ÍNDICE DE CONTENIDOS Esta página web está hecha para facilitar la búsqueda en Internet y una revisión rápida de los contenidos. Puede faltar texto o carecer de fórmulas, gráficos, tablas y notas. Para obtener la tesis completa, deben bajarse los archivos en formato DOC.

Estructura de la propiedad agraria
José Mª Franquet Bernis



- CAPÍTOL 6 -

- LA DISTRIBUCIÓ DE LA PROPIETAT AGRÀRIA-



APLICACIÓ DE LA FUNCIÓ DE PARETO

4.1. La concepció teòrica del problema

És possible i aconsellable, al nostre cas, l'aplicació de la funció de l'econòmetra italià Vilfredo Pareto (1848-1923) a la distribució de la superfície de la terra en aquestes contrades del sud de Catalunya. Així, l'esmentada distribució respondria a una funció hiperbòlica del tipus:
-----------------------

en la qual hem considerat que: a=0, o sigui, la superfície de l'explotació més petita és nul.la o, al menys, inapreciable. D'aquesta manera, el sentit de variabilitat d'ambdues variables és contrari. Malgrat això, i donada la metodologia d'elaboració del Cens Agrari objecte del nostre estudi, podem considerar una superfície mínima de 0,1Hes., d'acord amb la definició d'explotació agrícola amb terres . És digne de consideració, tanmateix, el fet que d'acord amb l'article 6 del Reglament (CEE) núm.: 2.159/89 de la Comissió i d'altres disposicions en matèria d'ajuts econòmics a les explotacions agràries (en forma de préstecs i subvencions a fons perdut) per diferents conceptes, dits avantatges no seran d'aplicació a les parcel.les conreades amb superfície inferior a 0,2 Ha.

Es tractarà, en definitiva, de l'ajustament d'una funció potencial per tècniques de regressió no lineal mínimo-quadràtica.

Evidentment, l'expressió anterior es pot escriure (prenent logaritmes naturals o neperians) així:

ln y = ln A - * • ln x

Un valor de la unitat per a * ofereix una cònica hipèrbola rectangular, és a dir, el lloc geomètric dels punts del plànol tals que el seu producte de coordenades (x•y) és una constant, A. Així:

FIG. 6.5. Funció de Pareto segons els valors d’.

De fet, aquesta transformació doblement logarítmica s'utilitza freqüentment en Estadística perquè correspon al supòsit d'una elasticitat constant entre y i x, i la simple aplicació dels mètodes lineals als logaritmes de les variables proporciona directament una estimació d'aquesta elasticitat, com ja tindrem ocasió de comprovar, en altres casos, al posterior capítol 9 del present treball.


4.2. Significació del paràmetre *

Veurem el significat del paràmetre *, per a la qual cosa exposarem diferents interpretacions, algunes d'elles en contradicció aparent. A saber:

1a) La funció de Pareto, de dibuixar-se a escala doblement logarítmica, és una recta. En efecte, prenent logaritmes neperians o naturals en l'expressió inicial, s'obté:
ln y = ln A - *ln x =  - * ln x

on s'ha substituït: ln A = .

Si representem aquesta recta, resulta que -* és el coeficient angular o pendent negativa de la dita recta.

FIG. 6.6. Representació logarítmica de la funció de Pareto.

2a) Si calculem l'elasticitat de la funció de Pareto (hem de recordar que el concepte teòric d'elasticitat de la funció y ve donat pel límit del quocient dels increments relatius d'aquesta funció i de la variable x independent o explicativa "superfície", quan l'increment absolut d'aquesta darrera tendeix a zero):



Llavors * és el coeficient d'elasticitat de la funció de Pareto que estem cercant. Majors especificacions teòriques i pràctiques sobre el concepte d'elasticitat d'una funció i de les seves implicacions econòmiques, es veuran posteriorment al capítol 9.

3a) Com ja s'ha demostrat: Ey/Ex = -*

però: Ey/Ex=dy/y * dx/x , llavors: dy/y*dx/x = -*

i operant resultarà l'equació diferencial de variables separades:

dy/y =-* dx/x (1)

essent: dy/y el decreixement relatiu del nombre d'explotacions quan esdevé una variació de la superfície.

En efecte, integrant mitjançant una simple quadratura, en l'equació anterior (1), obtindrem:
; d'on:

ln y = -*•ln x + ln A = ln (Ax-*), d'on es reconstrueix la integral general:

y = A x-* ,

a on els diferents valors de la constant A, específics de l'estructura de la propietat agrària, ens donaran altres tantes integrals particulars.

De l'equació (1) podem extreure la següent interpretació del paràmetre *: És la relació existent entre el decreixement relatiu del nombre d'explotacions i el creixement de la superfície. A més el signe negatiu de l'equació (1) és perfectament lògic, ja que significa que un creixement o decreixement de la superfície originarà, respectivament, una disminució o augment del nombre d'explotacions de superfície major que x.

