MODELO DEL PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS CONTEXTUALIZADOS Y METODOLOGÍA PARA SU APLICACIÓN EN LA MATEMÁTICA BÁSICA PARA LA CARRERA DE AGRONOMÍA

En el capítulo se explica y fundamenta el modelo que como resultado de esta investigación se propone, el cual toma como punto de partida importante en la modelación del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados, el enfoque holístico configuracional de la didáctica y la concepción de la Enseñanza Problémica de M.  Majmutov y sus continuadores.

Del modelo elaborado se deriva una metodología para el desarrollo del proceso docente educativo de las  Matemática 1 y 2 en la carrera de Agronomía, que requiere del perfeccionamiento  de los programas de estas asignaturas, con énfasis en la reformulación de los objetivos, organización de los temas, definición de tipologías de clase, sistema de evaluación e indicaciones metodológicas.

Fundamentos teóricos del modelo

La modelación del proceso de solución de problemas contextualizados de las asignaturas de Matemática Básica para la carrera de Agronomía, asume como referente teórico importante el modelo holístico configuracional de la didáctica (H. Fuentes, 2000).

La posición epistemológica de este modelo alude no sólo a la naturaleza consciente, holística y dialéctica de los procesos sociales, sino al hecho de que al ser estos entendidos como sistemas de procesos objetivos - subjetivos que se estructuran  de diversas formas en el curso de su desarrollo gracias a la actividad y la comunicación de los sujetos, se configuran a través de las relaciones de significación que en los mismos se producen.
De lo anterior se deriva  el reconocimiento de las relaciones dialécticas como unidades de análisis de esta nueva concepción y la consideración de la categoría configuración como piedra angular en la interpretación y caracterización del proceso docente educativo.

El Modelo Holístico Configuracional de la Didáctica de la Educación Superior parte de la siguiente concepción:
El proceso docente educativo es un sistema de procesos de naturaleza holística, dialéctica y consciente.
Consciente, por la marcada relación entre lo objetivo y lo subjetivo, traducido en la intencionalidad y  el protagonismo de los sujetos que participan.
Dialéctico, por el carácter contradictorio de las relaciones que dentro de este se producen y que constituyen su fuente de desarrollo y transformación.
Holístico, por el carácter totalizador de su naturaleza, lo que impone la restricción de no reducir su análisis al desmembramiento de sus partes, sino ampliarlo al establecimiento de nexos entre expresiones de su totalidad.
El proceso docente educativo se configura en su desarrollo, esto es, se estructura de diversas formas por medio de la actividad y la comunicación de los sujetos, configurándose  a través de las relaciones de significación que dentro de los mismos se producen.

El desarrollo de las potencialidades de esta realidad social dependerá esencialmente de la acción de sus protagonistas, quienes constituyen un elemento determinante en la configuración del proceso.
Desde este enfoque, las configuraciones de un proceso constituyen expresiones de la totalidad que manifiestan rasgos o atributos del objeto, que al relacionarse e interactuar dialécticamente con otras de la misma naturaleza, se integran, formando un todo que va adquiriendo niveles cualitativamente superiores de organización. Representan la integración de aspectos dinámicos del proceso interrelacionados de forma coherente con la expresión del proceso dentro de una determinada actividad o forma de relación.
Inherente al carácter configuracional del proceso está lo dinámico, lo constructivo, lo procesal, de manera que las configuraciones no existen como un hecho estático, no son una parte del proceso, se construyen en su dinámica  a través de las relaciones que en él se establecen.

Dimensiones del proceso

Las dimensiones, son aquellas expresiones de la totalidad que dan cuenta del movimiento, de la transformación del proceso y que conllevan a una nueva cualidad del proceso, que es el resultado de dicho movimiento.
Eslabones del proceso.
Los eslabones, son aquella expresión de la totalidad que en sus relaciones dan cuenta de su lógica interna. Son complejos estadíos o momentos del proceso de naturaleza procesal que conllevan al movimiento del mismo. Dada la naturaleza holística y dialéctica del proceso del cual forman parte, se integran y se relacionan dinámicamente.
En este sentido se define el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados, campo de acción de esta investigación, como una serie de fases o eslabones que determinan la lógica a seguir por el sujeto para satisfacer las exigencias del problema.

El problema matemático contextualizado es aquel donde se plantea una situación relacionada con las matemáticas, la vida o una profesión, que se expresa a través de un contenido, condiciones y exigencias,  y  requiere de la acción del sujeto para transformarla.

Aplicar el enfoque holístico al estudio de un proceso como el que se examina, el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados, es detenerse en el análisis e interpretación de aquellas expresiones de su totalidad que vistas desde diferentes niveles de interpretación, irán reflejando, sus rasgos o atributos, sus movimientos y transformaciones cualitativas, así como su lógica interna, todos como resultado de relaciones dialécticas que dentro de este se establecen. Es decir, significa definir sus configuraciones, dimensiones y eslabones,  entendidos como  momentos de síntesis en la interpretación de la esencia del proceso de solución de problemas matemáticos.

Esta investigación, cuyo propósito fundamental se encamina a la solución del problema relacionado con las insuficiencias en la independencia cognoscitiva de los estudiantes de la carrera de Agronomía, y donde esta es entendida como cualidad de la actividad intelectual del hombre que le permite aplicar los conocimientos adquiridos ante  situaciones nuevas, concibe el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática, básicamente a través de la solución de problemas. En tanto, la enseñanza mediante la solución de problemas constituye una vía efectiva para que los alumnos adquieran conocimientos con un mayor grado de generalización, solidez, aumentando la posibilidad de aplicarlos a situaciones nuevas con apoyo heurístico e incentivando el desarrollo de un pensamiento independiente, que les posibilite, una vez graduados desempeñarse con flexibilidad y pertinencia en el ejercicio de sus funciones.

