i e la base dels logaritmes neperians o naturals, tal com ja hem vist en el capítol 3 d'aquest mateix treball.

En l'aplicació de la teoria dels valors extrems sol expressar la probabilitat en termes del període de retorn o de recurrència T(x), que per a un valor particular d'x és "l'interval mitjà, expressat en anys, en què el valor extrem assoleix o supera a x una sola vegada". La relació entre la probabilitat p = F(x) i el període de retorn n = T(x) ve donada per l'expressió:

T(x) = 1/[1 - F(x) (o sia, n = 1/(1-p)

El període de retorn així definit no és pas el mateix que "l'interval mitjà entre ocurrències de valors màxims iguals o superiors a x, T1(x)", ja que en aquestes series, anomenades de durada parcial, no es considera l'any que s'han enregistrat aquests valors màxims, podent haver alguns amb dos o més i altres sense cap.

Segons SEELYE, T i T1, estan relacionades per l'equació:

(1/T1)ln T = ln (T-1)

En algunes aplicacions pot ésser convenient emprar T1(x), encara que la diferència entre T1 i T és molt petita i tendeix ràpidament cap a 1/2 quan T augmenta.

La variable reduïda ve donada per l'expressió:

y = * (x - u)

essent * i u paràmetres que poden calcular-se a partir de la sèrie de valors extrems x.

Per a estimar aquests paràmetres poden utilitzar-se diferents mètodes, si bé per al present estudi s'ha adoptat el de l'ajust regressional per mínims quadrats. També es descriurà i aplicarà el de probabilitat màxima de FISHER que, encara que s'acostuma a considerar com el millor per trobar els paràmetres, no s'utilitza generalment ja que requereix uns càlculs bastant complicats i laboriosos.

1.1.2. AJUST PER MÍNIMS QUADRATS

Per veure, a priori, si la sèrie de valors màxims anyals s'ajusta a la distribució de Gumbel, pot utilitzar-se un paper de probabilitat extrema. En l'eix d'abscisses es porta la freqüència acumulada o probabilitat:

p = F(x) = 100. m/(n+1)

L'escala és doble logarítmica i, com a conseqüència, lineal en y. A l'horitzontal superior figuren els períodes de retorn o de recurrència:

n = T(x) = 1/[1-F(x)] = 1/(1-p)

Per a representar una distribució de freqüències de valors extrems s'ordenen els n valors màxims anyals de menor a major, assignant al primer el valor 1, al segon el 2, etc. A l'expressió: 100•m/(n+1) es donen a m els valors: 1, 2, 3,...,n, i els obtinguts es porten sobre l'escala horitzontal. Sobre l'escala vertical es porten els corresponents valors màxims. Si els punts representatius estan relativament alineats, la distribució s'ajusta a la del tipus Gumbel, millor com més alineats estiguin.

Per al càlcul de la línia d'òptim ajust s'ha desenvolupat un mètode que és una variant del dels mínims quadrats ordinaris (CHOW). La diferència consisteix en què la suma de quadrats de les distàncies, la qual ha d'ésser mínima, no es mesura paral.lelament als eixos coordenats (0x o 0y) sinó paral.lelament a una línia en la qual el seu pendent és de signe oposat a la línia de millor ajust. Aquest mètode simplifica considerablement els càlculs i condueix a les relacions següents, per tal d’estimar el valor dels paràmetres * i u:

* ;



_
yn i Sn són, respectivament, la mitjana aritmètica i la desviació típica o "standard" de la variable reduïda y, obtingudes mitjançant la següent relació:
y = -ln [ln (n+1)/m

i depenen solament de n (número d'anys de la sèrie).

Altrament, x i Sx són la mitjana aritmètica i la desviació típica dels valors màxims anyals, respectivament.


1.2. Ajust per la probabilitat màxima (Fisher)

Es considera com el millor mètode per a l'estimació dels paràmetres, sobre tot si la mostra no és gran i/o les dades són bastant irregulars. És un mètode molt laboriós, la qual cosa limita la seva aplicació a la pràctica. Jenkinson (1955) obtingué una solució general de l'equació funcional, que és la següent:


x = x0 + * • [(1 - eKy )/K

Per a K=0, s'obté la distribució de Gumbel (Fisher-Tippett, Tipus I):

x = x0 + *•y

Les dades s'ordenen de menor a major i es divideixen en sixtils. Tot seguit es calculen les mitjanes d'aquests sixtils (w1, w2, w3, w4, w5, w6) i després la relació: (w2-w1)/(w6-w5). Finalment, es calcula la mitjana w i la desviació típica dels sixtils, Sw.
_
Si K=0, el valor de W és 0'58 i el de SW és 1'20.

