I.5.2 Acerca de la definición del concepto de magnitud

La definición del concepto de magnitud requiere de un alto nivel de generalización teórica, si se toman en cuentan, por lo menos, los presupuestos matemáticos necesarios para hacerlo.

Estos presupuestos, generalmente, son considerados desde las exigencias lógico – metodológicas en la organicidad interna de la propia Matemática como teoría y motivados por condicionantes socio-histórico-concretas que expresan la dinámica de desarrollo del propio concepto que se define; estas ideas son subrayadas en el hecho de considerar la vía axiomática, como recurso para aportar una definición del concepto de magnitud escalar positiva, la cual a su vez, permitirá determinar un conjunto importante de conclusiones de naturaleza didáctica para organizar el propio contenido que se quiere incluir.

Es necesario precisar que el objeto que se acentúa en esta tesis, connota el caso de las magnitudes escalares positivas, como esenciales dentro del proceso de formación del estudiante de la carrera, en tanto estas se constituyen en objeto de estudio de las magnitudes en el nivel de enseñanza donde realizarán su práctica pre - profesional.

Por ello, se entiende suficiente hacer un análisis intensivo que las abarque dentro del contenido fundamental que se requerirá para la preparación de estos estudiantes de la carrera Licenciatura en Educación, especialidad Ciencias Exactas.

El concepto de magnitud es considerado como uno de los conceptos matemáticos fundamentales (Kolmogórov, A. N.; 1977), pues en una u otra medida, el trabajo con el mismo incide en la mayoría de los problemas matemáticos y de las ciencias naturales en la escuela (Vilenkin, N. I., y otros; 1989).

Se considera el concepto de magnitud escalar positiva, el cual Kolmogórov, A. N.; (1977), denomina así para distinguir este concepto, según él, de otras generalizaciones posibles en la actualidad.

La comprensión inicial del concepto de magnitud se constituyó en una generalización de los conceptos particulares de: longitud, área, volumen, masa, tiempo, etc., y que fue claramente esbozado a partir de propiedades esenciales suyas en los ¨Inicios¨, de Euclides (Kolmogórov, A.N.; 1977), en el siglo III a.n.e.

Estas propiedades escritas como postulados, fueron formuladas por Euclides en los términos siguientes:

“Los iguales a uno mismo son iguales entre sí.

Si a iguales se añaden iguales, entonces los totales serán iguales.

Si de iguales sustraemos iguales, entonces los restos serán iguales.

Los que pueden superponerse unos con otros son iguales entre sí.

Un entero es mayor que una parte”, citado en (Ríbnikov, K.; (1987), p. 67)

De acuerdo con estas ideas, se considera que una comprensión completa del concepto de magnitud escalar positiva, estará ligada al análisis de cuatro principios, (el principio de la comparación de las magnitudes, el principio de adición de las magnitudes, el principio de la división (sucesiva) de las magnitudes, el principio de la continuidad de las magnitudes) los cuales se cumplen en el marco del trabajo con cada género o tipo especial de magnitud: longitud, área, volumen, masa, tiempo, etc. (La O Moreno, W.; 2005)

Para el caso del principio de comparación de las magnitudes, los procedimientos para esta comparación pueden ser muy complejos y dependen de interpretaciones específicas, posibles de realizar con los objetos correspondientes geométricos, físicos, químicos, etc., así como con los fenómenos y procesos en general en estos campos. En ellos se insertan los problemas de medición y estimación, que se caracterizan en el capítulo tres.

El principio de la adición de las magnitudes, presupone que en los límites de cada género de magnitud estas se pueden adicionar, lo que significa que para dos magnitudes a y b (del mismo género), existe una única magnitud c, tal que c = a + b.

El principio de la división (sucesiva) de las magnitudes, fue entendido inicialmente para el caso de los segmentos, lo cual significaba que superponiendo el menor de dos segmentos dados, la suficiente cantidad de veces sobre el segundo, se obtiene un segmento de longitud mayor que la de cualquiera de los dos segmentos iniciales.

Así, este principio establece que para dos magnitudes (del mismo género) a y b, tales que a < b, existe un número natural n, tal que b < na. Este principio se conoce con el nombre de propiedad arquimediana de las magnitudes.

El principio de la continuidad de las magnitudes, con base en los tres primeros, permitió fundamentar la teoría de las magnitudes, desarrollada por los antiguos matemáticos griegos (Kolmogórov, A. N.; 1977).

Resulta que este conjunto de principios es insuficiente para abarcar todo el alcance de cualquier magnitud (en el marco de un mismo género o tipo de magnitud).

