ÍNDICE DE CONTENIDOS Esta página web está hecha para facilitar la búsqueda en Internet y una revisión rápida de los contenidos. Puede faltar texto o carecer de fórmulas, gráficos, tablas y notas. Para obtener la tesis completa, deben bajarse los archivos en formato DOC.

Estructura de la propiedad agraria
José Mª Franquet Bernis


 

- CAPÍTOL 8 -

- EL PROBLEMA DE L'AMIDAMENT DE SUPERFÍCIES -

MÈTODES MECÀNICS

a) L'INTÈGRAF

Una rodeta vertical R de cantell afilat, rodant sobre el paper en el qual descansa, tendeix a seguir, a cada instant, la direcció del pla vertical sobre el qual està situada. Aquesta rodeta ens traçarà, doncs, la corba integral d'una corba donada: y = f(x) si la orientem sempre donant-li un rumb de pendent proporcional a y. Això s'aconsegueix amb el dispositiu mecànic esquemàticament indicat a la FIG. 8.2., anomenat intègraf.

Els punts negres * indiquen articulacions, és a dir, possibilitats de gir dels segments que en ells concorren. Els signes || indiquen guies, és a dir, possibilitats d'esllavissament de segments que abracen per elles. La guia M de posició fixa en l'eix de rodes e, pot girar mentre que en el seu interior rellisca la barreta Ps .


FIG. 8.2. Mecanisme de l’íntegraf.

En aquestes condicions, mentre el punt P descriu una corba referida a un eix horitzontal Mx que passa per M (arrossegant, en el seu moviment, l'eix e de les rodes que, per ser d'ampla llanda, no imprimeixen al conjunt descrit més moviment que el de translació) el segment PM té pendent proporcional a y (doncs PP' és de longitud invariable). Aquest segment PM avança i gira al voltant de M fent girar el segment perpendicular l, i per tant, també el costat oposat l' del paral.lelogram articulat de costats oposats l i l' (FIG 8.2). Però, l' és eix d'una rodeta R, la qual, per tant, serà en cada instant paral.lela a PM. Aquesta rodeta, obligada pel lluc RR' a seguir el mateix moviment de translació (en el sentit de l'eix x que el punt P) descriurà, per tant, una corba integral.

S'ha d'observar, però, que la posició inicial de la rodeta no resta determinada per la del punt P. El sistema en qüestió té un grau de llibertat per la facultat d'esllavissament del segment Ps en la guia M. Però una vegada fixada la posició inicial de R, el moviment i, per tant, les posicions successives, queden perfectament determinades.


b) EL PLANÍMETRE D'AMSLER

Expressem l'àrea elemental d*, en un plànol, recorreguda per una barnilla AB de longitud l en un moviment infinitèsim de translació i gir. Anomenant dz a la component de la translació perpendicular a la barreta, i d* a l'angle de gir, es compleix que (veure FIG. 8.3.):

d *= l dz + ½l2 d* (1)

FIG. 8.3. Justificació geomètrica.

En un moviment finit, el segon terme té per integral ½l2*, on * és l'angle finit girat pel segment, però la integració de l'element dz no és tan fàcil. La dificultat se salva fent rodar sobre el pla una rodeta R d'eix situat a la barreta (o paral.lel a ella) a distància fixa AR = a i mesurant el seu gir, o millor encara, el seu corriment perifèric. En efecte, durant el moviment elemental anterior, aquest corriment perifèric d* és igual a:

d* = dz + a d* (2)

Substituint en (1) l’expressió de dz obtinguda a (2), tindrem la diferencial d'àrea escombrada per la barreta, a saber:

d* = l*d* + (½l2 - la) d*

en funció dels elements d* i d*, fàcilment integrables, puix que per integrar d* tan sols cal mesurar el gir o esllavissament perifèric total de la rodeta (graduant la seva perifèria i amidant les seves voltes i fraccions de volta). Tindrem, així (per integració de l'equació anterior):

* = l* + (½l2 - la) * (3)


FIG. 8.4. Planímetre polar d’Amsler (I)

En particular, si la barreta torna a la seva orientació inicial (sense haver donat una volta), l'angle total girat * és nul i queda l'expressió reduïda, simplement, a:

* = l * (4)

entenent-se per * la suma algebraica de les àrees elementals escombrades.

