MODELO PARA LA ESTRUCTURACIÓN Y FORMACIÓN DE HABILIDADES LÓGICAS A TRAVÉS DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Elsa Iris Montenegro Moracén

CAPÍTULO I. LA ENSEÑANZA DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA LA FORMACIÓN DEL LICENCIADO EN EDUCACIÓN EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA

Introducción

En este Capítulo se abordan aspectos relacionados con la formación de los profesores de Matemática en las últimas tres décadas, teniendo en cuenta como directrices para el análisis los componentes didácticos que inciden en la formación de habilidades, lo cual permite determinar regularidades que apuntan a la fundamentación y antecedentes del problema, enfoques abordados por otras investigaciones que pueden contribuir a precisar la solución o posibles vías de solución. Además se indaga en elementos esenciales correspondientes al marco teórico de la investigación, que sustentan la propuesta desde el punto de vista didáctico, psicológico y lógico. Así como algunas de las principales tendencias en la formación de los modos de actuar lógicos de los estudiantes, tomando como base el protagonismo del estudiante.

I.-1. Análisis histórico – lógico de la enseñanza del Análisis Matemático en la formación de profesores de Matemática en los Institutos Superiores Pedagógicos

La formación de profesores en general y de profesores de Matemática en particular, después del triunfo de la Revolución, ha transitado por diferentes períodos, marcados por tres hechos de gran trascendencia en la esfera educacional; estos son:

1. - Surgimiento de los Institutos Pedagógicos en 1964, anexos a las universidades, con el objetivo de dar respuesta a la necesidad creciente de profesores para el nivel medio de enseñanza, como consecuencia de la extensión y masividad de la educación después del triunfo de la Revolución.

2. - Creación del Destacamento Pedagógico “Manuel Ascunce Domenech”, en 1972, para dar solución a la necesidad de profesores, ante la explosión de matrícula ocurrida en Secundaria Básica y la apertura de nuevas escuelas en el campo.

3. - La instauración del Ministerio de Educación Superior (MES) y surgimiento de los Institutos Superiores Pedagógicos (ISP), como centros independientes, en 1976.

Se centra la atención en este último período, pues es entonces cuando surge la carrera de Licenciatura en Educación, Especialidad Matemática.

Si bien en este período se crea el Modelo del Especialista donde quedan expresados: la caracterización del especialista, cualidades del profesor y objetivos del plan de estudios, no se precisan las habilidades que debe tener un egresado para el desarrollo exitoso de su labor profesional.

Teniendo en cuenta que en los planes de estudio “A” y “B”, no se declara el sistema de habilidades a formar en los estudiantes, la visión del comportamiento de las mismas se hará basado en el análisis de los objetivos y el sistema de conocimientos.

En el curso escolar 1977-1978, se comenzó a aplicar el Plan de Estudios “A” para el curso regular diurno, con una duración de 4 años, donde ingresaban jóvenes egresados de 12. grado, a los cuales se les trató de proporcionar una elevada información científica, que resultó excesiva atendiendo al tiempo disponible.

Los objetivos correspondientes al nivel de conocer, no reflejaban con claridad la incidencia que podía tener el Análisis Matemático en ellos. En la esfera del saber, aparecen expresados en: enunciar, interpretar, aplicar, describir, utilizar y explicar. Como los métodos que predominaban eran esencialmente reproductivos, se observaba una asimilación del conocimiento y por tanto, cumplimiento de los objetivos a un nivel reproductivo atendiendo a la cantidad de información y el poco fondo de tiempo de que se disponía. Se le concedía una importancia sustancial en contenidos matemáticos como el Análisis funcional, las Ecuaciones diferenciales ordinarias y en Derivadas parciales.

En la esfera del saber hacer, aparecían en términos de expresar las ideas, conceptos, proposiciones, reglas y procedimientos, con ayuda del lenguaje y la simbología propios de la Matemática, trabajar con los contenidos de una manera exacta y rigurosa sobre la base de la aplicación de los conceptos, proposiciones y reglas fundamentales de la lógica matemática y teoría de conjuntos, aplicar los resultados más importantes del Análisis Matemático a la solución de problemas, realizar demostraciones de proposiciones matemáticas empleando diferentes métodos de demostración. En los correspondientes a las asignaturas no se reveló un adecuado nivel de sistematicidad ni de generalidad, atendiendo al elevado número que contenía cada tema y asignatura.

