6.2.2. Los indicadores sintéticos de distancia: el método de la distancia P2

El concepto de distancia. Condiciones

Sea Xj el vector de los componentes en la situación j (j=1,...,m) la cual puede referirse a un periodo de tiempo, país...

Donde xji es el estado en que se encuentra el componente i en la situación j.

Designaremos por x* el estado o norma de referencia, tendremos en este caso un vector de referencia que designaremos por X*, es decir:

Se define la distancia general p-métrica de la siguiente forma:

Dos casos particulares de utilización frecuente son cuando p=2 y p=1. Cuando p=2 se la conoce como “Distancia Cuadrática o Distancia Euclídea” que denotaremos por D2 y cuando p=1 la denotaremos por D1.

La familia de indicadores basada en estas dos definiciones (D1 y D2) se denomina indicadores sintéticos de distancia, y cumplen las condiciones exigidas a la distancia de un espacio métrico, que son:

No negatividad: La distancia es un número real único, no negativo, que vale cero solamente cuando los dos vectores, Xj y X*, son iguales.

Conmutatividad: La distancia entre Xj y X* es igual a la distancia entre X* y Xj.

Desigualdad triangular: Si se tienen tres vectores definidos en el mismo espacio vectorial tales que el Xj, Xk, X*, debe de verificarse que la suma de distancias de dos de ellos al tercero ha de ser mayor o igual que la distancia entre ambos.

Para que los indicadores sintéticos de distancia verifiquen la propiedad de exhaustividad, se hace necesario añadir cuatro condiciones adicionales con el fin de que aprovechen toda la información disponible y eviten la duplicidad de información.

Independencia: Si todos los indicadores simples son mutuamente independientes, el indicador sintético de distancia es la suma de los indicadores simples.

Dependencia funcional: Si entre los indicadores simples existe una relación funcional exacta, de forma que uno de ellos es función de otro u otros, entonces el indicador dependiente recoge la información contenida en los independientes y éstos pueden ser eliminados. En el caso límite de que un indicador parcial contenga la información que recogen todos los demás, el indicador sintético de distancia debe expresarse solamente en función de aquél.

Dependencia parcial: Si algunos indicadores simples contienen información parcial de otros, el indicador sintético de distancia debe de ser modificado para eliminar la doble información.

De partición: Si los indicadores simples pueden agruparse en conjuntos de información independientes, el indicador sintético de distancia podría particionarse en tantos indicadores parciales como grupos independientes existan, siendo igual aquél a la suma de éstos.

Comparaciones por medio del uso de indicadores sintéticos en el tiempo y en el espacio

Los indicadores sintéticos de distancia miden el estado en que se encuentra el objetivo en relación a la base de referencia, en el caso hipotético de que esta representase el estado ideal entonces, el valor numérico del indicador de distancia indica lo que falta para alcanzar el objetivo.

En el caso de las comparaciones intertemporales o interespaciales el indicador sintético de distancia va a presentar una interesante aplicación. En ese caso, el vector de base de referencia se sustituiría por los valores correspondientes a los estados de cada componente en el periodo de referencia temporal o con el país con los que se quiere realizar la comparación.

En este sentido, se asume una nueva hipótesis que tiene que ver con la comparabilidad entre países o entre instantes temporales y que denominaremos hipótesis de comparabilidad (IV).

HIPÓTESIS DE COMPARABILIDAD

“Se admite que en orden al objetivo buscado por el indicador sintético, dos países o dos instantes temporales pueden ser comparables”.

La validez de esta hipótesis depende lógicamente de las circunstancias. En nuestro caso en un contexto como el europeo con rasgos culturales, económicos e históricos más o menos similares puede resultar aceptable, mientras que en otros casos, la admisión de esta hipótesis puede resultar problemática.

Esta hipótesis puede también resultar difícil de asumir en el caso de comparaciones en el tiempo cuando los dos momentos temporales están muy alejados.

Con el objetivo de simplificar el desarrollo trabajaremos con el caso de una comparación interespacial, siendo totalmente válido todo lo que aquí se asuma en el caso de las comparaciones temporales.

PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

Otra exigencia tiene que ver con la propiedad de aditividad (VIII), esta establece que:

“El indicador sintético de distancia entre dos países debe ser tal que el indicador sintético de cada país verifique los postulados I a VII y además que la diferencia obtenida entre ellos directamente por el indicador de distancia sea igual a la que se obtendría al comparar los indicadores sintéticos de cada país”.

Es decir, sea D la distancia entre dos países, r y k:

Sea X* el vector norma o base de referencia para los dos países, entonces en el caso de la distancia general p métrica, cuando p=1 se verifica:

Sin embargo se da la igualdad siempre que sea tal que los signos de las diferencias y sean iguales (o los dos positivos o los dos negativos) para .

Mientras que en el caso de que p=2

De lo que antecede se deduce que D2 no cumple la propiedad VIII y la D1 solo la cumple si

o bien

Por otra parte, Zarzosa (1992) obtiene

y utilizando la desigualdad concluye que

La utilidad de esta relación radica en que conocidos los valores de los indicadores sintéticos de distancia entre ambos países se puede afirmar que dichos valores son por lo menos el valor absoluto de la diferencia entre ellos.

Además partiendo de la desigualdad triangular se verifica:

lo que nos permite afirmar que el valor del indicador sintético de distancia entre dos países es como máximo la suma de los valores individuales de los países.

PROPIEDAD DE INVARIANZA

Otra propiedad a tener en cuenta es la de invarianza respecto a la base de referencia (IX): “El indicador sintético de distancia definido para la comparación entre dos países debe de ser invariante respecto a la base de referencia que se toma para cada país con tal de que sea la misma para ambos”. Este postulado resulta necesario para que satisfaga la condición de unicidad.

En el caso de que la base de referencia sea la misma para todos los países que se comparen y para cada componente tome el valor máximo o uno superior a este, o el valor mínimo o uno inferior a éste de los valores correspondientes a los dos países, es decir:

o bien

entonces verificará la propiedad de invarianza respecto a la base de referencia, ya que los signos de y son iguales y por lo tanto:

Por otro lado, observamos que los valores y coinciden por lo que verifica también la propiedad de la invarianza de la base de referencia.

Esta propiedad no se verifica en el caso de la , aunque se asuma que o bien .

Está última expresión depende de la base de referencia, por lo que depende de la base de referencia.