APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA EN EL DESARROLLO DEL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA MATEMÁTICA BÁSICA PARA LA CARRERA DE AGRONOMÍA

En este capítulo, luego del perfeccionamiento  del programa de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía (Anexo 6), se concreta la metodología en la ejecución del proceso docente educativo del tema Integrales y sus aplicaciones, ejemplificándose a través de situaciones específicas las posibilidades que ofrece el propio contenido para el desarrollo de métodos profesionales, como es la búsqueda de alternativas de carácter matemático, profesional o tecnológico,  en la solución de problemas relacionados con los agrosistemas, lo cual ofrece una idea general sobre la contribución de la propuesta metodológica al desarrollo de la independencia cognoscitiva en los alumnos.
Se propone un sistema de problemas para el tema Derivadas y sus aplicaciones, que puede ser usado en el desarrollo del mismo. Finalmente se hacen algunas valoraciones sobre la propuesta metodológica que reflejan su impacto positivo.

Estructuración del Programa de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía para la implementación de la metodología.

A partir de la necesidad que tiene el ingeniero agrónomo de relacionar los procesos químicos, biológicos y sociales que ocurren en los agrosistemas, reconociendo las especies y variedades de plantas y animales presentes, con preceptos de conservación y protección, utilizando modelos matemáticos, se incorpora la Matemática Básica al ciclo básico de esta carrera.

En el proceso de perfeccionamiento del  plan de estudio para la carrera de Agronomía, a partir de la Reforma Universitaria de 1962, el objeto de estudio de la Matemática Básica se ha modificado atendiendo a las necesidades crecientes del profesional, en correspondencia con el progreso científico técnico alcanzado por la humanidad. En los momentos actuales, el objeto de estudio de esta asignatura lo constituyen los modelos y métodos matemáticos relacionados con el Cálculo  Diferencial, Cálculo Integral y la Programación Lineal.
El estudio de la Matemática Básica en interrelación con los sistemas agropecuarios, permitirá al egresado resolver problemas relacionados con su perfil profesional y con otras asignaturas que requieran de la utilización de  métodos del  Cálculo Integral, Cálculo Diferencial o de  la  Programación Lineal, realizando la construcción previa del Modelo Matemático adecuado, el análisis de diferentes alternativas de solución y de los resultados, de forma reflexiva, para el desarrollo de una concepción científica del mundo y su desempeño profesional con independencia y creatividad.

Teniendo en cuenta que de la organización de los contenidos, depende en gran medida el éxito de la ejecución del proceso y las particularidades de la metodología que se propone, se realiza una reestructuración de los programas actuales de las Matemática 1 y 2 (Anexo 6), partiendo de la necesidad de hacer el proceso lo más sistémico posible, debido a las ventajas que ofrece este estilo contemporáneo del pensamiento científico para el desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos, la solidez de sus conocimientos y por consiguiente un mayor grado de independencia cognoscitiva.

Se diseñan estos programas como un todo único, lo que hace más explícito el despliegue sistémico de los contenidos que se imparten durante el primer año de la carrera. De preferirse mantener la estructura actual de dos asignaturas, se sugiere agrupar los temas 1-3 y 4-6.

Teniendo en cuenta el programa propuesto se organizan las clases en cada Tema de la siguiente forma:
TEMA 1. Elementos de Algebra Lineal y Geometría Analítica. 

