1.1.3. La resolución de problemas en el proceso de enseñanza aprendizaje.

El estudio del papel de los problemas en la lógica y estructu¬ra del proceso docente constituye un aspecto de cardinal impor¬tancia en los fundamentos sobre el aprendizaje de la Matemática en los trabajos de A. Schoenfeld (1985), Miguel De Guzmán (1992), Luz Manuel Santos (1995), Josep Gascón (1994), Jeremy Kilpatrick (1990), Marie Lise Peltier (1993) y otros, que no sólo se restrin¬gen al estudio de los procesos heurísticos que transcurren en la solución del problema propiamente, como en las concepciones de G. Polya, sino que ofrecen discusiones sobre sus aspectos epistemo¬lógicos y ontológicos como base para las sugerencias pedagógicas.

En particular, en el aprendizaje de las Matemáticas son signi¬ficativos los trabajos de A. H. Schoenfeld (1985) sobre la preparación de los alumnos para resolver problemas, donde determina diversos factores que intervienen en la realización exitosa de esta acti¬vidad: los recursos (cuerpo de conocimientos que un individuo es capaz de aplicar en una situación matemática en particular), la heurística (reglas de razonamientos para la resolución efectiva de problemas), el control (es la revisión y reestructuración de los intentos que se realizan en la resolución de problemas) y el sistema de creencias (las ideas que se tienen acerca de la matemática y cómo resolver problemas).

Lo más importante para esta investigación es que este autor introduce elementos como las creencias y las actitudes en las condiciones imprescindibles para la resolución de problemas y de los resultados de una amplia experiencia en el entrenamiento de los alumnos para resolver problemas matemáticos e insiste en la necesidad de que el aprendi¬zaje, en clases, se acerque lo más posible al modo de actuar del matemático, es decir, poder discutir ideas, negociar, especular sobre los posibles ejemplos y contraejemplos que ayuden a confir¬mar o a desaprobar sus ideas, lo que es muy importante tener en cuenta en la estructuración del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática.

Por su parte Marie Lise Peltier, al estudiar la Didáctica de la Matemática en Francia, subraya los fenómenos que intervienen en el aprendizaje del alumno, en el que su actividad supone la dialéctica pensamiento - acción, que no se concibe como una simple manipulación guiada por el profesor, sino que atiende a la concepción del sujeto que aprende, entendida ésta en el sentido siguiente:

 "la clase de problemas que dan sentido a un concepto para el alumno;

 el conjunto de significantes que es capaz de asociar (imagen mental, expresión simbólica);

 los instrumentos, teoremas, algoritmos, que es capaz de poner en marcha".

En las posiciones de esta autora el conocimiento no se acumula progresivamente, sino que se reorganiza permanentemente, se integra al saber anterior y a veces lo modifica.

Al estudiar el papel de los problemas en las estrategias empleadas por los profesores para dirigir el proceso, esta autora reconoce que:

 Los problemas son presentados al final del tema, con fines de evaluación;

 El problema es presentado como móvil del aprendizaje, es concreto, ocasional;

 El problema es presentado como medio del aprendizaje.

Estas precisiones sobre el lugar del problema en la estructura del proceso de enseñanza aprendizaje nos ha permitido destacar la tendencia que se manifiesta actualmente en nuestra escuela, a seguir la primera y la segunda, apareciendo los problemas en la etapa final de estudio de los diferentes conteni¬dos o de forma ocasional para motivar la introducción de un concepto, teorema o procedimiento y en pocos casos motivar el estudio del tema, aunque en ningún caso constituye el medio para el aprendizaje de toda la teoría objeto de estudio. En este sentido, consideramos importante tener en cuenta que los proble¬mas satisfagan las tres posiciones indicadas en la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje.

En las tendencias contemporáneas de la enseñanza de la Matemática, las epistemologías constructivistas sustentan la enseñanza por resolución de problemas que pone énfasis en los procesos de pensamiento que tienen como eje principal la actividad del alumno colocándolo en la situación de participar en el descubrimiento del nuevo conocimiento. Como afirma Miguel de Guzmán (1992), en el método de enseñanza por resolución de problemas se trata de armonizar adecuadamente la componente heurística (atención a los procesos de pensamiento) y los contenidos específicos del pensamiento matemático; sin embargo, en este sentido critica la falta de modelos adecuados que orienten al profesor en la integración de los contenidos y los procesos en un todo armonioso en la dirección del aprendizaje.

