6.2.3. El método de la distancia P2

Para un estudio exhaustivo del indicador DP2 se puede consultar Pena (1977) y posteriormente Zarzosa (1992, 1996).

Definición

Seguidamente realizaremos una breve revisión de la definición de esta medida. Para el enunciado de ésta son necesarias ciertas hipótesis y propiedades. En el caso de las hipótesis, ya hemos hecho referencia anteriormente a muchas de ellas como son: Hipótesis de Completitud (I), Hipótesis de Bondad de las variables (II), Hipótesis de Comparabilidad (IV), y una nueva que se hace necesaria dada el diseño de la DP2 y que es la Hipótesis de Linealidad (V):

HIPÓTESIS DE LINEALIDAD

“Se acepta que puede existir cierta relación lineal entre las variables seleccionadas”.

Se define la DP2 de la siguiente forma:

con

donde

- di es la distancia entre dos unidades. Si la comparación se realiza entre ellas tenemos: . Si se está midiendo la situación de la unidad r con respecto a la base de referencia : .

- es la desviación típica de la componente i-ésima.

- El cociente mide la distancia entre las unidades a comparar (r y k) o la de una de ellas a la base de referencia . Al dividirlo por hace que las distancias se midan tipificadas, en el sentido de que retienen como unidad de medida las desviaciones típicas. De esta forma las distancias de cada componente vienen expresadas en unidades abstractas y tiene sentido la aditividad. Además puede interpretarse como una ponderación, de modo que las distancias entre dos países para cada componente, vienen ponderadas por la inversa de de forma que la contribución de cada di al indicador global es inversamente proporcional a la desviación típica del componente respectivo.

- El factor se denomina factor corrector y evita las redundancias al eliminar de los indicadores parciales la información ya contenida en los indicadores precedentes, es decir evita la duplicidad de información.

- El coeficiente de determinación mide la parte de la varianza de cada variable explicada por la regresión lineal realizada por las variables previas.

Propiedades de la DP2:

A continuación, procedemos a citar brevemente las propiedades de la DP2, para las respectivas demostraciones se puede consultar Pena (1977):

I. Existencia y Determinación: Dada la función matemática que define al indicador sintético DP2, es claro que éste existe y toma un valor determinado siempre que exista la varianza de todos y cada uno de los componentes y sea finita y distinta de cero.

II. Monotonía: El indicador sintético DP2 responde positivamente a una modificación positiva de las variables y negativamente a una modificación negativa.

III. Unicidad: Dado un conjunto ordenado de indicadores simples la función matemática que define el indicador sintético DP2 proporciona un único resultado numérico.

IV. Invarianza: El indicador sintético es invariante a cambios de origen y/o escala en las medidas de los componentes.

V. Homogeneidad: El indicador sintético DP2 es una función homogénea de grado 1 respecto a los indicadores simples.

VI. Transitividad: Si (a), (b) y (c) son tres situaciones distintas del objetivo medido por el indicador sintético DP2(a), DP2(b) e DP2(c) son los valores del indicador sintético correspondientes a esas tres situaciones se verifica que:

VII. Exhustividad: El indicador sintético debe de ser tal que aproveche al máximo y de forma útil la información suministrada por los indicadores simples.

Esta propiedad se verifica si el indicador cumple las siguientes cuatro propiedades: independencia, dependencia funcional, dependencia parcial y de partición puesto que de este modo se asegura la no duplicidad de información.

En relación a la propiedad de partición, ésta establece que si los indicadores simples pueden agruparse en conjuntos de información independientes, el indicador sintético de distancia podría particionarse en tantos indicadores parciales como grupos independientes existan, siendo igual aquél a la suma de éstos.

Dado que el coeficiente de determinación de la regresión de cualquier columna de la matriz X2 sobre X1 es cero la DP2 se puede calcular de la siguiente forma:

donde (1) y (2) hacen referencia a las matrices X1 y X2.

Pena (1977) llama a este método de calcular la DP2 con el nombre de DP2 por etapas ya que habría tantas etapas como grupos ortogonales de componentes y el indicador sintético DP2 se obtendría como la suma de los indicadores sintéticos obtenidos en las distintas etapas.

Este planteamiento exige la existencia de ortogonalidad perfecta, abordaremos en profundidad más adelante el caso de ortogonalidad casi perfecta o aproximada.

Un indicador de distancia verifica la propiedad de exhustividad si cumple estas cuatro condiciones, puesto que de este modo se asegura la no duplicidad de información.