FIG. 8.5. Planímetre polar d’Amsler (II)

Si la barreta, en tornar a la seva posició inicial, ha donat una volta sencera, serà ( *= 2* radiacions):

*= l* + (l2 - 2la) * (5)

Sense dubte, el dispositiu mecànic més emprat per mesurar àrees, mitjançant la realització d'aquesta idea, és el planímetre polar d'Amsler en què un dels extrems A de la barreta AB recorre una circumferència, per estar articulat en A a un radi giratori OA, en el qual el seu extrem O es clava en un punt del paper (veure FIG. 8.4. i 8.5.). Si amb un estilet situat en B es recorre una corba centrada (sense punts múltiples) tornant a la posició inicial, amb gir total nul, és a dir, de manera que la barreta escombri, en sentits oposats, zones del pla que es superposen, la rodeta amidarà la diferència de les zones descrites en un sentit i en l'oposat, és a dir, mesurarà, en valor absolut, l'àrea tancada per la corba . L'escala porta, a més, apegada un nonius per a millorar l'aproximació de les lectures. Del sentit de la graduació depèn que el planímetre proporcioni lectures positives en recórrer les corbes a dextrorsum o a sinistrorsum (és a dir, deixant l'àrea tancada a la dreta o a l'esquerra, respectivament, del sentit del recorregut del contorn o perímetre del territori en estudi).

FIG. 8.6. Àrea mesurada pel planímetre.

Quan la corba exigeix, per la seva extensió, fer una volta completa a la barreta, l'àrea mesurada és la compresa entre la corba i la circumferència de radi OA = r, per la qual cosa, en aquest cas, cal afegir a la lectura l* no solament el terme (l2 - 2 la)*, de la fórmula anterior (5), sinó a més l'àrea *r2 del cercle Or (veure FIG. 8.6.).

A la fórmula resultant d'aquesta addició:

* = l* + * (r2 + l2 - 2 la) (6)

el terme additiu (anomenat "constant del planímetre") té una interpretació molt senzilla: és l'àrea limitada per la circumferència descrita pel punt B quan movem el planímetre de forma que el pla de la rodeta passi constantment per O. Aquesta condició, que fixa l'angle A, dóna, en efecte,

*OB2 = * [(r2-a2) + (l-a)2] = * (r2 + l2 - 2la)

en base a les propietats dels triangles rectangles, com es pot comprovar a la FIG. 8.7.



FIG. 8.7.Justificació de la “constant del planímetre”.

Àdhuc es comprèn que així sigui des del moment que, en aquesta posició rígida, la rodeta rellisca perpendicularment al seu pla, i no pot girar. El planímetre donaria aleshores una lectura nul.la. Per això, el cercle de radi OB s'anomena cercle zero.


FIG. 8.8. El cercle zero.

En definitiva: en aquests casos en què el planímetre dóna una volta completa, la lectura del planímetre ofereix la diferència entre l'àrea de la corba i l'àrea del cercle zero, diferència que pot ésser negativa si la corba es troba al seu interior o les posicions entrants en aquest cercle tenen àrea major que les sortints (veure FIG. 8.8.).

c) EL PLANÍMETRE LINEAL

En altres tipus de planímetres, anomenats lineals, l'extrem A de la barreta descriu una recta en lloc d'una circumferència. De tornar a la posició inicial amb un angle total de gir nul, l'àrea tancada per l'estilet B és igual a: l.*, com abans (* és el corriment perifèric de la rodeta R). Si la barreta dóna una volta sencera, l'àrea tancada per la corba ve donada per l'expressió (5) que ja hem vist abans.