Entre los enfoques seguidos, sobre la resolución de problemas, se destacan en los Estados Unidos los que sintetiza A. H. Schoenfeld que son: los autores que hacen hincapié en los problemas presentados de forma escrita de tipo algorítmico o de fórmulas, el uso de modelos matemáticos para tratar los problemas aplicados a situaciones reales, los intentos de psicólogos e investigadores de procesos cognitivos en intentar explorar aspectos del pensamiento matemático relacionados la mayoría de las veces con problemas sencillos y los intentos en el sentido de entender y enseñar los tipos de habilidades requeridas para resolver problemas complejos de matemáticas a partir de la obra de G. Polya.

Estos enfoques, relacionados entre sí, son abordados en los trabajos de diferentes tendencias y son necesarios para la comprensión de esta actividad matemática y las vías que posibilitan que el alumno aprenda a resolver problemas.

En los trabajos de Yves Chevallard y Josep Gascón (1994) se exponen diferentes formas de entender y utilizar la resolución de problemas en la enseñanza de la Matemática, que denominan “paradigmas”, tales son los casos de los paradigmas teoricista, tecnicista, modernista, constructivista, procedimental y el de la modelización; en los que se identifica aprender matemáticas con el aprendizaje de teorías acabadas, o de técnicas matemáticas especialmente las algorítmicas, o con la exploración de problemas no triviales, o la construcción de nuevos conocimientos, o la construcción de sistemas estructurados de procedimientos o modelos matemáticos, respectivamente.

La presentación, por J. Gascón, de los fundamentos del paradigma de los “momentos didácticos”, que se resume a continuación, deja planteadas posiciones como las siguientes:

 Se considera que todo problema de matemáticas es el punto de partida de un (virtual) campo de problemas. Los problemas se agrupan en función de las técnicas matemáticas que se pueden utilizar para estudiarlos. No son los problemas concretos, aislados, los que tienen sentido o interés matemático.

 El estudio de campos de problemas se lleva a cabo mediante la utilización y, sobre todo, la producción de técnicas de estudio.

 Se considera que toda actividad matemática puede ser interpretada como un proceso de estudio de campos de problemas.

 Se pone de manifiesto una interrelación dialéctica entre el desarrollo de las técnicas matemáticas, la evolución de los campos de problemas y la construcción recursiva de las teorías matemáticas asociadas.

Del análisis de este paradigma se infiere un significado de la actividad matemática en relación con el estudio de campos de problemas y cómo este es generado por un problema matemático, lo que conduce a una concepción diferente acerca de la estructuración del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, sin embargo, limita su visión a un campo de problemas que se agrupan en función de las técnicas matemáticas propiamente y la producción de teorías matemáticas, en ningún modo hacen referencia a los problemas relacionados con la práctica social que dejen clara cuál es la fuente fundamental de desarrollo de esta ciencia, lo que debe tener un evidente reflejo en el proceso de enseñanza aprendizaje.

Aunque coincidimos con la forma de entender la resolución de problemas que se expone en el paradigma de los “momentos didácticos”, éste no ofrece las características de los problemas y los campos de problemas que orienten en el diseño de la asignatura y la labor docente metodológica de los maestros y profesores, que deje precisión acerca de cuál es el contenido de enseñanza de la Matemática a partir de los propósitos de cada sistema educativo.

Es bueno destacar que este paradigma se separa un poco de la secuencia que se utiliza, de forma general, por el profesor, para la enseñanza de la Matemática, que está dada por los siguientes pasos: selección de los objetivos, selección de los contenidos, selección de los métodos para la elaboración del nuevo contenido de acuerdo a la estructuración vigente de la enseñanza de la Matemática y luego cómo se procederá con el contenido seleccionado para su asimilación, por el alumno, teniendo en cuenta como factor central la ejercitación, más que la resolución de problemas.

Como se observa cada paradigma toma como base un principio para la estructuración del contenido, en dependencia de la interpretación del papel de la resolución de problemas y qué considera cada uno como núcleo de la actividad matemática y, por tanto, con qué se identifica el aprendizaje de la Matemática.

Aunque se asume en este caso como una importante propuesta acerca del papel de la resolución de problemas, se tendrán en cuenta la reflexión hecha en el párrafo anterior en el interés de fundamentar una variante para estructurar el proceso de enseñanza aprendizaje y el propio contenido a partir de problemas.