Esta idea se aclaró inicialmente en el caso de las longitudes, al descubrir la existencia de los segmentos inconmensurables, lo que se retomó posteriormente, en el marco de la escuela pitagórica, todavía en el siglo VI a.n.e; hecho que permanece en silencio por muchos años, hasta que llega a constituirse en punto de viraje para el desarrollo del propio concepto de número.

El principio de la continuidad, tiene varias maneras de formularse; una de ellas expresa que:

Si la sucesión de magnitudes a1 < a2 <... <... <... < b2 < b1, cumplen la propiedad que bn – an < c, para cualquier magnitud c, y un número natural n lo suficientemente grande, entonces existe una única magnitud x, tal que: an < x < bn, para todo n

Sobre la base de estos principios y un grupo de propiedades que de ellos se derivan (La O Moreno, W.; 2005), se justifica la posibilidad de elegir una magnitud determinada l, de manera que todas las restantes magnitudes a del sistema, puedan ser representadas en la forma a =  I, donde  es un número real positivo. En este caso, a la magnitud l, se le denomina unidad de medida de la magnitud a dentro del sistema correspondiente.

La naturaleza del número , determina lo que suele llamarse la conmensurabilidad de la magnitud en cuestión. Cuando el número  es racional, se dice que la magnitud correspondiente es conmensurable; cuando es irracional se dice que esa magnitud es inconmensurable.

De esta afirmación se deduce que la unidad de medida de la magnitud escalar positiva es también una magnitud, respecto a la cual (y gracias al principio de comparación) se comparan las restantes magnitudes del sistema en cuestión. En este caso el número  expresa una relación de cantidad en la correspondencia magnitud – unidad de medida que concreta en definitiva la relación magnitud – número. El establecimiento de este número en la práctica para una magnitud dada, se conoce con el nombre de proceso de medición de la magnitud dada.

El carácter de proceso de establecimiento de la unidad de medida de una magnitud implica su distinción como magnitud básica o como magnitud derivada (Enciclopedia Microsoft Encarta; 2000). Así, establecida la unidad de medida para una magnitud se pueden definir las correspondientes a otras magnitudes, las primeras reciben el nombre de magnitudes básicas y las segundas, se denominan magnitudes derivadas.

En este sentido, es importante definir que en cada sistema de unidades se determina con precisión cuáles son las unidades básicas.

A pesar de que se declara que en el nivel de EP, el sistema de unidades fundamental que se considera es el Sistema Internacional, también aparece el uso de magnitudes expresadas con unidades del Sistema Anglosajón y del Sistema Cegesimal.

Esta idea hace necesario precisar que el conjunto de unidades básicas, recorre el diapasón específico de tres sistemas de referencia, en tanto el carácter básico o derivado de una magnitud no es inherente a la magnitud en cuestión, sino al propio sistema que encierra su desarrollo, con lo que como implicación didáctica se desprende que se refuerce la necesidad de los procesos de conversión.

En este caso no sólo se considera la expresión de la magnitud dentro de su propio género, buscando equivalencias a partir del uso de múltiplos y submúltiplos, sino también, en su tránsito de uno de estos sistemas al otro, considerando equivalencias establecidas para las correspondientes magnitudes.

Se consideró importante analizar el conjunto de magnitudes y unidades asociadas legales, lo cual se hizo según el Diccionario Ilustrado de Ciencias, Larousse; (1987). Esta información se organiza respecto a nueve grupos de magnitudes fundamentales, que contienen en total cincuenta y seis magnitudes, las cuales a su vez se desglosan en noventa y tres unidades asociadas posibles. (Ver anexo 2)

A partir de este espectro de magnitudes y sus unidades, se plantea un universo posible de estas, para organizar el trabajo en el marco de las acciones que se diseñan en el capítulo tres.

El concepto de magnitud escalar positiva tiene una primera generalización, al considerar el conjunto de segmentos orientados sobre la recta, el de las velocidades o las magnitudes que pueden tener dos direcciones opuestas. En este caso, se podrá hablar de magnitud positiva, negativa o nula y en general, se habla de magnitud escalar.

Si se considera en el sistema de estas magnitudes escalares una magnitud positiva I como unidad de medida, entonces cualquier magnitud del conjunto podrá representarse en la forma a =  I, donde  es un número real positivo, negativo o cero.

En la Enciclopedia Microsoft Encarta (2000), se definen las magnitudes en tanto conjunto de cantidades en el que se expresa un cierto criterio de ordenamiento, uno de igualdad y una operación de adición.