VIII. Aditividad: El indicador sintético de distancia entre dos países debe de ser tal que: el indicador sintético de cada país verifique los postulados I a VII y además que la diferencia obtenida entre ellos por el indicador de distancia sea igual a la que se obtendría al comparar los indicadores sintéticos de cada país. Tal y como demuestra Zarzosa (1996) la DP2 en general no se verifica que:

La igualdad anterior se cumplirá siempre que sea tal que los signos de las diferencias y sean iguales (o los dos positivos o los dos negativos) para .

Por otra parte, con carácter general, Zarzosa (1992, 1996) demuestra que la relación que existe entre ambos, independientemente de los signos de esas diferencias, es:

Esta autora teniendo en cuenta la condición de desigualdad triangular que verifica la distancia de un espacio métrico, acota superiormente a la DP2, con lo que obtiene:

IX. Invarianza respecto a la base de referencia: En Pena siguiendo a Ivanovic (1974, pág. 102) se demuestra que si la base de referencia es la misma para las dos unidades y siempre que, para cada variable tome el valor máximo, o uno superior a éste, o el valor mínimo o uno inferior a éste de la serie de valores de dicha variable, la DP2 entre dos países, calculada directamente por la distancia entre ellos, no varía cualquiera que sea el vector de referencia.

X. Conformidad: Dado que el factor varía según el orden de entrada de las componentes; esto va a ocasionar que el resultado de la DP2 varíe también en función del orden de entrada de dichas componentes y se hace necesario fijar un método de jerarquización de los componentes, a fin de que la DP2 verifique el postulado de unicidad.

El criterio más lógico de ordenación es atender a la cantidad de información de cada componente aporta al indicador sintético, es decir entraría en primer lugar aquella componente que contuviera mayor cantidad de información sobre el objetivo a medir y así sucesivamente. Se puede admitir, tal y como establece Pena, que la importancia de cada componente viene medida por el grado de dependencia entre él y el objetivo a medir por lo que, entonces la jerarquización de componentes se haría ordenándolos de mayor a menor, según el valor absoluto del coeficiente de correlación simple entre cada componente y la DP2; es decir si el componente i contiene más información que h, por lo tanto i entra en antes que h.

En conclusión, el orden de entrada de las variables en el cálculo de la DP2 debe de ser tal que los coeficientes de correlación, en términos absolutos del indicador sintético resultante y las variables que lo componen estén ordenados de mayor a menor. Es decir, donde:

a esta propiedad Zarzosa la denomina de conformidad.

Dado que en un principio es imposible determinar las correlaciones entre la DP2 y los indicadores sintéticos, ya que para el cálculo de la DP2 es necesario realizar previamente el proceso de jerarquización, es necesario partir de una solución inicial.

La solución inicial propuesta por Pena en su proceso de jerarquización es la distancia de Frechet. Esta solución en un principio nos llevaría a pensar que esto introduce arbitrariedad en la importancia de los indicadores simples, sin embargo en Zarzosa (1996) en su capítulo IV, se realiza un estudio a este respecto que aporta las siguientes conclusiones, que así mismo pueden consultarse en Zarzosa, P. (dir.) (2005, pág. 86-87):

El indicador de Frechet utilizado como solución inicial no condiciona el resultado final de la DP2, puesto que si se alcanza la convergencia, es decir, si el indicador se estabiliza, es porque cumple la condición de conformidad, cumplimiento que es independiente del vector inicial, este vector sólo es un instrumento para encontrar la solución estable.

Si los indicadores parciales están totalmente incorrelacionados o perfectamente correlacionados el resultado existe y es único.

Si el grado de correlación entre los indicadores simples no es ni total ni nulo hay que distinguir dos casos:

a. Si solo hay dos indicadores parciales, las dos posibles soluciones son estables. Partiendo de cualquier combinación lineal de los indicadores simples, se obtiene, por tanto, una solución estable. La media aritmética de los dos datos es una solución que cumple la condición de conformidad.

b. Si hay n indicadores simples, siendo n cualquier número mayor que dos, puede haber varias soluciones estables, es decir, en las que se alcanza la convergencia, sin que el indicador de Frechet ni cualquier otro vector que sea una combinación lineal de los indicadores parciales de la forma: conduzca necesariamente a todas ellas. El indicador de Frechet conduce a la solución convergente de mayor conformidad relativa. Si no hay ninguna solución “estrictamente conforme”, el indicador de Frechet proporciona la convergencia en la solución o soluciones cuasi-conformes.