En tal sentido, y como ya ha sido expresado, la Matemática se constituye para este profesional en una herramienta importante para el estudio de los fenómenos y procesos propios de otras ciencias y ramas del saber, que contribuye al desarrollo del razonamiento lógico y de la independencia cognoscitiva,  siempre y cuando en el proceso docente se den las condiciones.

Modelo del proceso de solución  de problemas matemáticos contextualizados.

Para el logro del objetivo de la investigación se parte del supuesto científico de que la concepción de una modelación didáctica del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados propios de los agrosistemas que toma en consideración:
la contradicción entre lógica formal de la Matemática en el plano didáctico y la lógica de actuación del profesional, la aplicación de métodos matemáticos en correspondencia con las exigencias del problema, como configuración del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados,
las relaciones entre las configuraciones problema matemático, contenido matemático apropiado por el sujeto y la aplicación de métodos matemáticos, como determinantes de las dimensiones gnoseológicas, profesionales y tecnológicas del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados, y
las dimensiones como determinantes de las alternativas de las matemáticas, presentes en  el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados propios de los agrosistemas,
constituye el sustento teórico de una metodología para el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática Básica para el ingeniero agrónomo que puede contribuir al desarrollo de la independencia cognoscitiva en los alumnos de primer año de la carrera de Agronomía.
Dar curso a estas ideas lleva al análisis de la consideración relativa a la caracterización de la actuación  del ingeniero agrónomo en las unidades básicas de producción agropecuaria.

El ingeniero agrónomo es un profesional calificado, que haciendo uso racional de los recursos humanos, químicos, biológicos y sociales, debe dirigir el proceso de producción agropecuaria con una lógica que implica: diagnosticar, pronosticar, planificar, organizar, aplicar, ejecutar y controlar (figura 1), y para lo cual generalmente:
Analiza los problemas de la producción agropecuaria a que se enfrenta para el diagnóstico y establecimiento de pronósticos.
Organiza la producción, estableciendo la planificación de las tareas necesarias, teniendo en cuenta las alternativas de solución a la problemática agropecuaria, para el uso racional de los recursos humanos, materiales y financieros.
Ejecuta los planes, aplicando las tecnologías apropiadas; controla el proceso y evalúa los resultados.
Esta lógica implica la aplicación de tecnologías y soluciones alternativas tanto en la etapa de análisis, como de organización y ejecución. Entendiéndose por soluciones alternativas aquellas opciones de solución que surgen al resolver un problema y requieren del análisis del sujeto para la selección de la más adecuada. Se dan en la interacción del sujeto con el objeto.
En general,  el ingeniero agrónomo en el manejo de alternativas debe:
Identificar alternativas.
Reconocer indicios de cada alternativa.
Caracterizar cada alternativa.
Comparar alternativas.
Valorar ventajas y desventajas de cada una de ellas.
Seleccionar la alternativa más conveniente.

La selección y uso de alternativas tendientes a optimizar y hacer más sustentable, en todos los órdenes, los procesos de la producción y los servicios, es un imperativo de estos tiempos,  que reclama de las universidades y en especial de las ciencias que tributan a la formación de los profesionales, la disminución de la distancia, a veces insalvable, entre el mundo del trabajo, de la profesión y la cultura académica.
En el caso particular del profesional que se analiza, esto pudiera lograrse en la medida en que el estudiante  se comprometa con su futura actuación profesional desde el proceso docente educativo de disciplinas básicas o básicas específicas. En este sentido, la búsqueda de alternativas para resolver un problema, constituye un elemento determinante de la propia acción del profesional, dado que no siempre se dispone de los recursos necesarios (financieros, tecnológicos, etc.), todo lo que puede ir acompañado de la presencia, en la práctica, de situaciones inesperadas que requieren de una actividad creativa, innovadora y por ende de la búsqueda de la alternativa (o alternativas) de solución más apropiada. 

Al respecto expresa B. Cedeño (1999), que el ingeniero debe ser capaz de innovar, de enfrentarse a situaciones en las que tiene que buscar soluciones alternativas a los problemas, haciendo  uso de los recursos que existen en la uni­dad de base, sobre todo en la etapa por la que transita el país. (1999)
Cuando el ingeniero interactúa con el agrosistema, para la delimitación de los problemas técnicos, científico productivos y científico investigativos de la unidad básica (clasificación dada por B. Cedeño, 1999), la solución y aplicación de los resultados, utiliza un razonamiento inductivo - deductivo, es decir, necesita mover su pensamiento en una dialéctica que va del todo a las partes y de las partes al todo, como el propio conocimiento científico.

Sin embargo, durante el proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía, cuyo objeto de estudio son los modelos y métodos matemáticos relacionados con el Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y la Programación Lineal, el estudiante se enfrenta a problemas que resuelve utilizando métodos matemáticos relacionados con dicho objeto, pero en los que predomina un razonamiento  lógico - deductivo.
En este sentido, a partir de explicaciones, estudio de conceptos, teoremas, reglas generales, aplica los conocimientos y habilidades adquiridos en la solución de problemas particulares. Se destaca que para la solución del problema  puede existir más de un método matemático, y requerirse, del uso de tecnologías, en correspondencia con el contexto de la situación planteada en la formulación del problema.
Entonces, mientras que en la ejecución del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía se pone de manifiesto un razonamiento predominantemente lógico - deductivo, propio de esta ciencia,  que tributa a dicho proceso y le otorga un carácter científico (C. Álvarez, 1999),  el ingeniero agrónomo actúa con una lógica inductivo – deductiva, preferentemente con mayor peso en la primera. De esto se desprende la contradicción entre la lógica de actuación del ingeniero agrónomo en el agrosistema y la lógica del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía.