Conferencia: Conceptos básicos del Algebra Lineal y la Geometría Analítica. (2h).
Clase Práctica 1. Operaciones con vectores de R2 y R3  y  matrices (4h).
Clase Práctica 2. Operaciones con vectores de R2 y R3 y matrices (2h).
Clase Práctica 1. Rango de una matriz (4h).
Clase Práctica 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales (4h).
Clase Práctica 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales. (2h).
Clase Práctica 2. Problemas que conducen a Sistemas de Ecuaciones Lineales (4h).
Clase Práctica 1. Representación de planos, elipsoides, esferas y cilindros (elípticos y circulares) (2h).
Clase Práctica 2. Representación de planos, elipsoides, esferas y cilindros (elípticos y circulares) (2h).
Prueba Parcial  (2h).
TEMA 2. Límite y Continuidad.      
Conferencia: Límite y Continuidad de funciones de una y dos variables (2h).
Clase Práctica 1. Límite y continuidad de funciones de una variable.(4h).
Clase Práctica 2. Límite y continuidad de funciones de una variable (4h).
Clase Práctica 2. Ejercitación general de límite y continuidad (4h).
Prueba Parcial (2h).
TEMA 3. Derivadas y sus aplicaciones.       
Conferencia: Derivada y sus aplicaciones (2h).
Clase Práctica 1. Derivada de funciones simples de una y varias variables escalares y vectoriales (2h).
Clase Práctica 1. Derivada de funciones compuestas de una y varias variables (4h).
Clase Práctica 1. Derivada direccional (4h).
Clase Práctica 2. Ejercitación general sobre derivadas (4h).
Clase Práctica 1. Regla de L´Hospital (2h).
Clase Práctica 2. Regla de L´Hospital (2h).
Clase Práctica 1. Dominio, Simetría, Asíntotas (2h).
Clase Práctica 1. Extremos, Concavidad y Puntos de Inflexión (4h).
Clase Práctica 2. Trazado de Curvas (4h).
Clase Práctica 1. Problemas de optimización (2h).
Clase Práctica 2. Problemas de optimización (2h).
Clase Práctica 1. Diferencial y sus aplicaciones (2h).
Clase Práctica 2. Diferencial y sus aplicaciones (2h).
Taller. Aplicaciones de las derivadas (2h).
Prueba Parcial  (2h).
TEMA 4. Programación Lineal.
Conferencia: Programación Lineal (2h).
Clase Práctica 1. Construcción de modelos de Programación Lineal (4h).
Clase Práctica 2. Construcción de modelos de Programación Lineal (4h).
Clase Práctica 1. Solución de  Problemas de Programación Lineal utilizando la computación e interpretación de los resultados (2h).
Clase Práctica 2. Solución de Problemas de Programación Lineal utilizando la computación e interpretación de los resultados (2h).
Clase Práctica 2. Construcción de modelos de Programación Lineal, solución e interpretación de los resultados (2h).
Taller. Construcción de modelos de Programación Lineal, solución e interpretación de los resultados. ( 4h).
TEMA 5. Integrales y sus aplicaciones.        
Conferencia: Integrales y sus aplicaciones (2h).
Clase Práctica 1. Integrales indefinidas, propiedades, fórmulas de integración inmediatas y Reglas de Integración  (2h).
Clase Práctica 1. Métodos de integración (cambio de variables y por partes) (4h).
Clase Práctica 2. Cálculo de integrales indefinidas (2h).
Clase Práctica 1. Integral definida  e impropia de primera especie (2h).
Clase Práctica 2. Integral definida e impropia de primera especie. Aplicaciones (2h).
Clase Práctica 1. Integrales dobles en coordenadas cartesianas (2h).
Clase Práctica 1. Integrales de línea. Primera forma escalar. Teorema de Green en el plano y sus consecuencias (4h).
Clase Práctica 1. Integrales de línea. Forma vectorial. Aplicaciones (2h).
Clase Práctica 2 . Integrales de línea y sus aplicaciones (2h).
Taller.  Aplicaciones de las integrales definidas, impropias y de línea (4h).
Prueba Parcial. (2h)
TEMA 6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.           
Conferencia: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (2h).
Clase Práctica 1. EDO de primer orden y primer grado de variables separables, exactas y lineales (4h).
Clase Práctica 1. EDO de segundo orden y primen grado con coeficientes constantes homogéneas (4h).
Clase Práctica 2. Ejercitación general sobre EDO y solución de problemas que conducen a EDO (4h).
Taller. Aplicaciones de las EDO (2h).
Prueba Parcial (2h).

Ejecución del tema Integrales y sus aplicaciones.

El tema Integrales y sus aplicaciones tiene como objetivo: Resolver problemas relacionados con otras asignaturas, con los agrosistemas, con la vida  y  que requieran del cálculo de  Integrales  Definidas, Impropias  de  primera especie y de Línea, mediante las reglas, métodos y tablas de integración,  realizando la construcción previa del modelo matemático adecuado y la evaluación  crítica de los resultados de forma reflexiva, extendiendo estos conceptos y métodos  al cálculo de las Integrales Triples y de Superficie a manera de familiarización, para el desarrollo el pensamiento lógico, una concepción científica del mundo y su desempeño profesional con independencia y creatividad.
Se inicia el tema con una Conferencia Generalizadora Integradora, ubicando al  alumno en el lugar que ocupa el Cálculo Integral dentro de la asignatura, su relación con temas anteriores y posteriores.
A continuación, se comentan datos sobre el surgimiento del Cálculo Integral, su relación con el  Cálculo Diferencial, sus principales exponentes. En este momento cabe señalar el trabajo realizado por Newton y Leibniz en la fundamentación de sus resultados, sin apresurarse en su publicación. Estos conceptos fueron enriquecidos posteriormente por otros autores.