d) EL PLANÍMETRE DE CORADI

El seu fonament és anàleg al ja descrit per al planímetre d'Amsler, però el pol és una massa M que roman immòbil, i l'aparell comptador no va muntat en el mateix eix del braç que porta el punxó sinó que, sobre el braç polar, porta un disc G que es mou per raó del moviment que li comunica una roda que gira sobre el pla. Sobre el disc, descansa una rodeta comptadora, d'eix paral.lel al braç traçador o barreta, és a dir, excèntrica quant a aquesta darrera la qual, conjuntament amb el disc, formen l'aparell comptador. Resulta fàcil comprovar, d'altra banda, que en qualsevol moviment de la barreta sobre el pla de suport, la rodeta excèntrica R' roda el mateix que l'altra R, centrada i situada en el mateix pla que R.

L'ús de l'aparell s'efectua de la forma següent: disposat de manera que les seves rodetes comptadores marquen zero -tant el nonius com l'altra- es fixa el pol en un punt del pla de tal manera que el punxó pugui recórrer amb facilitat el perímetre del territori de la seva superfície que desitgem esbrinar. Després, i descansant la rodeta sobre el pla, partirem d'un punt o referència ben marcada sobre el perímetre o contorn, recorrent aquest amb el punxó o lupa, d'esquerra a dreta, fins tornar al punt de sortida. Aquesta operació caldrà que es realitzi dues vegades i, de no produir-se divergències notòries en ambdós resultats, s'agafarà com a bona la mitjana aritmètica.

El nombre total de divisions indicat per les dues rodetes ens assenyalarà la superfície de la finca o territori en qüestió, si el plànol està fet a escala 1:1.000. Si no fos així, hauran de fer-se les reduccions convenients; d'aquesta manera, si el plànol estés dibuixat, per exemple, a escala 1:2.000, seria necessari multiplicar el resultat obtingut per 4, i així successivament.

e) EL PLANÍMETRE DIGITAL

De relativament recent aparició al mercat, es basa en els mateixos principis teòrics que els anteriors, però incorporant noves tecnologies. El perímetre de la superfície a mesurar es recorre, igualment, amb l'índex traçador. Disposa d'una petita roda que descansaria sobre la superfície del pla i gira en moure l'índex o cursor. El seu gir determina el moviment mecànic d'un eix, el qual va solidari a un sensor electrònic que genera un senyal proporcional a l'àrea escombrada. Simultàniament, el microprocessador que porta incorporat va calculant l'àrea del territori i, al final del recorregut del cursor, provist de lupa, visualitza la superfície total, de manera digital, en una pantalla de cristall líquid.

La resolució de l'instrument sobre el plànol és de 0,1 cm2, podent-se augmentar la precisió en un 20% escursant la longitud del braç traçador en la mateixa proporció. La precisió és millor que *0,2% (vibració *2/1.000 impulsos). Disposa, per últim, d'un botó d'esborrat (que posa a zero la pantalla de 4 a 8 dígits i 10 símbols per a començar la mesura) i d'un altre botó de retenció i acumulació (que reté la quantitat mesurada a la pantalla, possibilitant l'acumulació posterior de diferents mesures).

Pot, així mateix, anar provist d'una petita impressora en paper continu i sistema matricial o d'injecció de tinta, realitzant-se l'alimentació energètica de l'aparell mitjançant bateries de níquel-cadmi (recarregables amb adaptador AC). És possible repetir la mesura fins a 10 vegades i treure el valor mitjà exacte. Encara que aquests instruments són prou precisos, es pot produir una errada de mesura motivada per una errada de traçat. Per a evitar qualsevol errada, ha de mesurar-se el mateix gràfic o similar tres vegades i extreure el valor mitjà.

La relació d'unitat d'àrea constant i escala reduïda, normalment, és la següent:

QUADRE Núm.: 8.1
RELACIÓ D'UNITAT D'ÀREA CONSTANT I ESCALA REDUÏDA

FONT: Elaboració pròpia.

Actualment, en fi, és possible la medició automàtica de superfícies diverses mitjançant un sistema informàtic traçador de plànols amb "plotter" i el suport operatiu d'un programa adequat (34-FRANQUET, 1991, pàg. 389 a 397).