Con relación al papel de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza aprendizaje, en nuestro país, se han realizado investigaciones entre las que se destacan los trabajos del psicólogo Alberto Labarrere, el pedagogo Carlos M. Alvarez de Zayas y en la Metodología de la enseñanza de la Matemática de Luis Campistrous y Celia Rizo.

Resulta un importante antecedente en esta investigación el estudio realizado por A. Labarrere sobre la solución de problemas y el aprendizaje del escolar que se fundamenta en la doble función que realizan los problemas en la enseñanza de cualquier asignatura: la función de asimilación de conocimientos, de fortalecimiento y comprobación de los mismos por un lado, y la función educativa y de desarrollo por otro.

En los resultados de estas investigaciones en nuestro país se concluye que las dificultades para la solución independiente de problemas están relacionadas con algunas deficiencias que aún subsisten en la estructuración de la enseñanza y, en particular, en la enseñanza de la solución de problemas. Se valoran los avances significativos en la función del problema como medio para la asimilación de los conocimientos de las asignaturas y, por el contrario, los pocos avances en la función de desarrollo del pensamiento del escolar, lo que consideramos está relacionado con las concepciones en que se fundamenta la lógica y estructura del proceso docente en nuestra escuela.

Esto lo corrobora A. Labarrere cuando plantea: “para que la enseñanza de la solución de problemas permita a la vez asimilar conocimientos, formar hábitos y habilidades y desarrollar el pensamiento del alumno, es necesario concebirla y estructurarla de una forma determinada, especialmente planificada, con objetivos de desarrollo claramente formulados” En esta posición queda claro que lo esencial se concentra en la organización y conducción de la enseñanza para que el alumno asimile y forme procedimientos de enfoque y transformación de los problemas.

C. Alvarez (1984) al referirse a la organización del proceso docente para la Educación Superior lo concibe de modo tal que el estudiante esté permanentemente motivado en adquirir nuevos conocimientos y que para lograrlo debe estar consciente de que el nuevo contenido le es imprescindible para enfrentar las futuras tareas de la profesión.

El procedimiento docente que, en su criterio, más se adecua a este proceso docente es el planteamiento de problemas, que el nuevo contenido se ofrezca como resultado de la selección de una situación problémica.

La organización de este proceso docente la fundamenta a partir del modo en que la humanidad se ha desarrollado, es decir, "el hombre se enfrenta a un problema y se percata que el nivel de conocimiento que poseía le es insuficiente para resolverlo y, mediante complejos procesos de la actividad práctica y mental, enriquece el conocimiento de su objeto de trabajo a la vez que soluciona el problema", concluyendo con la idea de que los obje¬tivos que el profesor plantea a los estudiantes implican la resolución del problema.

Sobre la comprensión del contenido de la enseñanza, Carlos M. Alvarez destaca que el contenido que se escoge es el que como sistema permite cumplir los objetivos y satisfacer el problema planteado, priorizando el núcleo en el que se ubican los elemen¬tos esenciales que constituyen las invariantes de las habilidades con la ayuda de las cuales se va desarrollando el sistema de conocimientos.

El núcleo de la teoría es conformado por los conceptos, leyes, regularidades y modelos que constituyen la esencia del sistema de conocimientos y son la base de la formación de convicciones.

De la teoría de este pedagogo cubano resaltamos el papel asignado a la motivación asociado al planteamiento y solución de problemas; la estructuración del sistema de conocimientos sobre la base de un núcleo, que constituyen las invariantes de las habilidades; la organización del proceso docente la concibe siguiendo la lógica de la ciencia y la reafirmación de que el conocimiento se adquiere en la acti¬vidad.

Destacamos, en este caso, cómo se sitúa en un primer plano determinar qué va a hacer el estudiante con el concepto, la ley, la regularidad o el modelo; es decir, comprender los elementos esenciales del contenido, el sistema de acciones y operaciones que le permiten resolver problemas y adquirir, desarrollar y perfeccionar ese sistema de conocimientos.