Luego es oportuno intercambiar con los estudiantes sobre la importancia del tema como un medio potente  de investigación no sólo de las matemáticas, sino además de la Física,  la Mecánica, etc., haciéndose énfasis en la necesidad de su inclusión en los programas de la Matemática Básica para el ingeniero agrónomo, como una herramienta fundamental para la determinación de la longitud de elongación de los tallos, la lámina infiltrada acumulada en el perfil del suelo, etc.
De esta forma se produce un acercamiento entre el objeto de estudio del tema y el objeto de trabajo del ingeniero agrónomo. Posteriormente  se revela el objetivo del tema, se continúa trabajando en este sentido y se enuncia el siguiente problema:

En la Unidad de Ciencia y Técnica de la Universidad de Ciego de Ávila se necesita realizar el diseño de un campo típico de piña (Ananas comosus), para un experimento. Por los requerimientos de este cultivo es necesario determinar, al menos aproximadamente, el área de la parcela con el objetivo de planificar su siembra. Se conoce que el terreno colinda con dos cercas rectas, de 10 y 5 m cada una, que se interceptan en sus orígenes, formando un ángulo de 90º. Considerándose estas cercas como los ejes de coordenadas “x” y “y”, se quiere terminar de cercar el terreno con alambre de púa, en forma de parábola  con vértice en una de las cercas, a 10 m del origen y que pase por el extremo de la otra. ¿Cuál será el área aproximada del terreno?.

Evidentemente la parábola tiene ecuación  y = 10 – 0,4 x2  y esta situación permite la introducción del concepto de integral definida y su relación con el área bajo la curva, realizando particiones del intervalo [a,b], para lo cual se aprovechan los conocimientos de los alumnos sobre áreas de figuras conocidas.

Al introducir el símbolo de integral se comenta que Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A este científico se le debe también la notación  para  la integral.
Inmediatamente este concepto se generaliza, en interacción con los alumnos,  a integrales dobles; triples; de línea; de superficie; impropias, lo que permite reducir el tiempo dedicado a la introducción del nuevo contenido, sin afectar el nivel científico de la actividad. Todo este análisis puede puntualizarse mediante un esquema, destacándose las interrelaciones necesarias.

A continuación se hace notar que la integral definida puede calcularse a partir de la definición, que no es más que un método de integración numérica. Otros procedimientos de este tipo se deducen de forma similar aproximando las figuras que se obtienen mediante la partición del intervalo [a,b] a rectángulos, trapecios, etc.
Mediante el intercambio se hace evidente que la exactitud de estos métodos depende de la figura escalonada que se forma y del número de particiones que se hagan sobre el intervalo dado. Mientras mayor cantidad de subintervalos más exacto será el resultado, pero los cálculos serán más engorrosos, por lo que en la práctica la determinación de las integrales definidas está relacionada con la búsqueda de la primitiva de la función integrando.

En este momento se introduce el concepto de primitiva, de integral indefinida, los teoremas fundamentales del Cálculo Integral, las propiedades de la integral definida. A continuación se intercambia con los estudiantes sobre los métodos de  cálculo de todas las integrales estudiadas, enfatizándose que siempre se parte de la determinación de una integral definida.

Durante toda la actividad predomina el método expositivo problémico. Los alumnos se familiarizan con el contenido dado y pueden llegar a reproducir algunos conceptos y métodos de cálculo, como son los de integración numérica.

Puede proponerse de tarea la determinación del área bajo la curva del problema planteado al inicio de la clase mediante la fórmula de los rectángulos, de los trapecios y de las parábolas para valores de “n” igual a 10 y a 15. Los estudiantes deben valorar estas alternativas, que en un contexto dado pueden ser de carácter matemático o profesional, determinar cuando aplicar cada fórmula,  cuál de estos métodos ofrece un resultado más preciso y en un mismo método de qué depende la exactitud del resultado.