Resolver esta contradicción desde el proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía implica que en su dinámica, se tomen en cuenta los modos de actuación del profesional que se forma, a través de una enseñanza que enfatice en los métodos problémicos, como vía de acercamiento entre el objeto de estudio de la matemática y el objeto de la profesión.

La enseñanza mediante problemas propios de los agrosistemas y la utilización de métodos cercanos a los que utiliza el ingeniero agrónomo en su actuación profesional, en la búsqueda  de la solución, como es el análisis de diferentes alternativas, constituye un elemento importante para el desarrollo de métodos inductivos - deductivos de razonamiento, desde la Matemática. Además,  cuando se interpretan los resultados, se debe tomar en consideración los riesgos y beneficios que aportan para el desarrollo de la producción agropecuaria.
O sea,  la  ejecución del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía comienza a darse en estrecha relación con la realidad profesional, sin atiborrar al alumno con fórmulas y teorías matemáticas sino haciendo  uso de ellas con racionalidad.

Esto implica, un aprendizaje de la matemática diferente, en el que no sólo se significa el contenido matemático al contextualizarlo, sino donde se integra al tradicional esquema de  impartir teoría para luego llevarla a la práctica, el de partir de la práctica para aprender la teoría; escogiendo la práctica profesional como foco de reflexión e indagación. Esto hace que ya no se resuelvan un gran número de problemas relacionados con la Matemática pura; sino que se enseñe al alumno a aprender matemática a través de la resolución de problemas, propios de los agrosistemas con alternativas de solución.

El acercamiento entre el  objeto de estudio de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía y el objeto de trabajo del ingeniero agrónomo,  lleva entonces a considerar la relación  entre el objeto de la profesión - problemas profesionales - métodos profesionales, así como la inherente al objeto de la matemática – problema matemático – métodos matemáticos. 

En general, la aplicación de los métodos profesionales configurados en los modos de actuación de este profesional, lleva implícita la lógica inductivo – deductiva que la caracteriza, con énfasis en la utilización de tecnologías y la búsqueda de soluciones alternativas. Por su parte, la aplicación de métodos matemáticos, lleva implícito una lógica predominantemente deductiva. Esta contradicción puede ser resuelta didácticamente si se concibe y ejecuta un proceso docente educativo de la matemática que sitúe al estudiante en una situación problémica que tenga como contexto la profesión.

De todo lo analizado se destacan como aspectos importantes: (figura 2)
Las relaciones entre las categorías  problema, objeto y método, vistos tanto desde la profesión como desde el proceso docente educativo de las asignaturas de Matemática Básica.
La relación entre los métodos profesionales devenidos en modos de actuación y la lógica inductivo - deductiva que los caracteriza.

La relación entre los métodos matemáticos y la lógica deductiva que los caracteriza.
La contradicción entre la lógica predominantemente deductiva del proceso docente educativo de la matemática y la lógica predominantemente inductivo – deductiva que caracteriza la actuación del ingeniero agrónomo.
Las relaciones entre el objeto de estudio de la matemática y el objeto de trabajo del ingeniero agrónomo.
La relación entre las alternativas de las matemáticas y las alternativas de la profesión.
Además de lo anterior, tomar en cuenta el enfoque teórico que sirve de sustento a este modelo, lleva a concebir el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados como un sistema de procesos conscientes, holístico y dialéctico que se configura en la actividad y la comunicación de los sujetos, y que por tanto puede ser explicado a partir de las relaciones entre diferentes expresiones de su totalidad.

Dado el carácter configuracional  que se atribuye a este proceso, determinar sus dimensiones, configuraciones y eslabones significa encontrar aquellas expresiones del proceso de solución de problemas contextualizados que dan cuenta de cualidades, rasgos y de la lógica interna de dicho proceso, respectivamente.
El proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados al ser visto en su relación con el objeto de trabajo del profesional y sus modos de actuación adquiere nuevos rasgos, tales como lo profesional y lo tecnológico. Si bien, en general, lo tecnológico forma parte de la cultura profesional (conocimientos, lógica, tradiciones y métodos de la profesión), en este caso, la actuación del profesional de la agronomía tiene una marcada influencia, como ya se explicó, en las aplicaciones tecnológicas. Esto justifica el hecho de que en nuestra modelación ambos aspectos hayan sido separados.

En el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados la relación entre el problema matemático y el contenido matemático adquiere las dimensiones gnoseológica, profesional y tecnológica en función del tipo de aplicación que tenga lugar en la interacción del sujeto en el proceso de solución.  La dimensión gnoseológica constituye la síntesis de la relación que se establece entre las dos restantes.  (figura 3)
La dimensión gnoseológica es la expresión del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados que da cuenta de los vínculos del mismo con aquella parte de la cultura matemática que es llevada al proceso docente educativo en calidad de contenido, y que por lo tanto se refiere a los conocimientos, hechos, conceptos, teorías, modelos y métodos de pensamiento y actuación matemáticos, seleccionados con criterios pedagógicos para garantizar la formación del futuro profesional.

Desde esta dimensión la solución de problemas debe ofrecer todas las posibilidades para el desarrollo de capacidades cognoscitivas de reflexión, crítica y valoración y ha de llevar implícita las potencialidades necesarias para que el sujeto se enriquezca,  trasforme el objeto y se transforme a sí mismo.

Esta dimensión, se configura en la relación entre :
problema matemático,
contenido matemático y
aplicación matemática.
El problema matemático es entendido como la configuración del proceso de solución de problemas que es síntesis de contenido, condiciones y exigencias. Donde el contenido es el conjunto de objetos, magnitudes, valores de magnitudes y relaciones que conforman el enunciado. Las condiciones son aquella parte del problema que trasmite al que lo resuelve la información inicial acerca del suceso o acontecimiento que se desarrolla. Las exigencias especifican el fin u objetivo final a alcanzar por el que lo resuelve.
El contenido matemático deviene en configuración de este proceso, en tanto constituye síntesis de los conocimientos, habilidades y valores que posee el alumno para acometer la solución del problema seleccionando previamente el método que ha de aplicar.

