Una versión del modelo de crecimiento neoclásico

El modelo de crecimiento neoclásico se nutre de las aportaciones de numerosos investigadores a partir del trabajo de Solow[1] y Swan[2]. Especialmente importantes fueron las de Cass[3] y Koopmans[4], que permitieron la incorporación del análisis de optimización intertemporal, previamente desarrollado por Ramsey[5], en la modelización del comportamiento de los consumidores.

Los elementos de partida del modelo de Solow y Swan son[6]:

(1)          La función de producción neoclásica, expresada a través de una función Cobb-Douglas, homogénea de grado 1, que presenta rendimientos constantes de escala y rendimientos positivos pero decrecientes de cada uno de los factores productivos, y en un mercado en competencia perfecta:

Siendo A el nivel de la tecnología, expresada ésta en sentido amplio, incluyendo elementos no estrictamente tecnológicos, pero sí relacionados con la eficiencia productiva, tales como los efectos de la acción del sector público sobre la producción privada u otros factores institucionales.

El supuesto de rendimientos positivos y decrecientes de los factores productivos implica  0<<1  y  0<1-<1. Los rendimientos constantes de escala vienen implícitos en la función de producción, al ser () + (1-) = 1.

Esta función agregada resulta idéntica para todas las regiones o países estudiados, partiendo del supuesto de la facilidad de importación del conocimiento y, por tanto, del acceso a la misma tecnología por parte de todas las unidades espaciales estudiadas.

(2)          Tasa de ahorro constante: s (expresada como porcentaje de la renta: siendo S la cantidad de ahorro, S = sY)

(3)          Tasa de depreciación del capital constante: (expresada como porcentaje del capital)

(4)          Tasa de crecimiento de la población constante:

Con  derivada del factor trabajo respecto del tiempo. Se considera que toda la población está empleada, con lo que no se tratan las cuestiones relacionadas con el desempleo o la tasa de actividad de la población.

(5)          Tasa de crecimiento de la tecnología constante:

 A partir de los elementos descritos[7], tenemos que:

 (a)- Aumento del capital:

 El aumento del capital, o inversión neta, puede expresarse como la diferencia entre el ahorro bruto () y la depreciación del capital :

con  derivada del capital respecto del tiempo.

(b)- Aumento del capital por unidad de trabajo:

Sea k la relación capital - trabajo, o cantidad de capital por unidad de trabajo (). Derivando k respecto del tiempo, la ecuación queda expresada en términos per cápita como:

(c)- Tasa de crecimiento del capital por unidad de trabajo:

 La tasa de crecimiento del capital per cápita se obtiene dividiendo  por k:

Por lo tanto, esta tasa de crecimiento puede ser representada gráficamente como la diferencia entre las dos curvas  y , respectivamente las curvas de ahorro (medido en términos de capital por trabajador) y de depreciación (del ratio capital-trabajo).

La curva de depreciacióntoma un valor constante estrictamente positivo (supuesto que n es constante y positivo) que no depende de k, por lo que su representación gráfica corresponde a una recta horizontal.

La curva de ahorro, , dado que <1 por el supuesto de rendimientos marginales decrecientes del capital, es estrictamente decreciente y toma valores entre  y 0: tiende a infinito cuando k tiende a cero y tiende a cero cuando k tiende a infinito.

 (d)- El estado estacionario:

El estado estacionario es aquella situación en la que todas las variables crecen a una tasa constante[8]. En particular, la tasa de crecimiento del capital por trabajador es constante:

 CONSTANTE

Por tanto,  , donde todas las variables del primer miembro son constantes. Tras tomar logaritmos y derivar respecto del tiempo, se obtiene que.

Como <1 (rendimientos decrecientes del capital), la única tasa de crecimiento consistente con el modelo neoclásico es . Y la única forma en que pueden explicarse los crecimientos estrictamente positivos puestos de manifiesto por la evidencia empírica es a través de la mejora tecnológica modelizada a través del crecimiento del término A a una tasa exógena ().

Así, en el estado estacionario, al estabilizarse el ratio capital-trabajo, queda el progreso técnico como la única fuente de crecimiento a largo plazo de la economía: las tasas de crecimiento de la renta per cápita y del capital per cápita son iguales a x. En efecto, al tomar logaritmos y derivar la función de producción por trabajador con respecto al tiempo,

tenemos que la tasa de crecimiento de la producción per cápita es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per cápita . La evolución en el tiempo de ambas variables es, pues, proporcional.

(e)- El capital per cápita en el estado estacionario:

El valor de k que corresponde al punto de intersección de las curvas de ahorro y depreciación es el capital per cápita del estado estacionario. En este punto, los incrementos del stock de capital per cápita cubren exactamente la sustitución del capital depreciado y el crecimiento de la población n. Se trata del aumento necesario para mantener el capital per cápita a un nivel constante:

es decir:

(f)- El crecimiento económico a lo largo del tiempo:

 En relación con el gráfico 2, cabe resaltar que la tasa de crecimiento del capital por trabajador (y de la renta por trabajador ya que son proporcionales: ):

1-     Viene dada por la diferencia vertical entre las curvas de ahorro y depreciación.

2-     Es positiva cuando , esto es, cuando k<k*.

3-     Es negativa cuando , esto es, cuando k>k*.

4-     Es tanto mayor cuanto más por debajo está la economía del estado estacionario.

Así, podemos obtener las siguientes conclusiones: 

1-     Si la economía se encuentra en una situación de dotación de capital per cápita como k₀, inferior a k*, la tasa de crecimiento del capital en los primeros momentos es grande, pero a medida que se va acumulando capital con el transcurso del tiempo, el crecimiento va disminuyendo. Y se detiene al alcanzarse la dotación correspondiente al estado estacionario.

2-     Si la dotación inicial en términos de capital per cápita es superior a k*, tiene lugar un decrecimiento que reconduce a la economía a los niveles del estado estacionario.

3-     Una vez alcanzada las situación correspondiente al estado estacionario, la economía se mantiene en ella para siempre.

4-     Las sendas paralelas en la evolución del crecimiento del capital y la renta per cápita () nos permiten concluir a favor de un proceso de convergencia entre las regiones que tengan el mismo estado estacionario en el momento de inicio del estudio temporal: tendrá lugar un mayor crecimiento de aquellas economías con valores de renta per cápita más alejados del que corresponde al estado estacionario, y menor crecimiento por parte de aquéllas que ya han alcanzado niveles elevados de renta per cápita, próximos al de crecimiento estable de la economía.

El siguiente epígrafe profundiza sobre esta última implicación del modelo de crecimiento neoclásico.

Este texto forma parte de la tesis doctoral "El factor espacial en la convergencia de las regiones de la Unión Europea", de Mª Amparo Toral Arto, cuyos datos y texto completo son accesibles desde la
FICHA DE LA TESIS