En este caso se desarrolla el razonamiento lógico del alumno, para que pueda elegir entre varias alternativas al realizar una tarea, contribuyendo de esta forma a la adquisición de habilidades para su desempeño profesional con independencia cognoscitiva. Se trabajan las tres dimensiones del proceso de solución de problemas, aunque de manera muy elemental.

Desde esta actividad se orienta a los alumnos la tarea con vistas al desarrollo del taller integrador evaluativo, relacionada con la elaboración, modelación y solución de problemas relacionados con el proceso de producción agropecuaria y que se resuelvan utilizando métodos del Cálculo Integral.
La primera clase práctica que se desarrolla es de tipo I, para particularizar en el estudio de las integrales indefinidas, sus propiedades, reglas, métodos de integración. Posteriormente todo este contenido  se sistematiza en una clase práctica de tipo II, generalizadora de esta primera parte.
En estas clases se deben proponer ejercicios donde se pueda calcular la integral indefinida por más de una vía para enseñar al alumno a trabajar con alternativas, en este caso de carácter matemático. Por ejemplo en la clase práctica integradora se puede plantear el siguiente ejercicio:

Si se aplica el método de integración por sustitución, luego se necesita integrar por partes o utilizar la tabla de integrales, en cambio la segunda vía sólo requiere del método de integración por partes. El estudiante se enfrenta al análisis de alternativas de carácter matemático.

Sobre esta base se continúa con el cálculo de integrales definidas e impropias. Primeramente se desarrollan clases de tipo I y luego de tipo II. En la primera actividad se retoma el problema de la conferencia y se comparan los resultados con los obtenidos, aplicando métodos de integración numérica. Se analizan las alternativas de solución.

En las clases prácticas de tipo II se realizan preferentemente ejercicios de aplicación, vinculando los problemas en lo posible a los agrosistemas o con otras asignaturas.
Ejemplo: La ecuación de infiltración de Philip para un suelo ferralítico rojo típico de la Empresa de Cultivos varios  Banao, de la provincia Santi Spiritus es:
I = 0,001875 t-0,5  + 0,000135
De tarea se puede proponer a los alumnos el siguiente problema:
En un canal de riego construido en la Empresa “Juventud Heroica” se ha evaluado el comportamiento del área de la sección transversal en relación con la velocidad del agua en diferentes tramos del mismo. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Tabla 1.  Mediciones del área de la sección transversal de un canal y de la velocidad  del agua en diferentes tramos.

Tramos	Area (m2)	Velocidad del agua (m/s)
0 –  0 + 400	0,48	0,416
0 + 400 – 0 +610	0,51	0,490
0 + 610 – 0 +970	0,56	0,535
0 + 970 – 1 +547	0,70	0,500
1 + 547 – 1 +750	0,99	0,404
1 + 750 – 1 +890	1,40	0,321

Aplicando los métodos de integración numérica, por ejemplo aproximando la curva     y = f(x) por una línea quebrada y sumando las áreas de los trapecios rectangulares que se forman se obtiene  que el caudal promedio que pasa por el canal es aproximadamente igual a 0,391 m3/s.
Teniendo en cuenta la nube de puntos  se puede realizar un ajuste de curva, manejando alternativas de carácter tecnológico. De esta forma:

            V = 2,1189 A3 – 6,1787 A2 + 5,4156 A – 0,9642 . (Anexo 15)
Al calcular la integral de esta función en el intervalo de  [0,48; 1,40] se obtiene como resultado que el caudal promedio que pasa por el canal es de aproximadamente 0,382 m3/s.
Ambos métodos permiten dar solución al problema y dependen de la cantidad de mediciones realizadas. El segundo suele ser bastante preciso si disponemos de una cantidad de puntos tal, que posibilite ajustar la nube que se forma en su representación gráfica, a una curva que describa con exactitud el comportamiento del fenómeno analizado. Las alternativas a manejar en este caso pueden ser de carácter matemático,  profesional o tecnológico.
Posteriormente, se ejercitan los métodos de cálculo de las integrales dobles por su necesaria comprensión para la determinación de las integrales de línea cerradas utilizando  el Teorema de Green en el plano. Inmediatamente, también mediante clases prácticas de tipo I,  se calculan integrales de línea en su primera forma escalar y forma vectorial y se resuelven problemas relacionados con su aplicación al cálculo de trabajo.

En las clases prácticas de tipo I se trabaja utilizando el método de elaboración conjunta problémico hasta lograr el trabajo independiente en las clases prácticas de tipo II, donde los alumnos alcanzan niveles de asimilación de producción. Se resuelven problemas con alternativas de solución  de carácter matemático, profesional y tecnológico, desarrollando métodos de trabajo que posibilitan el desempeño del egresado con independencia cognoscitiva.