La evidencia empírica manifiesta que el vector de Frechet o cualquier otro vector de combinaciones lineales de los indicadores parciales tal que los coeficientes sean iguales conduce a una solución estable, si esta existe, más rápidamente que otro vector inicial.

En definitiva, la ordenación de los indicadores parciales no se establece de antemano, ni está condicionada por el vector de Frechet que se utiliza como solución inicial, ni se determina de ninguna forma arbitraria.

Se puede afirmar que el indicador de DP2 se caracteriza por su neutralidad o no arbitrariedad en la determinación de la importancia de los indicadores parciales y, por tanto, de las variables.

Zarzosa (1996) establece que la distancia DP2 no tiene necesariamente una única solución conforme. Con el objetivo de solucionar este problema, que ocasiona que se viole la propiedad de unicidad, esta autora propone un criterio de optimización que permite dilucidar cuál es la solución conforme más adecuada dentro de un conjunto de soluciones válidas y que es desarrollado por Rivera (2004). Propuesta en la que profundizaremos en un epígrafe posterior, bajo el título de DP2 modificada.

XI. No arbitrariedad en la importancia atribuida a los indicadores simples (Neutralidad). Una de las críticas más habituales al diseño de los indicadores sintéticos es que las ponderaciones que se les atribuyen a los indicadores simples y que reflejan su importancia suelen, en la mayoría de los procedimientos, ser arbitrarias.

En el caso de la DP2 , tal y como se ha comentado, está no determina de antemano la importancia de los distintos indicadores parciales sino que es el resultado de su procedimiento de cálculo. Las ponderaciones vienen determinadas, por un lado, por el factor corrector que elimina el doble de información, reteniendo sólo aquella información que resulta útil. Y, por otro lado, por los valores absolutos de los coeficientes de correlación entre cada indicador parcial y el indicador sintético, que determina el orden de utilizado en la estimación de las regresiones y, por tanto, para calcular el indicador sintético.

El coeficiente de discriminación de Ivanovic

Esta medida estadística se propone con el objetivo de conocer el grado de información que contiene una variable, ya que cuantifica el poder de discriminación de una variable en el sentido general de la medición de la cantidad de información que contiene una muestra de valores.

Sea la variable X, de la que se dispone de una muestra sobre un conjunto de n entidades territoriales. Se define su Coeficiente de Discriminación de la siguiente manera:

donde es la media muestral de las observaciones de las variables X, xi es el valor que toma la variable X sobre una unidad territorial i, i=1,...,n y xk valores de la variable X distintos de xi y situados a continuación de xi.

Si todos los valores de la variable fuesen iguales el poder de discriminación de esa variable sería nulo y el coeficiente de discriminación de Ivanovic sería igual a cero.

Zarzosa (1992) obtiene:

donde G(X) es el índice de Gini de los valores observados de la variable X. Por lo que dado que el índice de Gini toma valores entre cero y , el coeficiente de discriminación de cualquier variable está acotado entre 0 y 2.

Toma valor cero cuando la variable X toma el mismo valor en todos los casos y el valor 2 cuando X presenta sólo un valor distinto de cero, siendo nulos todos los demás, con lo cual su poder de discriminación es máximo.

Sin embargo, con el objetivo de eliminar la información redundante sería necesario que el coeficiente de discriminación estuviese ponderado por un factor corrector, por ello Zarzosa (1992, 1996) propone la Cantidad de Información Global de Ivanovic-Pena:

Sea la variable Xi n-dimensional, se define la cantidad de información Global de Ivanovic-Pena que acumula la distancia DP2 de la siguiente manera:

Esta expresión es una función homogénea de grado 1 respecto de los coeficientes de discriminación de los indicadores elegidos, ya que es una combinación lineal de los mismos.

La distancia DP2 modificada

Uno de los principales problemas que presenta la DP2 es que mediante su uso no se obtiene una única solución conforme. Por esta razón, surge la necesidad de imponer algún criterio adicional que nos permita obtener de forma única cuál es la solución resultante.

Se plantea como objetivo establecer un criterio de optimización que permita elegir cuál es la solución conforme más adecuada dentro de un conjunto de soluciones válidas.

Esta idea fue propuesta por Zarzosa (1992) y desarrollada por Rivera (2004) que propone la siguiente definición para la DP2 modificada:

A partir de un conjunto de variables se define la distancia DP2 modificada como:

siendo una permutación de índices tal que

sea un vector ordenado de mayor a menor y la Cantidad de Información Global de Ivanovic-Pena sea máxima entre todos ellos.

Además, , es la desviación típica de la variable y es el vector base o de referencia. Finalmente es el coeficiente de discriminación de la variable .