En los fundamentos del proceso docente que se expone, el problema se sitúa como medio funcional para desarrollar toda la teoría y en cierto modo colocar al estudiante en el papel del descubrimiento, es decir, para resolver ese problema es necesario desarrollar toda la teoría y que al final esté en condiciones de enfrentar el proceso de solución o comprenderlo. Coincidimos con esta posición y la comprensión que este autor demuestra sobre los problemas que nos sugiere una secuencia que tendría variación en relación con el paradigma de los momentos didácticos sobre el papel del encargo social, a la hora de introducir algún tipo de variante por las propias necesidades de mejorar el proceso docente.

En las investigaciones realizadas por los Doctores L. Campistrous y C. Rizo sobre el aprendizaje de la resolución de problemas destacan algunas barreras que existen, para la resolución de los problemas aritméticos, que consideramos deben ser tenidas en cuenta de modo general. Dichas barreras se concentran en: la excesiva actuación del maestro, el alumno no logra formas de actuación generalizadas, los problemas se utilizan en función del desarrollo de habilidades y no como objeto de enseñanza en sí mismos, no se enseñan técnicas de trabajo, los parámetros de dificultad para los problemas son pocos precisos y no se trabajan los significados prácticos.

Si bien el estudio se basa en los problemas aritméticos, en esas barreras se expresan importantes limitaciones que consideramos afectan el objetivo de la formación matemática general que es preparar a los alumnos para resolver problemas lo que se atiende, por un lado, con la propuesta de técnicas que guíen la actividad de aprendizaje y, por otro lado, continuar la búsqueda de variantes para estructurar el proceso de enseñanza y el contenido que posibilite que la resolución de problemas sea objeto de enseñanza y objeto de aprendizaje. En esta investigación, se asume el análisis crítico de cada uno de los enfoques o tendencias más importantes de la enseñanza por problemas realizado por estos autores.

 Enseñanza problémica consiste en problematizar el contenido de enseñanza, de tal forma que la adquisición del conocimiento se convierte en la resolución de un problema en el curso de la cuál se elaboran los conceptos, algoritmos o procedimientos requeridos. Está muy elaborada desde el punto de vista didáctico y tiene un cuerpo categorial muy estructurado. En esta forma de enseñanza poco se deja a la improvisación, a mí se me parece más a la mayeútica socrática que a la heurística de Polya aunque tome la forma de heurística en algunas presentaciones. Se supone la forma en que debe proceder el alumno y es como si el hilo conductor del pensamiento del maestro determinara la actividad del alumno.

 La enseñanza por problemas que consiste en el planteamiento de problemas complejos en el curso de cuya solución se requieren conceptos y procedimientos matemáticos que deben ser elaborados. Este procedimiento se asemeja a la enseñanza por proyectos y resulta complejo de realizar, en la mayor parte de las veces los problemas se limitan a una función motivacional y a aportar un contexto en el que adquiere sentido los conceptos y procedimientos matemáticos que se pretende estudiar.

 La enseñanza basada en problemas que consiste en el planteo y resolución de problemas en cuya resolución se produce el aprendizaje. En este caso no se trata de problematizar el objeto de enseñanza ni de plantear problemas complejos que requieran de nuevos conocimientos matemáticos, más bien se trata de resolver problemas matemáticos relacionados con el objeto de enseñanza, sin confundirse con él, y que van conformando hitos en el nuevo aprendizaje. Este tipo de enseñanza no está didácticamente estructurado, no se dispone de categorías y formas de acción previstas y queda mucho a la creatividad del docente y a la independencia y capacidad de los alumnos. En este caso es una tarea de la didáctica la conformación de una teoría y procedimientos generales que apoyen la labor del maestro y contribuyan a la generalización de este método en aquellos casos en que es posible utilizarlo.

 La enseñanza de la resolución de problemas es otra de las formas que adopta el Problem solving en los EEUU, que debe ser bien diferenciada de las anteriores, y que se ha difundido mucho mediante los textos que enuncian y practican "estrategias" para resolver problemas y después plantean problemas para aplicarlas. Esta nueva forma es otra tarea urgente, independiente de las anteriores y que, en rigor, debe precederlas. Incluso se han elaborado textos sobre "estrategias" con este enfoque, que a veces resulta bien alejado del espíritu de lo que Polya preconizaba, aunque supuestamente se basan en él.

Esta investigación se ubica en el problema abierto que se plantea en la tendencia de la enseñanza basada en problemas al encaminarse en el sentido de una propuesta para la estructuración didáctica del proceso de enseñanza aprendizaje, así como dejar establecidas categorías y formas de acción que guíen la actividad de maestros y alumnos.