Entre estas configuraciones existe una relación de esencia que se sintetiza  en la  aplicación matemática, entendida como la configuración que expresa la utilización productiva y/o creativa por el sujeto de métodos matemáticos para encontrar la solución del problema matemático,  haciendo uso de los contenidos ya asimilados. En este caso la selección del método matemático más adecuado depende de la complejidad de los cálculos o la necesidad de realización de otros cálculos.

La dimensión profesional es la expresión del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados que da cuenta de los vínculos del mismo con aquella parte de la cultura de la profesión que es llevada al proceso docente educativo en calidad de contenido, y que por lo tanto se refiere a los conocimientos, hechos, conceptos, teorías, modelos y métodos de pensamiento y actuación de carácter profesional.
Esta dimensión, se configura en la relación entre :
problema matemático,
contenido matemático  y
aplicación profesional.
En este caso, en la configuración problema matemático, el contenido,  las condiciones y las exigencias del problema están relacionados con el objeto de trabajo del agrónomo, es decir, con el proceso de producción agropecuaria. La configuración contenido matemático sigue siendo expresión de los conocimientos, habilidades y valores asimilados por el estudiante y que le permitirán seleccionar el método matemático más adecuado para resolver el problema, teniendo en cuenta las exigencias y lógica de la profesión.
La relación entre estas configuraciones se sintetiza en la aplicación profesional, entendida como la configuración que expresa la utilización productiva y/o creativa por el sujeto de métodos matemáticos en correspondencia con la situación problémica profesional a resolver.

La dimensión tecnológica del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados expresa los vínculos del mismo con aquella parte de la cultura tecnológica vinculada a la profesión.
Esta dimensión se  configura en la relación entre:
problema matemático,
contenido matemático y
aplicación tecnológica.
En este caso, en la configuración problema matemático, el contenido, las condiciones y las exigencias del problema se vinculan al objeto de trabajo del agrónomo o al objeto de estudio de las matemáticas.  Sin embargo,  para satisfacer las exigencias del problema es necesaria la utilización de alguna tecnología. La configuración contenido matemático sigue siendo expresión de los conocimientos, habilidades y valores ya asimilados por  el  estudiante.

La relación entre estas configuraciones se sintetiza en la aplicación tecnológica, entendida como la configuración que expresa la utilización productiva y/o creativa por el sujeto de métodos matemáticos para solucionar el problema haciendo uso de la tecnología disponible.

En correspondencia con el modelo holístico configuracional y teniendo en cuenta que los eslabones son categorías que expresan la lógica interna de un proceso, se definen cuatro eslabones del proceso de solución de problemas contextualizados (figura 4):
modelación matemática,
selección del método matemático más adecuado,
solución matemática e
interpretación de los resultados.

 

Modelación matemática

Un modelo es una representación simplificada del objeto o proceso que se analiza teniendo en cuenta que refleja sólo algunas características que son esenciales en el fenómeno estudiado.
La modelación matemática  es un proceso que tiene su esencia en la construcción de modelos matemáticos abstractos. En este eslabón del proceso de solución de problemas el sujeto expresa en un lenguaje matemático los elementos e interrelaciones del problema dado, aplicando los conocimientos adquiridos; lo cual facilita encontrar el método para llegar a la solución, una vez captadas sus particularidades.
La construcción del modelo, requiere de un proceso de generalización mediante la representación singular de lo general, que se realiza con los medios y recursos que aporta la matemática y que forman parte del contenido asimilado por los alumnos.

Una condición fundamental para que el modelo construido facilite la solución del problema dado es que exista unidad entre “imagen” y “objeto”,  o sea que el modelo sea una copia del objeto real, aunque de forma simplificada, esquemática; teniendo en cuenta que el modelo actúa como sustituto del objeto.
Selección del método matemático más adecuado
La selección del método matemático más adecuado está relacionada con el análisis de las alternativas existentes para encontrar la solución del problema, lo que implica: identificar alternativas, reconocer indicios de cada alternativa, caracterizar alternativas, comparar alternativas, valorar ventajas y desventajas de cada una de ellas y seleccionar la alternativa más conveniente. 

Considerando que la actuación de este profesional se caracteriza por el manejo de alternativas para solucionar los problemas que enfrenta, y a partir de las dimensiones del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados, ya referidas, se ofrece la siguiente  clasificación de las alternativas de las matemáticas:
alternativas de carácter matemático,
alternativas de carácter tecnológico y
alternativas  de carácter profesional.
Las alternativas de carácter matemático son aquellas en las que la selección del método más apropiado para resolver un problema inherente al objeto de estudio, depende únicamente de su conveniencia desde el punto de vista de las matemáticas.

O sea, las alternativas de carácter matemático están dadas por la existencia de más de  un método matemático para resolver un problema. La selección del camino más apropiado
puede depender de la necesidad de realizar otros cálculos que impliquen la aplicación del primero o del nivel de complejidad de los mismos.

Las alternativas de carácter profesional son aquellas en las que la selección del método a utilizar para resolver un problema dado, depende de las exigencias de la situación profesional a resolver.
En estos casos es posible que existan procedimientos de solución más engorrosos que otros, sin embargo, las exigencias del problema, obligan a utilizar la vía más compleja, lo que puede estar dado por la exactitud del resultado que se espera alcanzar. Puede ser también que se requiera optimizar la utilización de materiales para confeccionar un objeto determinado, en este caso es necesario conocer cuál es el que más se dificulta, el más costoso, etc.

