6-c. Estrategias Evolutivamente Estables.

No estamos interesados en conocer el resultado concreto de un conflicto, qué empresa consigue el recurso, sino desearíamos conocer cual tenderá a ser el comportamiento medio de las empresas del país. Es más, desearíamos saber si existe algún tipo de estrategia tal que una vez adoptada por la mayoría de las empresas de un país, les garantizase la mayor tasa de crecimiento, no existiendo por tanto ninguna otra estrategia que proporcionara una eficacia mayor. Llamaremos Estrategias Evolutivamente Estables (EEE) a las que gocen de tal característica.

Supongamos que M es una EEE que ha sido adoptada por la mayoría de las empresas de un país. Supongamos que algunas empresas empiezan a mostrar un tipo de comportamiento diferente J. Sea p la proporción de empresas que tienen la estrategia M. Tal como vimos en (1).

CM = Co + p E(M,M) + (1-p) E(M,J) CJ = Co + p E(J,M) + (1-p) E(J,J)

(3)

M será una EEE si y sólo si CM > CJ para todo J ≠ M. Para ello es suficiente y necesario que

E(M,M) > E(J,M)

(4)

o bien que

E(M,M) = E(J,M) y simultáneamente E(M,J) > E(J,J)

(5)

Las condiciones (4) y (5) fueron publicadas por primera vez por Maynard Smith y Price (1.973).

M no tiene por que ser una estrategia pura. Puede ser una y el estrategia mixta, es decir, una estrategia que consista en adoptar el comportamiento H con una probabilidad p, el comportamiento P con una probabilidad q, etc.

Bishop y Cannings (1.978) han demostrado el siguiente teorema. Si M es una EEE mixta de las estrategias simples a, b, c, etc. , entonces

E(a,M) = E(b,M) = E(c,M) = ... = E(M,M))

(6)

La demostración se detalla en el anexo I. De ella se puede deducir, tal como se hace en el anexo II, que todo juego con dos estrategias puras tiene al menos una EEE, pura o mixta. Y que en éste último caso, si la matriz es

TABLA 6-II
	H	G
H	a	b
G	c	d

la estrategia mixta consistirá en jugar la estrategia H con una probabilidad

(7)

y la estrategia P con una probabilidad (1-p). En la situación descrita por la tabla I no existe ninguna EEE simple ya que ni H ni P cumplen las condiciones (4) ni (5). Al haber sólo dos estrategias simples, existirá una EEE mixta M para la que, según (6) se debe cumplir que

E(H,M) = E(P,M)

Esta estrategia M consistirá en realizar el comportamiento H con una probabilidad p y el comportamiento P con la probabilidad (1-p). El pago esperado por un Halcón en un conflicto con tal estrategia mixta será:  

E(H,M) = p E(H,H) + (1-p) E(H,P)

y el pago esperado por una Paloma será

E(P,M) = p E(P,H) + (1-p) E(P,P)

Igualando ambos resultados en virtud del teorema de BishopCannings obtenemos que  

p E(H,H) + (1-p) E(H,P) = p E(P,H) + (1-p) E(P,P)  

Substituyendo los pagos por los valores dados en la tabla I tendremos que

p (V-C)/2 + (1-p) V = (1-p) V/2

de donde

p = V/C

Este resultado también podríamos haberlo obtenido a partir de la fórmula (7).