Al finalizar el tema se realiza un taller donde los estudiantes exponen los resultados de la tarea extraclase orientada con anterioridad, relacionada con la aplicación del tema a la solución de problemas de otras asignaturas o del perfil del agrónomo, para lo cual se introducen en el campo de la investigación científica, aunque de manera muy elemental.

Para la realización de la tarea se forman dúos y se exige la entrega de un informe con las normas elementales de metodología de la investigación.

Evaluación del aprendizaje:

Durante todas las actividades se desarrollan evaluaciones frecuentes teniendo en cuenta el nivel de asimilación por el que transita el estudiante y utilizándose diferentes variantes. Estas evaluaciones se van integrando en las clases prácticas de tipo II al finalizar el estudio de cada temática, en particular las relacionadas con las integrales indefinidas,  integrales definidas e impropias, e integrales de línea. 
La evaluación final del tema se desarrolla al concluir el mismo y se complementa con los resultados alcanzados por los alumnos en el  taller integrador evaluativo.

Como se ha podido observar esta organización de los contenidos prevé el desarrollo de los tres componentes esenciales del plan de estudio :

El componente académico garantiza la adquisición por parte de los estudiantes de los contenidos básicos esenciales.

El componente laboral incluye las habilidades propias del ejercicio de la profesión y se desarrolla a través  de todo el tema cuando  se resuelven problemas propios de la especialidad.
El componente investigativo introduce al estudiante en la investigación científica y se desarrolla mediante la tarea que estos resuelven con vistas al Taller Integrador Evaluativo.

Siguiendo esta misma metodología se diseñan los restantes temas de la asignatura. En los Anexos 7 y 8  puede observarse la estructuración y ejecución del tema Programación Lineal.

Problemas con soluciones alternativas, relacionados con los agrosistemas y  tareas investigativas.

En este epígrafe se ejemplifica mediante casos particulares la solución de problemas. matemáticos contextualizados. Estos problemas adquieren una particularidad específica teniendo en cuenta que deben contribuir al desarrollo de métodos profesionales en los alumnos y se agrupan de la siguiente forma:
Problemas formulados por el profesor, relacionados con los agrosistemas y que requieren del uso de métodos matemáticos para su solución.
Problemas formulados por los estudiantes en tareas extraclases que requieren del uso de métodos matemáticos para su solución.
A continuación se proponen problemas matemáticos contextualizados, relacionados con el Tema Derivada y sus aplicaciones, que conllevan al alumno a la búsqueda de la mejor alternativa de solución de carácter matemático, profesional o tecnológico, desarrollando de esta forma métodos de trabajo que contribuyen a su mejor desempeño  profesional.
Problema 1. En una parcela ubicada en la Unidad de Ciencia y Técnica de la Universidad de Ciego de Ávila se realizaron diferentes mediciones en cm, de la lámina infiltrada durante un  tiempo de 45 min.  Los resultados obtenidos se reflejan en la siguiente tabla:

Tabla 2. Mediciones de la lámina infiltrada durante un  tiempo de 45 min.

Lámina infiltrada, z (cm.)	Tiempo, t (min.)
6,4	0
6,3	5
6,2	10
5,9	15
5,7	20
5,5	25
5,3	30
5,0	35
4,8	40
4,5	45

Determine la velocidad de infiltración al cabo de 25 min.
A partir de los datos experimentales se obtuvo la curva de mejor ajuste, mediante el manejo con los alumnos de alternativas de carácter tecnológico, que representa la dependencia de la lámina infiltrada acumulada (z) del tiempo (t). Se obtuvo:  z = 0,0043 t 0,5 + 0,00035 t.
z = t ( 0, 0043 t –0,5 + 0,00035)     z´= 0, 0043 t –0,5 + 0,00035 + t (-0,00215  t –1,5 )
z´= 0,00215 t –0,5 + 0,00035               z´(25) = 0,00078
z´= 0,00215 t –0,5 + 0,00035              z´(25) = 0,00078