Las alternativas de carácter tecnológico son aquellas en las que la selección del método matemático más apropiado para resolver un problema depende de la disponibilidad de la tecnología. Si el problema dado se resuelve utilizando un programa de computación, la utilización de un paquete u otro depende de la disponibilidad de equipamiento con los requerimientos necesarios.

Esta manera de proceder posibilita un acercamiento entre los procedimientos que  utiliza el ingeniero agrónomo para el manejo de las alternativas que se le presentan en la realidad agropecuaria y el razonamiento lógico que utilizan los alumnos en la selección del método más adecuado para la solución de los problemas docentes, lo que contribuye al desarrollo de métodos profesionales desde la Matemática Básica para la carrera de Agronomía. (figura 5)

Durante el enfrentamiento del alumno a este tipo de problema matemático, su razonamiento sigue una lógica muy similar al desarrollado por el ingeniero agrónomo en el ejercicio de su profesión; lo que hace que se pueda afirmar que la lógica del razonamiento del alumno en las matemáticas para la carrera de Agronomía y lógica de actuación del ingeniero agrónomo pueden existir en unidad dialéctica.

Solución matemática

En el eslabón solución matemática el sujeto aplica una sucesión de pasos en dependencia del método seleccionado y de la base de conocimientos que posea, para encontrar la respuesta adecuada.
En este eslabón la aplicación que realiza el sujeto puede ser: matemática, profesional o tecnológica en correspondencia con las dimensiones antes descritas. O sea, el sujeto aplica un método matemático:
haciendo uso solamente de los contenidos asimilados,
en correspondencia con la situación problémica profesional a resolver  o
haciendo uso de una determinada tecnología.
Interpretación de los resultados
En este eslabón del proceso se establece la correspondencia entre los resultados obtenidos en la solución del problema y las propiedades del modelo matemático, lo cual es imprescindible para conocer la lógica de los resultados.

La interpretación de los resultados es muy importante sobre todo cuando el problema que se resuelve está relacionado con el objeto de trabajo del profesional que se quiere formar. En este caso, la interpretación de los resultados obtenidos debe constituir un aporte para el desarrollo del proceso de producción agropecuaria del nivel en cuestión. Resulta vital que esta situación sea asimilada e interiorizada por el alumno con ayuda del profesor, para que pueda valorar su significación práctica, así como la importancia del uso de los métodos matemáticos para el ejercicio de sus funciones.
Durante todos los eslabones del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados se necesita validar la correspondencia de cada uno de ellos con la  situación matemática o profesional que determinó el contenido del problema dado.

En el caso de la fase de modelación matemática esta contrastación permite perfilar el modelo de acuerdo a las condiciones iniciales y exigencias que se plantean en el problema. Durante la fase de selección de la alternativa de solución más adecuada, de carácter matemático, profesional o tecnológico, se tiene que verificar constantemente si las  exigencias del problema  se corresponden con el método a utilizar y viceversa.
La relación que se establece entre el eslabón de solución y la situación matemática o profesional que determinó el problema permite arribar a respuestas lógicas. En la interpretación de los resultados es imprescindible verificar la correspondencia entre estos y la situación inicial planteada.
Estos eslabones se ponen de manifiesto, tanto en el proceso de solución de problemas docentes, como en el desarrollo de tareas investigativas orientadas durante el desarrollo del proceso docente educativo y que deben ser resueltas al concluir el tema.

En el desarrollo de esta actividad los estudiantes deben formular problemas propios de los agrosistemas, realizando consultas en las unidades básicas de producción o en interacción con profesores de las asignaturas que se corresponden con los campos de acción del agrónomo.
En el proceso de solución de estas tareas, los alumnos recurren al análisis de alternativas para encontrar el resultado que más se ajusta a las condiciones del problema y a la aplicación de tecnologías, si fuera necesario. Concluyen con la elaboración de un informe que se discute en una actividad docente, con la participación de las asignaturas implicadas y productores,  donde se recogen las recomendaciones necesarias para el mejoramiento de la producción agropecuaria.

La solución de problemas propios de los agrosistemas en el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía, y el desarrollo por los alumnos de tareas investigativas, en interacción constante con el proceso de producción agropecuaria, contribuye al logro de la integración entre los componentes académico,  laboral e investigativo. (figura 6)
En el desarrollo del proceso docente educativo el estudiante se apropia de parte de la cultura, de los conocimientos,  habilidades y valores, indispensables para su formación, o sea de lo académico. Además hace uso de la metodología de la investigación científica para el desarrollo de tareas extraclases, lo que lo motiva y le hace ver de forma clara la necesidad de las herramientas  matemáticas para solucionar sus problemas. Por otra parte, la solución de estas tareas y de los problemas vinculados con la producción agropecuaria, lo acercan a lo laboral.
Entonces el modelo propuesto contribuye al desarrollo de los tres componentes del proceso docente educativo, mediante la resolución de problemas y el desarrollo de tareas investigativas, relacionados con los agrosistemas con soluciones alternativas; pero no de forma aislada, sino en una estrecha relación, lo que aporta a la formación de un egresado integral con conocimientos, habilidades y valores, capacidad para investigar, amor por su profesión y dominio de sus métodos de trabajo. 

De todo lo anterior podemos plantear que el modelo que se propone (figura 7):
Permite compatibilizar las diferencias entre la lógica formal de la Matemática Básica en el plano docente y la lógica de  actuación del ingeniero agrónomo mediante un acercamiento entre el objeto de estudio de las matemáticas y el objeto de trabajo del agrónomo, además los procedimientos para el análisis de las alternativas en la actuación del profesional son llevados a la solución de problemas docentes contextualizados con alternativas, como el método fundamental para la ejecución del proceso.
Contribuye al desarrollo de métodos profesionales, desde la Matemática Básica, como es la búsqueda de soluciones alternativas, que le permiten a este egresado resolver los problemas que se le presentan  mediante la experimentación e innovación.

