3.2. Aplicación del modelo teórico a la formación de habilidades en las unidades de geometría plana en la secundaria básica.

En la enseñanza de la Geometría en nuestro país se observan dificultades en que los alumnos comprenden de forma fragmentada los conceptos y teoremas y que por lo tanto su utilización en la resolución de problemas es muy limitada.

La introducción del concepto de problema esencial en la enseñanza de la Matemática tiene como objetivo lograr que los alumnos comiencen a utilizar los conceptos y teoremas fundamentales de forma estructurada, lo que para la enseñanza de la Geometría tiene sus particularidades.

Por ejemplo, en la unidad temática Geometría Plana de 7. grado se observa que el alumno utilizando como instrumentos de medición de segmentos y ángulos, la regla y el semicírculo, respectivamente, en el traslado de polígonos trae consigo dos tipos de limitaciones:

- el número de acciones a realizar para reproducir el polígono y,

- la inexactitud en la medición de un segmento o ángulo según sea el instrumento que se utilice.

La introducción de los nuevos conocimientos unidos a la utilización de nuevos instrumentos de medición debe estar dirigida a disminuir o eliminar las limitaciones antes señaladas, mediante la comprensión y ejecución de un sistema de acciones por parte del alumno.

Los problemas esenciales se han caracterizado en su forma general para la enseñanza de la Matemática, no obstante, conviene distinguir una nueva característica para la Geometría que radica en que los nuevos conceptos o teoremas permiten resolver una limitación práctica ya sea en el orden de las operaciones como en el orden de la precisión. Quiere decir, que un instrumento de medición más un concepto o teorema determinan un nuevo sistema de acciones que le permite al sujeto perfeccionar las acciones que ha realizado anteriormente.

En la enseñanza de la Geometría en el nivel de Secundaria Básica se ha determinado el siguiente problema esencial y sus subproblemas:

Problema esencial: Perfeccionamiento del movimiento y reproducción de polígonos.

Sub – Problemas Aporte Teórico

1. Reproducción de polígonos de un plano a otro • Definición de igualdad de polígonos

2. Disminución del número de operaciones • Teoremas sobre la descomposición de un polígono convexo en triángulos.

• Teorema sobre la descomposición de un polígono no convexo en polígonos convexos.

• Teorema sobre la igualdad de triángulos.

3. Mejorar la precisión en la medición de segmentos. • Teorema sobre la determinación de los extremos de un segmento. Definición de circunferencia. (compás).

4. Mejorar la precisión en la reproducción de ángulos. • Teorema sobre ángulos en la circunferencia.

5. Comparación de superficies poligonales. • Concepto de superficies equivalentes.

• Concepto de área.

6. Reproducción de un polígono a gran escala. • Concepto de semejanza.

• Propiedades generales de la semejanza.

• Problemas de la experimentación a gran escala

El perfeccionamiento de la medición y la disminución del número de operaciones en el traslado de polígonos constituyen, desde el punto de vista práctico, aportes importantes en la formación matemática del alumno y las posibilidades de aplicación a situaciones concretas, ayudando a comprender los problemas y darle sentido a sus aplicaciones.

Así, la Geometría Plana en la secundaria básica, por ejemplo, según los programas vigentes, se encaminaría a que el alumno se prepare para resolver problemas geométricos de construcción, de cálculo y de demostración a partir de las relaciones de igualdad de triángulos, en la circunferencia y la semejanza.

En particular, la unidad Geometría Plana de 7. Grado, en los programas vigentes, se ocupa de plantear y resolver el problema esencial en las direcciones dadas en los dos primeros subproblemas fundamentalmente, dedicándose al estudio de la igualdad de triángulos, los cuadriláteros y sus propiedades.

El problema esencial debe expresar lo siguiente: determina un polígono igual a un polígono dado.

De este problema esencial para la unidad temática se deben distinguir las acciones que desde las primeras clases son necesarias para que el alumno pueda atribuir significado a la situación de la determinación de polígonos iguales:

• reconocer el papel de los movimientos del plano en la determinación de polígonos iguales en un mismo plano;

• interpretar el concepto de igualdad de polígonos para la determinación de polígonos iguales en diferentes planos;

• explicar la importancia de los triángulos en el estudio de los polígonos, en particular de la igualdad de triángulos;

• reconocer la aplicación de la igualdad de triángulos a la fundamentación de propiedades de los polígonos;

• reconocer la aplicación de la igualdad de triángulos para el traslado o reproducción de polígonos.

