5.2.2. An�lisis de ra�ces unitarias

Al desarrollar modelos de series de tiempo se necesita saber si se puede suponer que el proceso estoc�stico que los gener� es invariable en el tiempo. A este tipo de procesos se les denomina procesos estoc�sticos estacionarios. Si el proceso no es estacionario, ser� muy dif�cil representar a la serie de tiempo durante intervalos de tiempo pasados y futuros con un modelo algebraico simple. Si el proceso es estacionario, entonces es modelable mediante una ecuaci�n de coeficientes fijos estimables con datos pasados. En la pr�ctica es complicado encontrar series de tiempo surgidas de procesos estacionarios; sin embargo, hay t�cnicas que se encargan de convertir dichos procesos en estacionarios.

Los procesos estacionarios tienen caracter�sticas deseables. Por ejemplo, una serie y1, y 2, ...,yT puede considerarse como generada por un conjunto de variables aleatorias distribuidas en forma conjunta. En otras palabras, y1,y 2,...,yT representa un resultado particular de la distribuci�n de probabilidad conjunta p (y1 , y 2 ,..., yT); esto es lo que se denomina �realizaci�n�. De igual manera, una observaci�n futura yT +1 puede ser considerada como generada por una funci�n de distribuci�n de probabilidad condicional p(yT+1 |y1,y 2,...,yT), es decir, una distribuci�n de probabilidad para yT +1 dadas las observaciones pasadas. Entonces, de manera formal, un proceso estacionario se define como aquel cuya distribuci�n conjunta y distribuci�n condicional es invariable respecto al desplazamiento en el tiempo. Por lo que si la serie y t es estacionaria, se tiene que

p(yt,...., yt+k) = p(y t+m , ... y t+k +m) y p(y t) = p(yt+m ) ∀ t , k , m

Con base en este resultado se obtienen las caracter�sticas de una serie estacionaria:

1 Si la serie es estacionaria, la media de la serie definida como μy = E(yt), tambi�n debe ser constante a lo largo del tiempo, por lo que E(yt) = E(yt + m) ∀ t , m.

2 La varianza de la serie, definida como σ2y = E[(yt − μy)2], tambi�n debe ser constante, de tal manera que E[(yt − μy)2] = E[(yt + m − μy)2].

3 Para cualquier rezago k, la covarianza de la serie γk = Cov(yt,yt + k) = E[(yt −μy)(yt+k −μy)] debe ser estacionaria, de modo que Cov(yt, yt+k ) = Cov(yt+m , y t+k +m).

Por tanto, si un proceso estoc�stico es estacionario, la distribuci�n de probabilidad p(yt) es la misma para todo tiempo t y su forma o al menos algunas de sus propiedades pueden inferirse a trav�s de un histograma de las observaciones y1,y 2,...,yT. Si una serie no cumple con las tres caracter�sticas anteriores, se dice que es no estacionaria.

Sin embargo, en el trabajo de Granger y Newbold (1974) se ha demostrado que la mayor�a de las series econ�micas no son estacionarias en niveles, es decir, que son integradas de alg�n orden mayor que 0. Esto acarrea algunos problemas graves en la pr�ctica, sobre todo porque se viola un supuesto b�sico del modelo cl�sico de regresi�n: la estacionariedad de las variables.

Este problema se remonta a los resultados que obtuvo Yule (1926). Lleg� a la conclusi�n de que es relativamente sencillo encontrar correlaciones estad�sticamente significativas entre variables que no son estacionarias. De esta manera se demostr�, por ejemplo, que la inflaci�n anual de Gran Breta�a es explicada por los casos de disenter�a que ocurrieron en Escocia el a�o anterior (Henry, 1980).

El problema fue abordado de manera profunda por Granger y Newbold (1974). Determinaron llamar a las regresiones econom�tricas que involucran variables no estacionarias �regresiones espurias�, debido a que se puede demostrar casi cualquier relaci�n estad�sticamente significativa con variables I(d), donde d > 0. Seg�n Granger y Newbold (1974), las regresiones espurias se caracterizan por:

Una elevada bondad de ajuste (R2).

