MODELO PARA LA ESTRUCTURACIÓN Y FORMACIÓN DE HABILIDADES LÓGICAS A TRAVÉS DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO

Elsa Iris Montenegro Moracén

I.2- Caracterización gnoseológica del contenido del Análisis Matemático para la formación del profesor de Matemática

La Matemática como ciencia estudia los conocimientos, métodos y la lógica de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.

Los objetos matemáticos no existen en la realidad, sino se construyen mediante la abstracción de las relaciones y propiedades de los objetos y fenómenos de la realidad. Entendiendo que "la abstracción es la separación mental de unos indicios del objeto y la abstracción de los demás".

Para estudiar el proceso docente educativo del Análisis Matemático es importante tener en cuenta tanto las particularidades didácticas como las de las matemáticas, es por ello que se valora como premisa que, para investigar con los recursos de la Matemática cualquier objeto o fenómeno, es necesario abstraerse de todas sus cualidades particulares, excepto de aquellas que caracterizan directamente la cantidad o la forma, así como de su lógica.

El carácter deductivo que presenta la Matemática como ciencia, se expresa de forma sintética en que sus objetos se operan al nivel de lo simbólico, lo cual permite ir generando una red de relaciones entre ellos. Las sucesivas fases en el tránsito de lo concreto hacia lo abstracto, van sustancialmente vinculadas a las posibilidades de generar relaciones y estructuras a partir de la operación con los objetos matemáticos.

En la Matemática, no sólo se examinan formas y relaciones abstraídas directamente de la realidad, sino también las lógicamente posibles, determinadas sobre la base de las formas y relaciones ya conocidas.

La primera fase en la abstracción de las matemáticas de la realidad física es la de la utilización de palabras indefinibles, estos son: punto y recta. A pesar de ser objetos geométricos, son de mucha utilidad en el Análisis Matemático.

El sistema matemático abstracto, se divide en cuatro partes: palabras indefinibles, palabras definidas, axiomas (que son proposiciones que se aceptan como verdaderas) y teoremas (que constituyen, verdades matemáticas (demostradas de antemano en la ciencia), son incorporados a la disciplina y su análisis y realización de la demostración juegan un papel importante, porque demuestran la veracidad de su enunciado y aportan métodos para la resolución de otros problemas matemáticos.

El Análisis Matemático, es la rama de la Matemática que estudia “los conocimientos, los métodos y la lógica de las dependencias funcionales entre las propias magnitudes variables y las cifras que las expresan”. Es una de las partes de la ciencia, que refleja en mayor grado los sucesivos niveles de abstracción en la conformación de sus conceptos, que representan los objetos de cada teoría. Tiene su surgimiento vinculado al estilo de pensamiento, relacionado con la creación de los logaritmos, que constituyó la segunda revolución de la Metodología de la Matemática. En este período, devinieron en fundamentos de los nuevos métodos de la Matemática, los conceptos de infinito matemático, movimiento y la dependencia funcional. (Segundo cuadro matemático considerado por Guerrero Seide)

El Análisis Matemático forma parte de una de las disciplinas básicas específicas de esta carrera y posee como objetivo, que el estudiante domine aquellos contenidos más generales y esenciales del objeto del profesional y que sistematiza e integra contenidos del Álgebra y la Geometría, que en gran medida se identifican con su campo de acción.

El sistema de conocimientos, se estructura a partir de los objetivos propuestos, los cuales declaran el doble carácter de “instrumento” y de “objeto” del conocimiento de esta rama de la Matemática para la formación de profesores. El carácter de “instrumento” se vincula al aporte que realiza el sistema de conocimientos al profesional condicionado por las habilidades esenciales que la misma contribuye a formar y el carácter de “objeto” comprende la estructura sistémica de la ciencia dada por la envoltura del pensamiento matemático, debido a los diferentes estadios del desarrollo científico-técnico de la humanidad y en consecuencia, debido a los problemas fundamentales que dieron lugar a las diferentes teorías matemáticas.

El estudio del Análisis Matemático se basa en conceptos, juicios y razonamientos que se sintetizan en teoremas, reglas, procedimientos, métodos propios de esta disciplina, lo cual requiere tener en cuenta los aspectos teóricos relacionados con ellos.

Para esta Carrera pedagógica, el sistema de conocimientos viene dado esencialmente por el estudio de los conceptos, teoremas y procedimientos en una variable real, ya que por su importancia y/o uso, no sólo constituye la teoría básica para comprender, enfrentar y resolver los problemas generales, particulares o singulares de la disciplina, sino además, para conformar los modos de actuación del futuro profesional.

Sistema de conocimientos del Análisis Matemático para la Formación de Profesores de Matemática.

Axiomas: En el Análisis Matemático I, para el conjunto de los números reales (R), se propone como sistema de axiomas, el formado por: los axiomas de cuerpo totalmente ordenado, el axioma arquimediano y el axioma de encaje de intervalos.

Conceptos Teoremas Procedimientos para:

- Números reales

- Puntos especiales en R y R2.

- Sucesiones numéricas

- Series numéricas

-Funciones elementales

- Funciones reales de dos variables reales.

- Inducción completa,

- Convergencia de sucesiones numéricas,

- Convergencia de series numéricas. - el cálculo numérico que resulte de aplicar los procesos de solución.

- analizar la convergencia de sucesiones y series numéricas.

- representar gráficamente funciones definidas en R, utilizando los movimientos.

fundamentar y demostrar proposiciones matemática.

- Límite funcional

- Funciones continuas. .Operaciones algebraicas del límite.