4a) Si considerem la variació de la superfície com a constant, o sigui: dx=ct., llavors dx/x (creixement relatiu de la superfície) disminueix quan x augmenta. D'aquí es pot deduir la següent conclusió: El decreixement relatiu del nombre d'explotacions a mesura que la superfície augmenta és cada cop més petit, i la disminució del mateix és proporcional al nivell absolut (x) de la superfície.

En efecte, l'equació (1) ens diu que:

dy/y = - • dx/x

Si considerem dx=ct. * dx/x disminueix en créixer x. D'altra banda, és una constant, puix dy/y sols depèn de dx/x i, en definitiva, per ésser: dx=ct., sol depèn d'x, de manera que, tal com diu la llei de Pareto, dy/y (decreixement relatiu del nombre d'explotacions) depèn solament del nivell de superfície i, naturalment, del valor del coeficient * .

5a) Si fem dx/x=ct. llavors la variació relativa del nombre d'explotacions (dy/y) és proporcional al paràmetre * (veure l'anterior equació 1). Si * és gran, una variació percentual petita de la superfície assignarà una variació gran del nombre d'explotacions, i viceversa si * és petita, succeeix tot just el contrari.
Podria dir-se, doncs, que la "justícia" de la distribució de la propietat de la terra augmenta amb el valor del paràmetre *.

6a) Abans de donar una altra interpretació del paràmetre *, hem de fer, a efectes classificadors, un desenvolupament estadístic teòric de la funció de Pareto.

Definim la funció de Pareto com aquella que ens dóna el nombre d'explotacions de superfície superior a x; però també es pot definir en termes de probabilitat o de freqüència relativa, així: La funció de Pareto ofereix la probabilitat de que les explotacions agràries tinguin nivells de superfície superiors a un valor predeterminat x.

En efecte, expressat matemàticament, tenim que:

P(x) = A • x-* = Pr ( * > x)

O sigui, la provabilitat de que la variable aleatòria estadística * sigui major que 0.

Tot recordant que les funcions de distribució d'una variable aleatòria estadística x es defineixen per:
F(x) = Pr (** x)

podem relacionar la funció de Pareto P(x) amb la funció de distribució de la superfície F(x) de la següent forma:

F(x) = 1 - P(x) = 1 - Ax-* (2)

ja que els successos són complementaris i la relació precedent (2) és la que lliga les probabilitats, en aquests casos.

La funció de densitat de Pareto serà, doncs, la funció derivada:

f(x) = F'(x) =d/dx (1 - Ax)- = (*•A)/(x*+1) (*)

Si volem saber quina és la proporció d'explotacions en què la seva superfície es troba entre dos valors donats x1 i x2, operarem de la següent manera, tenint en compte la propietat additiva de l'interval d'integració [x1 , x2] i la posterior aplicació de la regla de Barrow:



Si ara anomenem x0 el nivell mínim de superfície de les explotacions agràries considerades, la P(x0) = 1, que és la probabilitat total, doncs, sembla clar que totes les explotacions tindran, com a mínim, aquesta superfície. Com que: P(x0) = A•x0-* = 1, podem treure el valor de la constant: A=x0* i substituint les fórmules obtingudes fins aquí, ens apareixen les noves expressions, de gran utilitat:

P(x) = (x0/x)* (3)

sols definida per a x > x0 ja que x0 és el nivell mínim i a més perquè la probabilitat no pot ésser, en cap cas, major de la unitat. Altrament:

F(x) =1- (x0/x)* (4), i la seva derivada:



que prendrà el valor 0 si x  x0.

Anem a calcular, tot seguit, l'esperança matemàtica o valor mitjà de la distribució contínua de la superfície de les explotacions que, com sabem, vindrà donada per l'expressió:



Com que en aquest cas de distribució de superfície, aquests límits d'integració no varien de -* a +* sinó que estan acotats inferiorment pel valor x0 < x , * x , l'esperança matemàtica serà:



, que és una integral impròpia de primera o bé de tercera espècie, en funció de la continuïtat o no de l'expressió que conforma l'integrand o funció subintegral.

Aquesta expressió manca, però, de sentit si **1. En efecte, analitzem ambdós casos:

a)Si * = 1 * E (*) = - (x0/0) • [(1/*0)- (1/x00)]
que és indeterminat.

b)Si * < 1 * E (*) = - (*•x0*)/(*-1) • [1/xh - 1/x0h]

essent h<0, raó per la qual, en substituir els límits, ens surt l'esperança matemàtica de valor infinit, circumstància que no és pas possible. Només és factible, efectivament, per al cas *>1 en què l'esperança matemàtica val:


Ara bé: E (*) =
_
essent X la mitjana aritmètica de la superfície de les explotacions.

D'aquí, podem extreure una interpretació del paràmetre , a saber:



A major diferència existent entre la superfície mitjana i la superfície mínima de les explotacions agràries (així és, a |X - x0| major) el valor del paràmetre * és menor i viceversa, com després tindrem ocasió de comprovar. Però el fet que la superfície mitjana i la superfície mínima siguin més o menys pròximes o distants pot relacionar-se amb la major o menor justícia en la distribució de la propietat de la terra; llavors, segons aquesta interpretació, per a un coeficient * major la justícia distributiva és també major i recíprocament.