Un valor del estad�stico Durbin Watson, DW, excesivamente bajo, muy inferior al valor 2 que corresponde a la ausencia de autocorrelaci�n e inferior al l�mite inferior del test DW.

Las principales consecuencias de la presencia de autocorrelaci�n de los errores en una regresi�n son:

Los coeficientes estimados por la regresi�n son sesgados e ineficientes.

Las proyecciones basadas en las ecuaciones son suboptimales.

La significancia de las pruebas sobre los coeficientes no es v�lida.

Para analizar si las regresiones son espurias o no, se analizaron en primera instancia las ra�ces unitarias. El n�mero de ra�ces unitarias equivale al n�mero de veces que se tiene que diferenciar una serie para hacerla estacionaria. As�, se dice que una serie I(1) tiene una ra�z unitaria y que una serie I(d) tiene d ra�ces unitarias.

Existen diferentes pruebas para analizar la presencia de ra�ces unitarias (o el orden de integraci�n de las series); entre las m�s usuales est�n: Dickey-Fuller (DF), Dickey-Fuller Aumentada (ADF), Phillips-Perron (PP), Kwiatkoski, Phillips, Schmidt y Shin (KPSS), entre otras. A continuaci�n se presentar�n los resultados obtenidos con la prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF). Se dejar�n las dem�s pruebas de lado, ya que muestran resultados equivalentes y, por tanto, no aportan informaci�n adicional. El cuadro 18 muestra que las series analizadas son de orden I(d) > 0, por lo que tienen por lo menos una ra�z unitaria. Se tomaron las series en niveles y con tendencia e intercepto.

La hip�tesis nula (Ho) propone que la serie tiene una ra�z unitaria. La prueba de hip�tesis se hace con el valor de la t estad�stica. Si �sta resulta positiva o est� por debajo del valor cr�tico, se acepta Ho. Este resultado se confirma un poco m�s intuitivamente cuando se observa que la probabilidad de la prueba es mayor al 95% de confianza, lo cual se advierte en el valor de probabilidad, que debe ser mayor a 0.05. En tal caso se sabe de la existencia de al menos una ra�z unitaria. En todos los casos se demuestra la existencia de al menos una ra�z unitaria. Por tal raz�n, es necesario saber si la serie es I(1) o I(2), lo que resulta al realizar las pruebas especificando las variables en primeras diferencias. La obtenci�n de una probabilidad mayor a 0.05 ser�a prueba de que la serie tiene dos ra�ces unitarias y que ser�a necesario sacar otra diferencia para tenerla estacionaria.

De esta forma se analizaron las mismas series en primeras diferencias. En el cuadro 19 se observa que las series tienen una ra�z unitaria, por lo que de aqu� en adelante se usar�n las series en primeras diferencias para tener series estacionarias y evitar tener una regresi�n espuria. Al usar primeras diferencias ya s�lo se us� con intercepto y se obtuvieron resultados favorables entre 6 a 10 rezagos. Con 11 rezagos Argentina y Chile mostrar�an dos ra�ces unitarias. Sin embargo, la mayor�a de los estudios no sobrepasan los seis rezagos. Este resultado es congruente con los resultados de los trabajos de Peir� (1996) y Ortiz (2007a). No obstante, aunque pueda haber una ra�z unitaria esto no evita la posibilidad de que exista una relaci�n de largo plazo entre las series originales que se analizar�n a continuaci�n mediante la prueba de cointegraci�n. Lo anterior es relevante principalmente porque al obtener primeras diferencias se pierde informaci�n que puede ser valiosa para el an�lisis (Maddala, 2001).

Despu�s de analizar las series burs�tiles se estudiaron los PIB mensuales. Al igual que con las series burs�tiles se calculan las series originales en niveles con tendencia e intercepto (v�ase cuadro 20). Se observa que todas las series tienen por lo menos una ra�z unitaria.

En el cuadro 21 se muestra la existencia de una sola ra�z unitaria �al 5%� en las series en primeras diferencias. De esta manera, es necesario analizar las dos series en primeras diferencias � excepto que las series cointegren� para evitar cualquier regresi�n espuria (Lor�a, 2007).