Propicia  la utilización de métodos problémicos en la ejecución del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía, con énfasis en la  solución de problemas propios de los agrosistemas con alternativas de solución.
Contribuye al desarrollo de los componentes: académico, laboral e investigativo, al incluirse en el desarrollo del proceso docente educativo problemas reales de la producción y tareas investigativas.
El componente académico se desarrolla durante todas las tipologías de clase y abarca un tiempo mayor debido al tipo de asignatura que analizamos. Durante las diferentes actividades se le proponen al alumno problemas relacionados con el perfil ocupacional del ingeniero agrónomo, acercándolos de esta forma a la práctica,  a lo laboral.

Por último se plantean tareas investigativas; de búsqueda parcial o heurística, en cuyo informe los alumnos deben utilizar los elementos esenciales de la metodología de la investigación, tanto en su estructura, como en el asentamiento bibliográfico.
De esta forma se puede contribuir al desarrollo de métodos profesionales desde la Matemática Básica; pero no se debe abusar del planteamiento de ejercicios que conduzcan al análisis de alternativas de carácter matemático. Si los problemas que se le plantean al alumno son puramente matemáticos, existe la posibilidad de que el estudiante no asimile la significación que tiene para él, como futuro profesional, desarrollar tales métodos.
Regularidades del modelo
Para llegar a las regularidades que se evidencian en la modelación didáctica propuesta, se parte de asumir el concepto de C. Álvarez (1999), según el cual la regularidad expresa cierto grado de obligatoriedad en las relaciones de carácter causal, necesaria y estable, entre los fenómenos, propiedades y elementos del mundo objeto de estudio. Sobre esta base se revelan las siguientes regularidades:
A través del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados se establece la  relación entre las alternativas de la profesión y las alternativas de la matemática.
La aplicación de alternativas de las matemáticas en el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados es el resultado de la interacción del sujeto con la situación matemática o profesional planteada y que se convierte en problema cuando es configurada en necesidad.
En el proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados se atenúa la contradicción entre la lógica predominantemente deductiva de la matemática y la lógica predominantemente inductiva deductiva que caracteriza la actuación profesional.
Las relaciones entre el problema matemático y el contenido matemático,  que se sintetizan en la aplicación de los métodos matemáticos, determinan las dimensiones gnoseológica, profesional y tecnológica del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados.

 

Metodología para el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía

Para la aplicación del modelo propuesto se elabora una metodología dirigida al perfeccionamiento del desarrollo del proceso docente educativo de las asignaturas Matemática 1 y 2 para la carrera de Agronomía sobre la base de este nuevo enfoque.

Características de la metodología:
Se centra en la utilización de los métodos problémicos.
El proceso de solución de los problemas matemáticos contextualizados se manifiesta en sus tres dimensiones: gnoseológica, profesional y tecnológica.
El proceso de solución de los problemas matemáticos contextualizados se desarrolla teniendo en cuenta los eslabones: modelación matemática, selección del método matemático más adecuado, solución e interpretación de los resultados.
La forma de enseñanza típica que se utiliza es la clase; pero se hace la precisión de algunas tipologías de estas en correspondencia con los objetivos propuestos.
El medio fundamental que se propone utilizar es el pizarrón, aunque en las actividades de introducción del nuevo contenido es muy factible la utilización de pancartas, maquetas, retroproyector para mostrar esquemas ya elaborados o la superposición de láminas que muestren un proceso determinado.

Etapas de la metodología:
Etapa de organización y planificación del proceso docente educativo.
Etapa de ejecución del proceso docente educativo.
Etapa de evaluación del aprendizaje.
Etapa de organización y planificación
En esta primera etapa se requiere de:
Precisar como punto de partida, el  modo de actuación del profesional que se quiere formar, que refleja la lógica de este en  la ejecución de sus funciones. Este aspecto es importante, pues mediante la implementación de esta metodología se pretende llevar la lógica de actuación del profesional al proceso docente educativo de la Matemática Básica, con el objetivo de atenuar la contradicción entre ambos procederes.
Perfeccionar el programa vigente de las asignaturas, de manera que satisfaga requerimientos tales como:
Los objetivos se derivan del Modelo del Profesional, definen metas que permiten contribuir al cumplimiento de las funciones del profesional que se quiere formar.   Deben estar diseñados de manera tal que reflejen con claridad lo que se quiere lograr en el alumno y ser alcanzables por estos. En las matemáticas que se estudian en carreras no relacionadas con este perfil, los objetivos deben llevar al estudiante a la aplicación de los conocimientos adquiridos en la solución de problemas contextualizados, según  el objeto de trabajo del profesional que se quiere formar.  Por otra parte esta configuración refleja la sistematicidad  del proceso, por lo que es importante definir con claridad la habilidad generalizadora y no proponer un número elevado de objetivos.
Los temas deben estar estructurados teniendo en cuenta los criterios de sistematización, generalidad y secuencia de los contenidos científicos, definidos por C. Álvarez (1999). Cada tema debe tributar a la solución de uno o varios problemas y por supuesto al objetivo general de la asignatura.  Además consisten en una organización didáctica que como  proceso de enseñanza aprendizaje gradual permite el tránsito de los estudiantes  por  los diferentes  niveles de asimilación posibilitando  el  cumplimiento del objetivo general propuesto.
Se sugiere definir como tipologías de clase las siguientes: conferencia generalizadora introductora, clases prácticas de tipo 1 y 2, clases prácticas integradoras, taller integrador evaluativo.
La conferencia generalizadora introductora es el tipo de  clase donde se garantiza la motivación de los alumnos mediante el acercamiento al objeto de estudio en su relación con el objeto de trabajo del profesional que se quiere formar y su orientación en el estudio del tema.