El Análisis Matemático estaba concebido como cinco asignaturas. Se abordaba el Análisis fundamentalmente en una variable real, con pocos elementos de R2 (el plano) en el cálculo diferencial e integral, sin abordar la teoría con todo el rigor y profundidad; además, se estudiaba Fundamentos de la Matemática, en 4. Año. (Ver Anexo 2).

Entre las limitaciones de este plan de estudios en el Análisis Matemático, se observó:

 Imprecisión en la formulación de los objetivos, con predominio, la asimilación a un nivel reproductivo, avalado por el elevado nivel de contenido académico y su relación con el fondo de tiempo y métodos empleados, incidiendo negativamente en el logro de las habilidades.

 La existencia de un amplio volumen del contenido académico, el cual se impartía en un corto tiempo, motivando la utilización frecuente de los métodos de enseñanza: expositivo-ilustrativo y el reproductivo, dirigiendo al estudiante, hacia el estudio memorístico y mecánico del contenido. Las formas de docencia que predominaban eran: conferencias y clases prácticas. Todo lo cual limitaba la formación de habilidades lógicas.

 Insuficiencias en el enfoque sistémico de las asignaturas, lo que no favoreció la formación de habilidades, ni el desarrollo de capacidades cognoscitivas de los estudiantes.

Los exámenes estatales, como forma predominante de culminación de estudios se caracterizaban por la exigencia de habilidades a un nivel reproductivo, pues, en la mayoría de los estudiantes se reflejó un aprendizaje memorístico, reproductivo, muy teórico y con pocas capacidades para hacer una aplicación independiente y creativa de los conocimientos a situaciones prácticas.

En 1979, se crea en el Ministerio de Educación la Comisión Nacional de Perfeccionamiento de planes y programas con el objetivo de elaborar el nuevo plan de estudios “B” para la Licenciatura en Educación, en los cursos regulares diurnos, con una duración de cinco años. Este plan de estudios y los programas de asignaturas que entraron en vigor en el año 1982, para los cursos regulares diurnos, representaron un paso de avance en relación con el plan “A”, pues se logró:

 un aumento del nivel científico en el contenido de las asignaturas, pues se produce un incremento sustancial de conocimientos y del nivel de profundidad,

 la concepción de las prácticas pedagógicas desde los primeros años con un nivel cualitativamente superior,

 el perfeccionamiento de la interrelación y las secuencias de las asignaturas,

 la unificación de los programas de asignaturas comunes y de la literatura docente.

El Análisis Matemático se impartía en cuatro asignaturas en R (conjunto de números reales) y Rn (espacio n-dimensional), donde se estudiaban entre otras: funciones de varias variables, espacios métricos, límite y continuidad en Rn, cálculo diferencial y aplicaciones (extremos y problemas de optimización en R2 y R3, funciones implícitas, etcétera.) e integral (integrales dobles, triples y aplicaciones, integrales de superficies y aplicaciones, integrales paramétricas, y series de Fourier), con elevado rigor teórico y práctico; así como otras asignaturas independientes, cursos y seminarios especiales, de esta área del conocimiento (Ver Anexo 2).

Haciendo un análisis de los objetivos propuestos en las cuatro asignaturas, se observa que aparecen tan específicos que no reflejan el nivel de generalidad correspondiente a una asignatura, había una tendencia marcada a la formación de habilidades como: formular, interpretar, reconocer, determinar características y propiedades, ilustrar, reproducir y demostrar teoremas, aplicar conceptos y propiedades y calcular en los niveles de asimilación del saber y saber hacer; las cuales atendiendo a la información que se suministraba y los métodos que se utilizaban, en la mayoría de los casos se formaban a un nivel reproductivo.

Si bien las conferencias adquirieron un mayor nivel de generalización, debido a la relación intra e intermateria; se le dedicó más tiempo a la ejercitación, lográndose mejores resultados en el trabajo independiente de los estudiantes, éste aún fue insuficiente en cuanto al logro de habilidades lógicas como: analizar, interpretar, fundamentar, modelar, valorar y demostrar; además, los seminarios fueron utilizados con mayor frecuencia en otras asignaturas, no así en el Análisis Matemático.

Aún cuando se evidenció la aplicación de una concepción que comenzó a estimular el uso de métodos que condujeran a los alumnos a la realización de demostraciones, explicaciones, comentarios y se concedió importancia a la actividad analítico-sintética, no se logró la formación de habilidades lógicas para la asimilación del contenido.