La recta estimada s'obté ajustant la línia recta:



A partir d'aquesta equació s'obtenen estimacions dels valors de * i de x0.

Per a K=0, com és el cas de que es tracta, la solució de la probabilitat màxima es calcula fent màxima la probabilitat per a la mostra donada, que s'obté multiplicant els valors de la funció de freqüència:



per als valors reals: x1, x2,..., n. El logaritme de la probabilitat L serà igual a:

De: F(x) = i també: x= x0 + *y, es dedueix que:

1 dF(x) dy dF(x) F(x)
--------- ---------- = e-y -------- ; ---------- = -------- e-y
F(x) dx dx dx *

e-e-y
f(x) = --------- e-y , amb la qual cosa, ln f(x) = -ln | * | -e-y -y, d'on:
* * |

-L = N ln | * | + * y + * e-y

Les sumes són per als valors de: y = (x-x0)/* , substituint x per x1, x2,..., xn. Les estimacions de * , x0 són les que maximitzen a L, és a dir, les que minimitzen a -L.

Per aquests valors de * i x0, es té (condició necessària o de primer grau):
* L * L
- -------- = 0 - ------- = 0
** * x0

Es fàcil comprovar que:

* L R * L P
- -------- = ------ i - -------- = ------
* * * * x0 *

essent:
P = N - * e-y R = N - * y + * y e-y

Es comença per les estimacions de * i x0; es tabulen y=(x-x0)/* , e-y i y•e-y i es calculen P i R. Noves estimacions: , s'obtenen pel desenvolupament en sèrie de:



considerant solament la primera i segona derivades parcials de -L, i prenent:
*L *L
- -------( , x0) = - -------- ( , x0) = 0, per hipòtesi.
** * x0

Les relacions són les següents:

N *1
--------- = 0'65(-R) + 0'26 (P)
*

Nx01
---------- = 0'26(-R) + 1'11 (P)
*

La matriu:


(ß = constant d'Euler = 0'5772)

que és la matriu variança-covariança per a les estimacions de la probabilitat màxima. Alguns d'aquests conceptes es desenvolupen a continuació.

Efectivament, la successió de terme general:

an = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n

és decreixent i acotada, ja que:

an+1 - an = 1 (n+1) - ln (n+1)/n

i com:

1/n > ln(1+ 1/n) > 1/(n+1)

és decreixent, a més:

an = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n =

= 1 - ln ½ + ½ - ln 3/2 + ... + 1/n ln (n+1)/n > 0

així, doncs, està acotada. És, per tant, una successió convergent; el seu límit és un nombre finit i determinat que es designa per i s'anomena "constant d'Euler". Es té:

= lim an = lim (1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n -ln n) =
n** n**

= 0'5772156649...

Aquesta constant resulta molt útil per a calcular certs límits.

En qualsevol cas, el caràcter convergent de la sèrie numèrica:

an = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n,

és perfectament demostrable, tot considerant que:

an = 1 + bn

O sigui:

bn = ½ + 1/3 + ... + 1/n - ln n =

= (½ + ln1 - ln2)+(1/3 + ln2 - ln3)+(1/4 + ln3 - ln4)+[1/n + ln(n-1) - ln n]

Notem que els termes de la sèrie: 1/i + ln(i-1) - ln i, *i * (2,3,...,n) són negatius i decreixents en valor absolut. Els canviarem de signe, amb la qual cosa obtindrem:

cn = -bn = (ln 2 - ln1 - ½ )+(ln3 - ln2 - 1/3) +(ln4 -ln3 - ¼) +
+ ... + [ln n - ln(n-1) - 1/n]


La sèrie numèrica: [ln n - ln(n-1) - 1/n] és convergent, circumstància aquesta demostrable perfectament per aplicació del criteri del test integral, puix que:

y = ln x - ln(x-1) - 1/x = f(x).

Si prenem, ara : * = 1, tenim la integral impròpia:

= = dx =
= =
= =


i la integral existeix.

En conseqüència cn és convergent, i bn i an també ho són, tal com hom volia demostrar.