La clase práctica de tipo I es el tipo de clase donde los estudiantes particularizan los conceptos generales a partir de la generalización teórica, se apropian de métodos de solución a través de la adquisición de conocimientos complementarios y desarrollan habilidades en la aplicación de estos conocimientos a un nivel reproductivo.
La clase práctica de tipo II es el tipo de clase donde los estudiantes sistematizan las habilidades adquiridas, amplían, profundizan  e integran los conocimientos.

Las clases prácticas integradoras son clases prácticas de tipo II, que se desarrollan al finalizar un tema o parte de él, con el objetivo de integrar los conocimientos y habilidades adquiridas.
El taller integrador evaluativo es el tipo de clase donde los alumnos exponen los resultados de una tarea investigativa orientada con anterioridad, relacionada con la modelación de problemas vinculados con otras asignaturas o con el perfil del agrónomo y que requiere del uso de métodos matemáticos para su solución.
Elaborar un sistema de problemas a través de los cuales se desarrolla una  dinámica del aprendizaje centrada en el análisis de alternativas y selección de la más apropiada, según las exigencias que se plantean.
Ejecución del proceso
Según C. Álvarez (1999), criterio que se retoma en esta investigación, el método, las formas de enseñanza y el medio describen la ejecución del proceso docente educativo. Teniendo en cuenta este planteamiento en esta etapa se hace énfasis en estos tres aspectos fundamentales.

Los métodos de enseñanza aprendizaje

En la diferentes actividades se deben utilizar métodos problémicos:  expositivos, de elaboración conjunta, de búsqueda parcial o heurística e investigativos. Con la participación activa de los alumnos se revela el objetivo del tema, se arriban a conceptos y procedimientos generales, se particularizan los conceptos y procedimientos generales, hasta lograr el trabajo independiente.
En el desarrollo de todas las actividades debe establecerse una relación  entre el objeto trabajo del profesional y el objeto de estudio de la Matemática Básica, es conveniente plantear al estudiante situaciones problémicas, que lo alarmen y le permitan apropiarse de una contradicción entre los conocimientos ya adquiridos y los que debe conocer. Este problema está relacionado con la temática a tratar y con el proceso de la producción agropecuaria. De esta forma se revela la importancia del tema y se despierta el interés de los alumnos por los nuevos contenidos.

En la solución de los problemas que se le presentan al alumno en las clases o como tarea investigativa, es importante que se analicen las alternativas de carácter matemático, profesional o tecnológico, existentes para llegar a la respuesta, las que se corresponden con la dimensión en que se manifiesta el proceso de solución del problema dado.
En el proceso de selección de la alternativa más conveniente se utiliza el siguiente razonamiento:
identificar alternativas,
reconocer indicios de cada alternativa,
caracterizar cada alternativa,
comparar alternativas,
valorar ventajas y desventajas de cada alternativa,
seleccionar la alternativa más conveniente.
Lo que desarrolla en los alumnos una lógica de trabajo similar a la que necesita para ejercer su profesión con independencia.
Las formas de enseñanza
La forma de enseñanza que se utiliza es la clase, aunque  según su función asumen diferentes tipologías:
Se recomienda, para la introducción del nuevo contenido utilizar la conferencia generalizadora introductora, cuyo objetivo fundamental es que el alumno se motive, se familiarice con los nuevos contenidos y se apropie de una lógica del tema.
Para el desarrollo de las primeras actividades prácticas de cada temática, en las que se particularizan los procedimientos y conceptos generales mediante la generalización por deducción, característica de la Matemática se deben utilizar clases prácticas de tipo I.
Las clases prácticas de tipo II, se utilizan para la  sistematización de las habilidades desarrolladas a un primer nivel, lográndose niveles de producción y/o creación en los alumnos.
Al finalizar cada  tema o un grupo de clases deben realizarse clases prácticas integradoras y/o taller integrador evaluativo. En el taller los estudiantes presentan los resultados de una tarea que se les orienta al iniciar el tema, la cual consiste en buscar en otras asignaturas de la carrera, en una empresa agropecuaria, un problema que se pueda modelar, valorar las diferentes vías para llegar a la solución, resolver utilizando los métodos matemáticos estudiados,  e interpretar los resultados. El informe debe entregarse de forma escrita, teniendo en cuenta los elementos fundamentales de Metodología de la Investigación para tales efectos.