Respuesta: La velocidad de infiltración para un tiempo de 25 min. es igual a 0,00078 cm/min.
Aunque la primera vía es engorrosa puede ser que algún alumno determine extraer el factor común x, en este caso, simplemente se le indica que existe otro camino, que en este caso es más corto y simplifica los cálculos, se manejan alternativas de carácter matemático.
Problema 2.  Determine la dosis necesaria de vinaza pura (m3/ha) a aplicar en el cultivo de la caña de azúcar (variedad C. 266 – 70),  para la obtención del máximo agrícola en el CAI “Enrique Varona” (suelo oscuro plástico no gleysado), si su dependencia del rendimiento se expresa en los  siguientes datos obtenidos de manera experimental:

Tabla 3. Relación entre la dosis de vinaza pura  a aplicar en el cultivo de la caña de azúcar y el rendimiento

Dosis de vinaza pura (m3/ha)	Rendimiento (t/ha)
0	85
50	101
100	115
150	119
200	105
250	98

Primeramente es necesario realizar un ajuste de curva, para lo cual pueden manejarse diferentes alternativas de carácter tecnológico. Se obtiene la siguiente ecuación:
                y = -0,0016 x2 + 0,45516 x + 84, 536
                y´=  -0,0032 x + 0,45516    y´= 0  Þ  x = 142,2375
y´ es mayor que cero cuando x pertenece al intervalo (-¥; 142,2375) y menor que cero cuando x pertenece al intervalo de (142,2375; +¥)  por lo que para   x = 142,2375  la función alcanza el valor máximo, según el criterio de la primera derivada.
y´´ = -0,0032     y´´ (142,2375) = -0,0032,
y´´ es menor que cero, entonces según el criterio de la segunda derivada la función alcanza un valor máximo en  x= 142,2375 
Respuesta: Para la obtención del máximo agrícola la dosis a aplicar de vinaza pura debe ser de  142,235 m3/ha.
En el primer caso no es necesario el cálculo de la segunda derivada, por lo que puede ser más factible cuando la función a derivar por segunda vez sea muy compleja. Sin embargo por este método hay que buscar el signo de la derivada primera en cada subintervalo definido por los puntos estacionarios determinados con anterioridad, lo cual a veces se torna trabajoso. Teniendo en cuenta las exigencias del problema las alternativas a manejar por el alumno en este momento son de carácter matemático.    
Problema 3. La  sección  transversal del conducto de una fertilizadora, por donde se entrega el fertilizante tiene forma de circunferencia, determine aproximadamente, la variación que sufre el área de su sección transversal si  producto del  calor su diámetro varía de 6 cm a  6,05 cm.
Datos:  xo = 6     xo + Dx = 6,05    Dx = 0,05      A = P x2
 DA = P (x + x0)2 - P x02       DA = P (6, 05)2 - P 62 = 0,6025 P
A´ = 2Px  dA = 2 P x Dx  dA = 2 P x0 Dx   dA = 2P *6 *0,05 = 0,6 P   DA » 0,6 P
Respuesta: El área de la sección transversal del tubo sufre un incremento aproximado de 0,6 P m2
En este caso la selección de la alternativa, depende no sólo de la situación matemática, que evidencia cálculos menos complejos en la segunda vía, sino además del contexto del problema, por lo que la alternativa es sobre todo de carácter profesional.
En estos casos es importante que el alumno comprenda las diferencias entre ambos caminos, cuándo se ofrece un resultado más exacto y cuál hace los cálculos menos engorrosos. En dependencia de la aplicación que tenga que hacer de los resultados será la vía que debe elegir.
Problema 4. En el CAI Patria o Muerte de Ciego de Ávila se necesita construir un tanque sin tapa de base cuadrada, que se destinará a la desinfección de propágulos para plantar la caña de azúcar y se cuenta con 27 m²  de material. ¿Qué dimensiones debe tener el mismo,  si  su volumen debe ser el mayor posible?.
Función objetivo: V = x 2 y                               Ecuación de enlace:  x2 +  4xy = 27
      
La primera derivada se anula cuando x = ±3, por lo que la función debe alcanzar su valor máximo en x=3; lo cual se puede demostrar por cualquiera de los criterios estudiados. En este caso y = 1,5.
F = x2 y + L (x2 + 4xy – 27)
F´x = 2xy + L (2x + 4y)
F´y = x2 + L (4x)
F´L = x2 + 4xy – 27
Igualando a cero estas derivadas y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se puede encontrar que x= 3 y y= 1,5.  Si aplicamos el criterio de suficiencia para funciones de tres variables se puede comprobar que en estos valores la función de Lagrange alcanza su valor máximo.
Respuesta: Para que el volumen sea máximo las dimensiones del tanque deben ser de 3 x 3 m2 de fondo y 1, 5 m de altura.