.Criterio de convergencia de Bolzano-Cauchy.

.Teorema de Bolzano.

. teorema para la función inversa.

.Teorema de Weierstrass.

.Teorema sobre continuidad uniforme. - el cálculo numérico que resulte de aplicar los procesos de solución.

- calcular límites de funciones.

-analizar la continuidad de funciones definidas en R y R2.

- Fundamentar y demostrar proposiciones matemáticas sencillas.

- Primitiva de una función

- Integral indefinida.

- Integral definida para funciones definidas en R y R2.

- Integrales impropias.

- Integrales de línea.

- Convergencia puntual y uniforme.

- Series de potencias. -Métodos de integración.

-Teoremas fundamentales del cálculo integral.

- Teorema de Fubini.

- Teorema de Green - el cálculo numérico que resulte de aplicar los procesos de solución.

- calcular integrales de funciones.

- analizar la convergencia de series de potencias.

- Fundamentar y demostrar teoremas y proposiciones matemáticas.

- Distancia.

- Espacios normados.

-Ecuaciones diferenciales de 1. Orden.

-Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

- Existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de 1. Orden.

- el cálculo numérico que resulte de aplicar los procesos de solución.

- resolver ecuaciones diferenciales de 1. Orden y lineales de 2. Orden con coeficientes constantes.

- Fundamentar y demostrar teoremas y proposiciones matemáticas.

Los métodos matemáticos aparecen expresados de forma implícita en el sistema de conocimientos, pues están dados a través de los teoremas y procedimientos que se utilizan en la ciencia, para resolver los problemas que se manifiestan a través de los distintos modelos. Por ejemplo, método infinitesimal para el análisis de funciones basado en el cálculo de límites, que además es el que predomina a través de toda la teoría.

Por otro lado, están los métodos que se aplican en la Matemática, entre los que se encuentran los deductivos y reductivos. Los deductivos son aquellos en que, partiendo de determinados conceptos fundamentales y axiomas, se obtiene, con la ayuda de distintas reglas de inferencias lógicas y definiciones, otros teoremas y conceptos, otras proposiciones verdaderas. Y los reductivos son aquellos en que, partiendo de proposiciones verdaderas se llega a nuevas proposiciones cuya verdad no está asegurada con esto, o sea, con su ayuda se llega a suposiciones, a hipótesis cuya verdad es probable en cierta medida. Estas, pueden reconocerse después como teoremas, solamente cuando han sido demostradas con ayuda de la deducción.

Entre ellos se encuentran:

- Los métodos inductivos: se parte de la investigación de casos particulares para luego formar una proposición general.

- Los métodos no inductivos: abarca la inferencia por analogía, generalización de propiedades mediante la eliminación de condiciones, inversión de teoremas, etc .

La utilización consecuente tanto de los métodos, como de los procedimientos matemáticos, permite una profundización adecuada en el sistema de conocimientos, de modo que su usuario puede continuar realizando diferentes análisis de interconexiones, que se dan producto de las relaciones lógicas que existen entre los distintos conceptos, lo cual contribuye esencialmente a la creación y desarrollo de un pensamiento lógico-matemático.

El análisis de los objetos del Álgebra y del Análisis Matemático, permiten determinar que ambas ramas de la Matemática estudian las funciones, la teoría de conjuntos y los números reales desde diferentes enfoques. Por ejemplo, en el caso de las funciones, el Álgebra la estudia como una relación individualmente determinada, que puede representar vínculos entre magnitudes dadas en el problema, con la incógnita y, el Análisis Matemático, se ocupa de las dependencias funcionales y las magnitudes variables, lo cual caracteriza la forma general de representar los distintos procesos y fenómenos cambiantes, que no necesariamente sean magnitudes medibles, ni absolutas.

Una vez estudiados los distintos tipos de funciones, es que se implementa como método fundamental para su profundización, el método infinitesimal, que comienza con el estudio del límite y la continuidad, luego continúa con las derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales, los cuales caracterizan la estructura por temas del sistema de conocimientos en las diferentes asignaturas. Como resultado de este análisis gnoseológico, se valora el conocimiento de la teoría de las funciones como sustento indispensable para la asimilación de las restantes teorías del Análisis Matemático.

Como regularidades esenciales del Análisis Matemático como objeto de estudio, se tienen:

- Su sistema de conocimientos se basa en conceptos, teoremas y procedimientos.

- Posee una lógica deductiva.

- Todas las relaciones matemáticas que se dan responden a magnitudes variables, expresadas a través de funciones, lo cual permite establecer relaciones de dependencia entre las diferentes teorías que comprende, con un método esencial: el método infinitesimal.

- Cada estructura revela una relación de dependencia funcional con magnitudes variables, expresado en un sistema de significados.

- Todas las relaciones que se dan en el vínculo sujeto-objeto son lógicas, pues son el resultado de relacionar conceptos abstractos, los cuales poseen un significado y adquieren un sentido en el sujeto.

- Para relacionarse de forma significativa con su sistema de conocimientos, es imprescindible revelar las interconexiones que se dan entre los conceptos, teoremas y procedimientos, por medio de la utilización consecuente de métodos y procedimientos lógicos y matemáticos que permiten descubrir las relaciones que se dan entre ellos.

Si bien es cierto que es importante conocer la estructura de la naturaleza abstracta de la Matemática, lo más significativo es poder utilizar estos recursos para la solución de problemas de las ciencias y de la propia Matemática, de forma teórica y práctica. De ello resulta la necesidad de profundizar en aspectos relacionados con el pensamiento lógico-matemático.

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