Los medios de enseñanza

Durante todas las actividades es necesario que el docente comprenda la necesidad de estimular la actividad mental de los estudiantes, para ello es importante que su exposición sea convincente, demostrativa, rigurosamente lógica de forma tal que en el alumno no surjan dudas en cuanto a la justeza de las deducciones y generalizaciones. En este sentido es conveniente además de la utilización del pizarrón como medio fundamental:
La elaboración de esquemas, o sea, representaciones gráficas de la estructura, de hechos y fenómenos, de sus elementos de interconexión que simbolizan lo esencial, ya que cuando la explicación del profesor se apoya en esquemas, ante los ojos de los alumnos aparece una cierta estructura, la relación entre los elementos expresada en signos convencionales, figuras geométricas, palabras claves, flechas que indican relaciones y contradicciones que apoyan la palabra del profesor.
Los esquemas pueden ser elaborados en el pizarrón,  proyectarse de forma acabada o superponerse láminas en caso de que se pretenda mostrar el proceso en sí, etc. No obstante, la utilización de los medios de enseñanza depende no sólo del método; sino además de los alumnos, de la personalidad y maestría pedagógica del profesor, por lo que son diferentes en cada caso en particular.
En algunas actividades se puede hacer uso de la computación. En el tema de Programación Lineal se resuelven problemas de optimización utilizando paquetes profesionales.  En otros momentos se necesita realizar ajustes de curvas, cuando se tienen datos experimentales, graficar, etc. Los procesadores de texto se emplean por los alumnos para la entrega de tareas extraclases por vía correo electrónico. Se recomienda además la realización de búsquedas bibliográficas electrónicas y el manejo del idioma inglés para el uso de la computación.
Otros aspectos a tener en cuenta en la ejecución del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía.
En las diferentes actividades se recomienda abordar aspectos relacionados con la historia de las matemáticas, como herramienta para desentrañar verdades, destacándose el lugar que ocupa el tema dentro de la ciencia. Además al enunciar los teoremas se pueden comentar datos sobre los autores, la época y país donde vivieron y desarrollaron su labor científica, papel que jugaron en el desarrollo del tema. De esta forma se contribuye a consolidar en el alumno una concepción científica del mundo.
Durante todas las actividades es importante intercambiar con los alumnos sobre la importancia del tema como un medio potente no sólo de las matemáticas, haciéndose énfasis en la necesidad de su inclusión en los programas de Matemática Básica para el ingeniero agrónomo, como una herramienta fundamental para dar solución a sus problemas científicos productivos e investigativos y para la vida. Esto es muy importante para lograr la motivación en el alumno.
Es muy importante la adecuada orientación del estudio independiente,  como medio fundamental para el desarrollo de la independencia cognoscitiva de los alumnos.
Evaluación del aprendizaje
La evaluación expresa la relación entre el proceso y su resultado y el acercamiento al objetivo en las diferentes dimensiones que caracterizan su complejidad. Mediante la evaluación se puede constatar lo que realmente se logró. (H. Fuentes, 2000)
La evaluación no es una actividad final, sino un proceso permanente, donde es muy importante la retroalimentación.  Los docentes y estudiantes necesitan evaluar sistemáticamente el aprovechamiento de los alumnos en las diferentes actividades para poder tomar decisiones y perfeccionar su trabajo.
Mediante el proceso de evaluación del aprendizaje los estudiantes deben recibir una adecuada y pronta retroalimentación sobre su tarea, que les permita reflexionar sobre su progreso y de este modo, mejorar su desempeño (Perkins y Blythe, 1994).
En este sentido desempeñan un papel fundamental las evaluaciones frecuentes y parciales. El taller integrador puede constituir una forma de evaluación parcial con muchas ventajas en el cumplimiento de las funciones de esta fase. Puede utilizarse como complemento de una evaluación parcial escrita o en los temas que el objetivo lo requiera como única forma.

La evaluación mediante el taller integrador evaluativo tiene la ventaja de que el profesor está cerca del alumno, comprobando, preguntando,  convirtiendo la evaluación en un diálogo educativo con los estudiantes sobre los caminos o vías escogidas para actuar, sobre las dificultades encontradas y las alternativas posibles.
Las evaluaciones frecuentes se realizan cuando el profesor estime conveniente con la mayor sistematicidad posible; pero teniendo en cuenta  el nivel por el que transita el alumno.
Las evaluaciones frecuentes, parciales y finales, conforman un sistema. El sistema de evaluación se define teniendo en cuenta el objetivo de cada actividad, tema, asignatura y disciplina, el cual debe reflejar el nivel de asimilación que ha alcanzado el estudiante, finalizándose con evaluaciones productivas y/o creativas.
El sistema de evaluación que se planifique en cada asignatura debe:
llevar al alumno a la integración de los conocimientos adquiridos;
plantear al estudiante dilemas y no exigir sólo la memorización de conceptos;
conducir a los alumnos al análisis de alternativas en la búsqueda de la solución de los ejercicios y problemas;
incluir, siempre que sea posible, la solución de problemas relacionados con el objeto de trabajo del profesional que se quiere formar;
acercar al estudiante a lo académico, investigativo y laboral.

Conclusiones

En el modelo que se propone, se establece un acercamiento entre el objeto de estudio de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía y el objeto de trabajo del profesional que se pretende formar, lo que favorece el desarrollo de un proceso docente educativo en interrelación con los sistemas agropecuarios, contribuyendo a la motivación constante de los alumnos y a la formulación de problemas docentes contextualizados.
Este modelo didáctico concibe el proceso de solución de problemas contextualizados en tres dimensiones: gnoseológica, profesional y tecnológica, lo que fundamenta el manejo de alternativas de carácter  matemático,  profesional o tecnológico en el desarrollo de las fases de este proceso, incorporando de esta manera la lógica  que utiliza el ingeniero agrónomo en su actuación profesional a la ejecución del proceso docente educativo de esta ciencia.
La implementación de este modelo favorece la integración de los componentes: académico, investigativo y laboral, para lo cual incluye el planteamiento de problemas propios de los agrosistemas con soluciones matemáticas alternativas y la orientación de tareas investigativas relacionadas con otras asignaturas vinculadas a los campos de acción del agrónomo o a unidades básicas agropecuarias.
El modelo propuesto fundamenta la elaboración de una metodología para el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía, basada en la solución de problemas contextualizados  con alternativas de carácter matemático,  profesional o tecnológico, lo que contribuye al desarrollo de la independencia en el desempeño de los alumnos.
La concepción de la metodología propuesta propicia el despliegue sistémico de los contenidos, utilizándose para ello diferentes tipologías de clase como: conferencia generalizadora introductora, clase práctica de tipo I, clase práctica de tipo II y taller integrador evaluativo.
La aplicación de esta metodología requiere del perfeccionamiento del  programa de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía en cuanto a organización de los temas, definición  de objetivos y tipologías de clase, concepción del sistema de evaluación y reelaboración de las indicaciones metodológicas.

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