Malgrat això, com veurem posteriorment, en tots els ajusts realitzats per als territoris en estudi, es té que: 0 < * < 1. Encara que sí podem corroborar que la distribució de la propietat agrària serà tant més justa quant menors siguin les diferències existents entre les superfícies.


4.3. Funció logarítmico-normal o equació de Mc Alister

Si obtenim l'elasticitat de la funció de freqüència de la funció de Pareto, com ja s'ha vist:

f(x) = F'(x) = (*•A)/x*+1 , i l'elasticitat corresponent es constant i menor que la unitat, ja que:



Un altre model de distribució de la superfície podria ser aquell que té una elasticitat que és funció lineal del logaritme neperià de la superfície, (variable independent) això és:

Ef(x)/Ex = -m ln x + n

El signe menys apareix ja que l'elasticitat mesura la variació percentual del nombre d'explotacions corresponent a una alteració percentual de la superfície i aquests moviments són, precisament, de sentit contrari. D'altra banda, és lògic que l'elasticitat depengui del nivell de superfície (x) o bé d'una funció dels mateixos (ln x).

Anem a calcular, ara, la f(x) a partir de l'elasticitat mitjançant integració:
d lnf(x)
Ef(x)/Ex = ----------- = - m ln x + n ; d ln f(x) = (-m lnx + n) d ln x
d ln x

(6)

Ara bé, si considerem la funció de densitat de la distribució normal del logaritme de la superfície, o sigui:



i operant amb ella prenent logaritmes neperians o naturals, s'obté:



Com que * i * són constants (respectivament, mitjana aritmètica i desviació típica o "standard") per a la població en estudi, si anomenem:



, ens queda la següent expressió:

ln f(x) = n lnx - m/2 (lnx)2 + C

que coincideix amb l'expressió (6) trobada abans per a la distribució que té l'elasticitat funció lineal de ln x; llavors aquella distribució és la logarítmico-normal.

La forma o configuració gràfica de la funció de freqüència d'aquesta distribució és, conseqüentment, campaniforme.


4.4. Estimacions de la funció de Pareto

Els resultats que ofereix l'aplicació de la metodologia anterior, per a cadascun dels territoris objectes del nostre estudi, són els següents:
----------
h) Resum i conclusions:

Els diferents coeficients de correlació no lineal obtinguts, en cada cas, es consideren prou acceptables, amb un màxim per a la comarca del Baix Ebre i un mínim per a la de la Terra Alta. Altrament, i pel que es refereix a la fiabilitat dels esmentats coeficients de correlació, podem definir la variable aleatòria o estadígraf (anomenada "transformació de Fisher") següent:

Z = 1/2 •ln[(1+r)/(1-r)] = 1,1513 log [(1+r)/(1-r)] , eeZ = (1+r)/(1-r)
que es distribueix de manera aproximadament normal.

Analitzem, per exemple, el cas més favorable de la comarca del Baix Ebre; amb:

* = -0,9325510441 , i n = 6

Es tracta de determinar un interval de valors entre els quals es pot raonablement esperar (amb una probabilitat del 95%) que es troba el coeficient r, amb mitjana:

*z = 1/2 ln[(1+*)/(1-*)] = 1/2 ln (0,067449/1,932551)=-1,6776

i desviació típica, quadràtica mitjana o "standard":



L'interval, doncs, serà:



valors aquests que corresponen a :

Així, pot afirmar-se que la probabilitat que es compleixi la desigualtat:
- 0,4799351 < r < -0,9930919 ,
és del 95 %.

Nogensmenys, tal com també assenyalem a l'anterior capítol 3, encara que la relació precedent simplifiqui notòriament el problema de determinar l'exactitud de r com a estimador de *, té el desavantatge de no ésser fiable si les dues variables analitzades (nombre d'explotacions i superfície) no gaudeixen d'una distribució normal conjunta. Per la qual cosa, de no estar prou segurs que aquestes variables tinguin l'esmentada distribució -si més no amb bona aproximació- no s'ha de confiar en els resultats obtinguts.

Òbviament, el mateix procés de càlcul s'hauria de repetir per a cadascun dels restants territoris objecte del nostre estudi. Una vegada coneixedors del valor del paràmetre * de Pareto, podem establir el següent quadre comparatiu entre els diferents territoris objecte d'estudi:

QUADRE Núm.: 6.4.
VALOR DEL PARÀMETRE * DE PARETO
Aquests resultats, en general, vénen a confirmar els deduïts del càlcul dels índexs de Gini i de Lorenz, com a mesures objectives del grau de concentració de la propietat de la terra. A continuació, es pot veure un gràfic tipus histograma, referent als valors escaients, per a cada territori, del paràmetre de Pareto. A saber:



FIG. 6.7. Paràmetre  de Pareto.