El tratamiento de estos conceptos en la solución del problema esencial posibilita la formación de una visión global inicial de las habilidades matemáticas de forma integrada partiendo de que la habilidad general de la unidad temática se propone:

Resolver problemas geométricos de construcción, de cálculo y de demostración en triángulos y cuadriláteros, utilizando la relación de igualdad de triángulos.

Para formar esta habilidad general son necesarias habilidades matemáticas básicas como las siguientes:

* Demostrar la igualdad de triángulos.

* Demostrar propiedades de los polígonos utilizando la igualdad de triángulos.

* Construir triángulos y cuadriláteros.

* Calcular longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos en situaciones dadas.

* Calcular área y perímetro de polígonos en situaciones intra y extramatemáticas.

Para la formación de estas habilidades matemáticas básicas son necesarias aquellas que están asociadas a los modos de operar directamente con los conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos que se han definido como habilidades matemáticas elementales, tales como:

* Construir triángulos iguales aplicando los movimientos del plano.

* Construir mediatrices, bisectrices, alturas y medianas en triángulos.

* Demostrar propiedades de las diagonales en los paralelogramos.

* Generalizar relaciones entre los cuadriláteros convexos.

* Comparar superficies aplicando el concepto de superficies equivalentes.

* Calcular el área del triángulo.

* Denotar figuras geométricas.

* Calcular longitudes de lados de triángulos y cuadriláteros.

En toda la unidad temática se forman habilidades matemáticas elementales que tienen una incidencia generalizada para toda la Geometría Plana, como son:

• reconocer las figuras geométricas y sus propiedades;

• denotar los objetos geométricos (segmentos, ángulos, rectas, triángulos, cuadriláteros, etc.), sus propiedades y relaciones;

• construir polígonos (con o sin instrumento);

• demostrar proposiciones sencillas;

• calcular longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos.

El tratamiento de conceptos como: igualdad de triángulos y superficies equivalentes debe ocupar la atención del alumno en esta unidad temática, desde el momento inicial, para familiarizarse con la idea central sobre la reproducción de polígonos iguales, la comparación de polígonos y el cálculo de áreas, que favorece la comprensión de los problemas extramatemáticos a que debe enfrentarse el alumno en la vida práctica, en los oficios como el de carpintero, plomero, sastre y otros, que se puedan ilustrar con suficiente claridad.

En 8. grado se continúa el tratamiento de la Geometría Plana con la unidad Circunferencia y círculo que tiene como base los conocimientos y habilidades precedentes sobre los movimientos del plano, la igualdad de triángulos y su aplicación en la obtención y demostración de propiedades de los polígonos, en particular los triángulos y cuadriláteros.

En esta unidad temática es fundamental comprender qué aporta el conocimiento de la circunferencia a la solución del problema esencial: perfeccionamiento del traslado y reproducción de polígonos. Para ello es útil responder a la pregunta siguiente: ¿Por qué es importante el estudio de la circunferencia?

La circunferencia permite diferenciar ángulos, así para trasladar o reproducir ángulos se toma la circunferencia como patrón donde uno de los rayos que parten del centro se fija para determinar el punto donde el otro lado corta la circunferencia.

De esta manera se establece una correspondencia biunívoca entre ángulos y puntos de la circunferencia, lo que significa que dos ángulos son iguales si coinciden con un mismo punto de la circunferencia.

Esto justifica la importancia del semicírculo como instrumento para medir ángulos y por tanto trasladar polígonos, pero que queda superado en precisión con la introducción de la relación entre el arco, la cuerda y el ángulo central.

A partir de estas reflexiones se plantea como problema esencial el siguiente: determina un polígono igual a un polígono dado.

Para que el tratamiento del problema esencial en las primeras clases de la unidad cumpla su objetivo de presentar el significado del nuevo contenido (relaciones en la circunferencia) se requiere que el profesor proponga actividades encaminadas a lo siguiente:

• Analizar las imprecisiones en la medición y comparación de segmentos y ángulos, con la regla y el semicírculo, respectivamente;

• Analizar las ventajas del compás en la precisión de la medición de segmentos;

• Introducir la relación entre el arco, la cuerda y el ángulo central correspondiente y su aporte a la construcción o reproducción de ángulos (se puede utilizar la medición de la cuerda como medio para la reproducción de ángulos iguales);

• Explicar las posibilidades del estudio de los elementos de la circunferencia y sus relaciones para profundizar el conocimiento de los polígonos.

La habilidad general que se propone formar por los alumnos en esta unidad temática es:

Resolver problemas geométricos de construcción, demostración y cálculo en figuras planas (triángulos, cuadriláteros y circunferencia) utilizando las relaciones entre ángulos, cuerdas y arcos en la circunferencia

Para esta habilidad general se proponen habilidades matemáticas básicas como las siguientes:

• Fundamentar relaciones entre ángulos, cuerdas y arcos en la circunferencia.