Producto del perfeccionamiento, dirigido por el Ministerio de Educación, como resultado de la validación del plan de estudio, afloran algunas deficiencias, entre las que aparecen:

- Inadecuada correspondencia entre el volumen de información suministrada a los estudiantes y las exigencias respecto al desarrollo de habilidades,

- Inadecuado vínculo entre las actividades docentes, las prácticas pedagógicas y el trabajo científico estudiantil.

En el curso 1987-1988 se da inicio al trabajo en las Comisiones de Carreras, encargadas de la elaboración del nuevo Plan de Estudios “C”, sobre la base de garantizar la integración armónica de lo académico, lo laboral e investigativo (como formas organizativas del proceso de enseñanza-aprendizaje), con un perfil amplio que permita satisfacer cabalmente las exigencias que se plantean por nuestra sociedad a la formación de profesores de Matemática-Computación.

Entre los lineamientos fundamentales para su elaboración se encuentran:

- La formación de un profesor tanto de Matemática, como de Computación con el consecuente cambio de la estructura de los cursos que se imparten tradicionalmente,

- Mayor integración entre los Institutos Superiores Pedagógicos y la escuela, en el desarrollo de las capacidades y habilidades profesionales del egresado,

- Elevación del fondo de tiempo para la actividad independiente de los estudiantes y disminuir la carga docente semanal,

- Mayor integración de las disciplinas que conforman el plan de estudio y todos sus componentes, etcétera.

Aquí se concibe por primera vez, el Análisis Matemático como disciplina, pues hasta entonces se impartía como asignaturas independientes. Este fue un paso importante desde el punto de vista científico en el perfeccionamiento del plan de estudio, pues permitió que se apreciara en el sistema de conocimientos una respuesta al objeto de esta rama de la Matemática, el cual se precisa como el estudio de los conocimientos, los métodos y la lógica de las dependencias funcionales entre las propias magnitudes variables y las cifras que las expresan. Es una de las partes de la ciencia Matemática, que refleja en mayor grado los sucesivos niveles de abstracción en la conformación de sus conceptos, que representan los objetos de cada teoría.

La disciplina estuvo constituida por seis asignaturas. Las primeras tres asignaturas abarcaban el estudio del análisis matemático real, las dos siguientes el análisis matemático en R2 (el plano) y algunos elementos del Análisis Matemático en C (el conjunto de los números complejos) y la última asignatura a la introducción de algunos conceptos modernos del análisis y al estudio de algunos elementos de Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Se prescindió de las asignaturas: Variable compleja, Análisis funcional, Ecuaciones diferenciales y Fundamentos de la Matemática y algunos contenidos de asignaturas como: Series de Fourier, integrales de superficies, integrales paramétricas y se transfiere el tema: lógica matemática, del Análisis Matemático I para el Álgebra.

A partir del curso 1992-1993, se hacen cambios en la formación de profesores con el fin de garantizar un egresado que conjuntamente con su preparación pedagógica y en las asignaturas que imparte, por sus convicciones, posiciones y puntos de vista políticos, ideológicos y morales, sea capaz de defender la continuidad de la obra de la Revolución a través de su labor cotidiana. Esto da lugar a la modificación del Plan de Estudios C, cobra fuerza la utilización de conferencias generalizadas, las clases teórico-prácticas, los seminarios y la tendencia a la utilización del método problémico de enseñanza.

Aunque aparecen declarados los objetivos de la disciplina y asignaturas, el sistema de conocimientos esenciales y el sistema de habilidades a lograr en cada una, éste último posee insuficiencias en su carácter sistémico, niveles de generalidad y no se declaran las precisiones sobre las habilidades lógicas esenciales de la disciplina.

La disciplina está organizada en cinco semestres, con un fondo de tiempo total de 398 horas, experimentando una reducción de 132 horas con respecto al plan de estudio anterior. ( Anexo 2)

Existe una adecuada formulación y estructuración de los objetivos generales educativos, así como una correcta derivación del Modelo del profesional. Su concepción cumple la función educativa y formativa en el estudiante.

Los objetivos instructivos, en general, presentan dificultades en su redacción. No precisan correctamente la habilidad que pretenden desarrollar, ni permiten determinar con claridad los niveles de asimilación. Todos muestran, en mayor o menor medida, los conocimientos a tratar, así como los niveles de profundidad y sistematicidad. Además, establecen el vínculo con los contenidos de la escuela media.