Les noves estimacions per a * i x0 són les següents:

= *+ *1 ;

Es repeteix el procés partint d'aquests nous valors. Generalment, dos passos són suficients per a resoldre exitosament el problema plantejat.


2. CONSIDERACIONS SOBRE L'ÚS DEL MÈTODE DE GUMBEL A L'ESTUDI DE LES PRECIPITACIONS MÀXIMES

Quant a les limitacions del mètode de Gumbel, fins aquí estudiat, evidentment no existeix una base teòrica per a decidir "a priori" quina distribució haurà d'emprar-se per a l'anàlisi de les pluges màximes, ja que no es coneix la forma exacta de la distribució de freqüències de les precipitacions de durada t, a partir de la qual es seleccionen els màxims.

S'aconsella representar els màxims anyals sobre un paper de probabilitat extrema i si els punts marcats estan més o menys alineats, pot suposar-se raonablement que les dades de l'estació meteorològica en qüestió s'ajusten prou bé a la distribució teòrica de probabilitat. Quan els punts mostren una determinada curvatura, es planteja la qüestió de decidir si la manca d'alineació és deguda a la mostra escollida, que no és representativa del règim pluviomètric de l'estació en un llarg període de temps, o bé si existeix algun factor microclimàtic local que influeix notòriament en la distribució de freqüències de la pluja. La planura del Delta de l’Ebre, v.gr., és un clar exemple de minoclima.

El mètode de Gumbel és atraient per la seva relativa senzillesa, sobre tot a l'emprar un gran volum de dades com succeeix al present estudi. Ha estat utilitzat extensivament en molts països, particularment en treballs hidrològics, i la justificació principal del seu ús és que en estar sotmès a prova, en nombroses ocasions, ha donat resultats satisfactoris a la pràctica. Per això també hem decidit aplicar-ho al nostre cas.

Per a l'aplicació del mètode a la sèrie de valors màxims anyals de la precipitació en diferents intervals de temps i per a diferents períodes de retorn o recurrència, s'ha emprat la fórmula següent:



a la qual:
_
x, mitjana de les precipitacions màximes anyals.
yT, variable reduïda per a un període de retorn de T anys.
_
yn i Sn, mitjana aritmètica i desviació típica de la variable reduïda y, per a una sèrie de n anys, respectivament.
Sx, error típic dels màxims anyals [no es pren la desviació típica o "standard", ja que l'error típic de la estimació (SE) es considera més representatiu, particularment per a les sèries més curtes]. Tanmateix, a l'estudi de les temperatures i vent extrems, sí hem considerat aquesta desviació típica o quadràtica mitjana.



3. FÓRMULES D'ALÇADA-DURACIÓ-FREQÜÈNCIA

La majoria de les fórmules d'alçada-duració-freqüència de la precipitació utilitzades en hidrologia aplicada són casos particulars de la fórmula general següent:

(1)
on:



xt,T, és la pluja de duració t (hores) amb període de retorn T.

a, b i c són coeficients que cal trobar per a cada localitat geogràfica.

F(T,t) és l'anomenada "funció de freqüència".

Amb els valors obtinguts aplicant la distribució de Gumbel a les estacions en les quals es disposa de dades de precipitació màximes en intervals de 10 minuts a 72 hores, es tracta ara d'analitzar la possibilitat d'emprar la fórmula anterior i de determinar els coeficients a, b i c per a les diferents localitats de la regió de l’Ebre del nostre estudi. Així:


i =

= coeficient de variació de Pearson (que és una mesura de dispersió relativa de la corresponent distribució de freqüències).

Si la fórmula general (1) és adequada per a representar els valors de la precipitació màxima a una estació concreta, serà possible determinar uns coeficients a, b i c tals que els valors d'xt s'ajustin a l'equació:
y = a.t (t + c)-b

Si l'ajust és suficientment bo, la "funció de freqüència" F(T,t) prendrà la configuració matemàtica:

1 + K(T, n) Vt

Per a c=0, si es porta sobre paper logarítmic l'equació:

y = a.t1-b (2)

es redueix a una línia recta de pendent (1-b), ja que:

log y = log a + (1-b) log t ,

obtinguda prenent logaritmes decimals o neperians a l'expressió (2) anterior.

Si c és positiu (negatiu) la corba es troba per baix (pel damunt) de la línia recta, aproximant-se a ella asimptòticament en augmentar el valor de t.