En este ejemplo las alternativas de solución son de carácter matemático, en el problema no existen exigencias de tipo profesional. Las opciones se presentan en el método para buscar los extremos condicionados de una función en dos variables con una ecuación de enlace, lo cual puede hacerse a partir de la teoría de extremos estudiada para funciones de una variable o utilizando la ecuación auxiliar de Lagrange.
Al aplicar los criterios de suficiencia para determinar la naturaleza del punto estacionario, también existen alternativas,  lo cual no se considera necesario analizar, pues se desarrolló en el ejemplo 4.
Problema 5.  En la  Estación Experimental de la UNICA se desea construir un cantero de volumen igual a 7,2 m3 y una altura de 0,3 m, para la producción de vegetales en condiciones de agricultura orgánica. Determine las dimensiones del mismo para que la cantidad de material a utilizar sea la menor posible.
Función objetivo:   A = 0,6 x + 0,6 y                Ecuación de enlace: 0,3 x y = 7,2
Para la solución de este problema se procede igual que en el ejemplo anterior. Existen alternativas de carácter matemático para encontrar los puntos estacionarios  y luego para determinar la naturaleza de los mismos.
Otra forma importante de contribuir a la formación integral de los egresados desde la Matemática Básica es mediante la orientación de tareas investigativas al iniciar cada tema. Los alumnos deben buscar en otras asignaturas o en las esferas de actuación del ingeniero agrónomo, situaciones problémicas que conlleven al planteamiento de un problema, cuya solución dependa del uso de métodos matemáticos relacionados con la temática. La exposición de los resultados se realiza en forma de taller.
Estas tareas requieren de la toma de decisiones por parte del alumno, del manejo de alternativas de carácter matemático, tecnológico y profesional, para su formulación y ejecución. Además llevan al estudiante a producir y crear.
Problema 6: Determinar la acidez hidrolítica de un suelo a partir de la valoración potenciométrica del mismo, realizada en condiciones de laboratorio.
 Este tarea puede realizarse de la siguiente forma:
Química: En condiciones de laboratorio los alumnos realizan la valoración potenciométrica del suelo. Los resultados obtenidos pueden ser los siguientes:
Tabla 4. Valoración potenciométrica de un suelo

Volumen de NaOH	pH
0	2.81
0.5	2.89
1	2.97
1.5	3.05
2	3.15
2.5	3.24
3	3.34
3.5	3.43
4	3.53
4.5	3.64
5	3.76
5.5	3.88
6	4.03
6.5	4.21
7	4.47
7.5	4.86
8	5.88
8.5	8.55
9	9.9
9.5	10.36
10	10.69

La determinación  de la acidez hidrolítica del suelo implica calcular las coordenadas del punto estequiométrico, donde la curva de valoración cambia su comportamiento en cuanto a concavidad.
Existen diferentes métodos gráficos y analíticos para resolver este problema, pero un análisis detallado de la situación conduce a que aplicando la derivada los resultados que se obtienen suelen ser más precisos, teniendo en cuenta que el punto estequiométrico  no es más que el punto de inflexión de la curva de valoración. Estas alternativas deben ser valoradas con los alumnos.
Si se procede mediante los métodos matemáticos estudiados en clase, es necesario el concurso de otras asignaturas como la Computación. Entonces el alumno integra conocimientos en la solución de un problema importante para su desempeño profesional.
Computación: Con ayuda del Microsoft Excel los alumnos grafican la curva de valoración y determinan la función de mejor ajuste, analizando en este caso alternativas de carácter tecnológico. (Anexo 16)
Matemática Básica: Teniendo en cuenta las variantes de solución y la selección de la más apropiada los alumnos pueden, mediante la segunda derivada determinar el punto de inflexión.
   y´´ = -4.3998 x + 36.854           y´´ = 0,  cuando x » 8, 376
La segunda derivada es mayor que cero cuando x pertenece al intervalo  (-¥; 8,376) y menor que cero cuando x pertenece al intervalo (8,376; +¥), entonces en x » 8, 376 existe un punto de inflexión.
Práctica Agrícola: Argumenta la relación del punto de inflexión de la curva de valoración con el punto estequiométrico  y la importancia que reviste para el ejercicio de su profesión su determinación, teniendo en cuenta que en el mismo la cantidad de NaOH añadida es suficiente para neutralizar la acidez de la muestra de suelo.