El sistema de contenidos en la disciplina se precisa a partir de los objetivos propuestos, los cuales declaran el doble carácter de instrumento y de objeto del conocimiento de la rama de la Matemática que es el Análisis Matemático, para la formación de profesores en su contexto de actuación. Su estructuración en el programa es adecuada, aparecen todos los conocimientos matemáticos indispensables para desarrollar con éxito el ejercicio de la profesión. (Anexo 3 a).

La organización lógica del sistema de conocimientos permite optimizar, con un enfoque sistémico, el proceso de asimilación de conceptos, teoremas y procedimientos por parte de los estudiantes, generalizando inmediatamente las cuestiones que se estudian para funciones reales de una variable real, a funciones de dos variables reales, de modo que garantice la sistematización y consolidación de los conocimientos. Sin embargo, se ve limitada por la insuficiente estructuración del sistema de habilidades.

Las orientaciones metodológicas son limitadas, porque aunque reflejan aspectos sobre el tratamiento del sistema de conocimientos, no aparecen orientaciones para la formación de habilidades matemáticas, ni de las habilidades lógicas, que pueden favorecer la labor del profesor para lograr mejor asimilación del contenido por los estudiantes.

El trabajo aún es insuficiente en la determinación de los métodos más adecuados para lograr la activación del pensamiento, propiciar una asimilación consciente y sólida que conduzca a un aprendizaje significativo, donde el alumno sea capaz de aplicar los conocimientos aprendidos a los problemas que se les presenten, lo cual revela la necesidad de que el estudiante aprenda a extrapolar los significados de los contenidos matemáticos generalizados de un tema a otro. En ello se refleja la necesidad de profundizar en la formación de las habilidades lógicas.

Con la introducción de los últimos planes de estudios “C y sus modificaciones”, se han alcanzado niveles superiores con respecto al proceso de evaluación del aprendizaje. No obstante, atendiendo a las propias insuficiencias que tiene el sistema de objetivos y habilidades, además, se presentan dificultades en el sistema de evaluación y aunque hay tendencias a la realización de evaluaciones de carácter productivo, aún predomina la evaluación reproductiva.

A partir del curso 2001-2002 se introducen nuevos cambios en los planes de estudios de las carreras profesorales, teniendo en cuenta la necesidad creciente de profesores y maestros motivados por modificaciones introducidas en el Sistema Nacional de Educación en cuanto a cómo lograr una mejor formación ciudadana de los escolares y jóvenes cubanos.

En esta nueva versión del Plan de Estudios C, deja de existir el Análisis Matemático como disciplina, para convertirse en contenido de la disciplina Matemática y su metodología, que tiene un fondo de tiempo general de 340 horas.

A partir del Segundo Bloque de primer año se comienzan a abordar los contenidos sobre las funciones y ecuaciones; en el segundo año, el contenido del primer Bloque es totalmente del Análisis Matemático, pues se estudian los temas de Sucesiones y Series numéricas (14h/c) y Límite y continuidad de funciones reales (14 h/c).

En esta nueva modalidad de enseñanza cobra mayor importancia la necesidad de dotar a los estudiantes de herramientas que les permitan la búsqueda de conocimientos de forma independiente, lo que ratifica la actualidad del problema que se investiga.

Del análisis histórico realizado se precisan como regularidades:

1. El perfeccionamiento de los planes de estudios en función de una formación integral y completa de los egresados de la carrera, proporcionándole la información necesaria para el ejercicio profesional, sin tener en cuenta las habilidades lógicas como base esencial para la preparación académica, científica y pedagógica del profesional.

2. La utilización de métodos cada vez más favorables al aprendizaje de los estudiantes, sin que aún se haya logrado una efectividad en esta dirección y en consecuencia la insuficiente formación de habilidades que potencien la profundización y aplicación del conocimiento.

3. El trabajo en la formación de las habilidades matemáticas, que en muchos casos se percibe su alcance de manera no permanente en los estudiantes y la poca atención a las habilidades lógicas que pueden potenciar una formación sólida de las habilidades para el estudio y aplicación de la Matemática.

4. Los cambios que se operan en la forma de pensar y actuar de los estudiantes desde el punto

de vista matemático, reflejados a través del Análisis Matemático, denotan una asimilación reproductiva de los contenidos, pues no se ha logrado en la generalidad, que puedan explicar conscientemente el significado de los términos que se utilizan y como consecuencia una aplicación consciente e independiente de los contenidos de la disciplina a la solución de ejercicios y problemas, lo cual denota la insuficiente formación de las habilidades lógicas.

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