• Construir polígonos utilizando las relaciones en la circunferencia.

• Demostrar propiedades de figuras geométricas aplicando relaciones en la circunferencia.

• Calcular magnitudes (longitudes, amplitudes, área) en la circunferencia.

En el nivel de las habilidades elementales pueden encontrarse las siguientes:

• Relacionar ángulos, cuerdas y arcos en la circunferencia.

• Reconocer propiedades y relaciones en triángulos y cuadriláteros inscritos o circunscritos en una circunferencia.

• Construir polígonos regulares.

• Calcular amplitudes de ángulos en la circunferencia.

• Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

En este caso aparecen habilidades que se desarrollan y consolidan a lo largo de toda la unidad y que coinciden con las señaladas para el 7. grado.

Con la unidad Semejanza de figuras en el 9. grado se completa el nivel básico de la formación en la Geometría Plana.

Esta unidad toma como base los conocimientos y habilidades de los alumnos sobre las proporciones, los movimientos del plano, las propiedades de los triángulos, cuadriláteros y los polígonos en general, incluyendo el aporte de la circunferencia y el círculo al estudio de propiedades de las figuras geométricas.

Lo esencial matemático para el alumno en esta unidad es que se apropie del concepto de Semejanza a partir del sistema de acciones necesario para encontrar una figura semejante a otra dada. Esto significa que desde el primer momento se recomienda que se introduzca el concepto de semejanza con el problema esencial siguiente:

Construya un polígono de igual forma y diferente tamaño a un polígono dado.

En este problema se pueden fijar las razones de proporcionalidad (por ejemplo: k = 1 y k= 1/3) donde el alumno reproduzca el polígono mediante acciones de medición y trazado de lados y ángulos. El tratamiento a la solución se debe orientar en las siguientes direcciones:

• Reconocer el alumno que los ángulos conservan sus amplitudes y las longitudes de los lados son proporcionales;

• Diferenciar cómo determinar polígonos iguales aplicando los movimientos del plano, el concepto de igualdad de polígonos y en particular la igualdad de triángulos;

• Precisar el nuevo problema de determinar un polígono que conserva la misma forma y se reduce o aumenta de tamaño;

• Explicar el concepto de semejanza para precisar la solución del problema;

• Explicar la utilidad práctica mediante ejemplos concretos en que es necesario la reproducción de figuras a mayor y menor escala;

• Interpretar el teorema de las transversales como medio para calcular con exactitud longitudes de segmentos en figuras semejantes y para fundamentar esta relación;

• Concluir que los teoremas de semejanza de triángulos operan de forma análoga a los de igualdad de triángulos.

Con la visión de estos aspectos debe iniciarse el estudio de la Semejanza de figuras geométricas para asegurar la comprensión de por qué se estudia y la significación de cada uno de los conceptos y teoremas que aquí aparecen.

La habilidad general que se propone formar, por el alumno, en esta unidad temática es la siguiente:

Resolver problemas geométricos de construcción, de cálculo y de demostración en figuras geométricas utilizando la relación de semejanza y sus aplicaciones.

Para la formación de esta habilidad general debe considerarse la formación de habilidades matemáticas básicas como las siguientes:

• Construir figuras semejantes.

• Demostrar la semejanza de figuras geométricas.

• Calcular en figuras semejantes.

• Calcular en triángulos rectángulos.

Las habilidades matemáticas elementales que se deben formar son, entre otras:

* Reconocer los movimientos del plano como transformaciones de razón 1.

* Construir figuras semejantes aplicando la homotecia.

* Establecer razones de proporcionalidad entre segmentos.

* Reconocer razones en triángulos rectángulos.

* Calcular longitudes de segmentos (lados, alturas).

La determinación de las habilidades matemáticas y la estructuración del sistema en las unidades correspondientes a la Geometría Plana en Secundaria Básica ofrece una orientación metodológica al profesor para la comprensión del contenido de la enseñanza y un criterio para la dirección del aprendizaje de los alumnos.

Lo más significativo es observar cómo el problema esencial para la Geometría Plana se resuelve en cada unidad temática a partir de un nuevo instrumento matemático y se delimita así lo que en cada momento el alumno tiene que saber hacer.

Estas precisiones sobre las habilidades matemáticas ayudan al profesor además a organizar el curso de Geometría en cuanto al fondo de tiempo a dedicar a cada eslabón del proceso de enseñanza aprendizaje en función de las habilidades a desarrollar.