En general, en el proceso de solución de los problemas matemáticos contextualizados que se plantean se ponen de manifiesto los diferentes eslabones definidos en el modelo. En el manejo de las alternativas  los alumnos requieren de identificar alternativas, reconocer indicios de cada una de ellas, caracterizar cada alternativa, comparar alternativas, valorar ventajas y desventajas de cada alternativa y seleccionar la más conveniente.

Algunos criterios de validación de la metodología.

A partir del curso 1996 – 1997,  mediante el proyecto de investigación “Estructuración lógica de la Matemática para las carreras con perfil agropecuario”, comienza el perfeccionamiento del proceso docente educativo de la Matemática Básica para la carrera de Agronomía en la Universidad de Ciego de Ávila, sobre la base de elementos que hoy forman parte de este modelo didáctico, base teórica de la metodología que se propone en el capítulo 2 de esta tesis.

La validación de esta metodología se realiza mediante la aplicación del criterio de expertos. Para ello se entrevistaron a 34 especialistas (Anexo 9), de los cuales 30 resultaron ser expertos en el tema de investigación (Anexo 10).

A los expertos seleccionados se les circuló la metodología que se explica en el epígrafe 2 del capítulo 2 y se les solicitó respondieran la guía para su evaluación  que se anexa a la tesis (Anexo 11).
Una vez conocidos los criterios de los expertos acerca de los diferentes aspectos a consultar se construyó la matriz de frecuencia (Anexo 12). Posteriormente se procesaron los datos utilizando el método empírico Delphy (Anexo 13), lo que nos permitió concluir que:
La concepción general de la metodología es bastante adecuada.
El paso dos de la metodología es bastante adecuado, el primero y tercero son adecuados, por lo que, aunque la valoración general es positiva, se debe continuar trabajando en el perfeccionamiento de estos últimos pasos.
Se considera que las  tipologías de clases utilizadas son bastante adecuadas, excepto el taller integrador evaluativo, que es adecuado.

La organización de los contenidos que se propone para la implementación de la metodología y los métodos de enseñanza son bastante adecuados.

Los medios de enseñanza que se proponen utilizar son adecuados.
Esta metodología fue analizada además en la carrera de Agronomía, lo que consta en los avales de sus principales dirigentes (jefe de carrera, jefe departamento de Ciencias Agrícolas, jefe de la disciplina integradora) obteniéndose una valoración positiva de la misma.  Además:
Parte de la metodología que se propone fue objeto de aplicación como resultado de la tesis de maestría desarrollada por la autora con el título “Organización e impartición del tema Programación Lineal”.
Actualmente se desarrollan otras tesis de maestrías sobre la temática, por profesores que integran el grupo de investigación “Estructuración lógica de la Matemática para las carreras con perfil agropecuario”, dirigido por la autora y con proyecto aprobado y financiado por la Universidad de Ciego de Ávila.
Los resultados obtenidos han sido introducidos paulatinamente y validados estadísticamente, como otro elemento importante en el análisis del impacto positivo de la metodología propuesta (Anexo 14).
La metodología propuesta se extiende a otras carreras afines que se estudian en la Universidad de Ciego de Ávila, como es el caso de la Mecanización de la Producción Agropecuaria.
Conclusiones:

La aplicación de la metodología para el desarrollo del proceso docente educativo de la Matemática Básica en la carrera de Agronomía, requiere del  perfeccionamiento de los programas de asignaturas actuales, reflejándose mayor sistematicidad  en el diseño de los objetivos y organización de los temas.
Esta metodología conlleva a la ejecución del proceso docente educativo mediante las tipologías de clases: conferencia generalizadora introductora, clases prácticas de tipo I, clases prácticas de tipo II y taller integrador evaluativo.

En las diferentes tipologías de clase que se desarrollan en cada tema, se resuelven problemas matemáticos contextualizados que relacionan al proceso docente educativo con los agrosistemas y obligan al alumno a discernir entre varias alternativas de carácter matemático,  profesional o tecnológico, para encontrar la solución de los mismos, lo que permite lograr niveles de producción y/o creación en los estudiantes.  
La aplicación del criterio de expertos para la validación de la propuesta, así como otras contrastaciones realizadas, reflejan el impacto positivo, que como tendencia tiene la metodología propuesta.

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