1.1.4. El Conocimiento Matemático según Ed Dubinsky.

Comenzaremos directamente por lo que Ed Dubinsky comprende o denomina conocimiento matemático:

“El conocimiento matemático de un sujeto es su tendencia a responder a situaciones matemáticas problémicas mediante la reflexión sobre problemas y sus soluciones dentro de un contexto social y la construcción o reconstrucción de acciones, procesos y objetos organizándolos en esquemas para tratar con dicha situación”.

En primer lugar, debemos señalar que, aunque en esta definición se indican aspectos muy importantes de la actividad matemática, que se precisan de un modo muy útil para la práctica pedagógica, se omite o al menos no se distingue, de modo claro, la base objetiva de la actividad matemática. Cabe preguntarse cuales son las situaciones matemáticas problémicas a las cuales se hace referencia en la definición. En nuestra opinión éstas no están vinculadas con la realidad objetiva. Por otro lado, la noción de contexto social queda subordinada a la reflexión individual lo que, en nuestra opinión, constituye una fase decisiva del proceso de conocimiento.

Las nociones fundamentales, que aparecen en definición, se derivan de la concepción de J.Piaget sobre el aprendizaje en la que se indica que cuando un sujeto enfrenta una situación problémica se produce un desequilibrio, el sujeto trata de equi¬librar elaborando o haciendo construcciones que le permitan resolver dicha situación y lograr el equilibrio. Este autor, define cuatro tipos de objetos cognitivos, que son: acciones, procesos, objetos y esquemas. Señala que éstos se organizan a su vez en estructuras a las cuales denomina esquemas.

Estos conceptos son puntualizados por Ed Dubinsky en el campo de la Matemática precisando que una acción es cualquier transformación física o mental de un objeto para obtener otro objeto. Esto ocurre como reacción a un estímulo el cual es percibido como externo. Este puede ser una respuesta parcial, tal como un reflejo físico o un acto de recor¬dar cierto hecho de la memoria que tiene la característica de que cada paso es provocado por el que le antecede, antes que por un control consciente del sujeto de la transformación. En este caso, los resultados de varios pasos de una respuesta son parcialmente controlados por el sujeto, que es, en este sentido, parte de la transformación.

Continúa precisando que, cuando el sujeto reflexiona sobre una acción, él puede comenzar a establecer un control consciente sobre ésta. Entonces pudiéra¬mos decir que la acción es interiorizada y ésta se convierte en un proceso, señalando finalmente que un proceso es una transformación de un objeto (u objetos) la cual tiene una característica importante; el sujeto está en control de dicha transformación en el sentido que él o ella puede descri¬bir o reflexionar sobre todos los pasos de la transformación sin realizarlos en realidad. Una vez que un sujeto tiene construido un proceso éste puede ser transformado de varias formas. Un proceso puede ser invertido o puede ser coordinado con otros procesos. En algunos casos esta coordinación conduce a un nuevo proceso (como en la composición de funciones), en otros, los procesos se ligan para formar un esquema.

También define que un objeto está construido mediante un proceso que él denomina compactación. Esta compactación es obtenida cuando éste se convierte en una necesidad como totalidad y el sujeto siente que puede actuar sobre ésta y puede construir tal transformación. Un objeto puede ser descompactado para obtener un proceso del cual surgió y, es muy importante para un sujeto en Matemáti¬cas poder moverse de un lado a otro, entre un objeto y un proceso de una idea matemática.

Finalmente, señala que un esquema es una colección coherente de acciones, procesos, objetos y otros esquemas, los cuales están enlazados de alguna forma y pueden esclarecer una situación problémica. Como en los procesos, un sujeto puede reflexionar sobre un esquema y trans¬formarlo. Esto puede traer como consecuencia, en el esquema, el surgimiento de un nuevo objeto. Así, vemos que existen al menos dos formas de construcción de objetos, de procesos y de esquemas. Los objetos pueden ser trasformados por acciones de orden superior, conduciendo a nuevos procesos, objetos y esquemas. De aquí tenemos un mecanismo, el cual puede ser observado como acción en espiral, en cuyo interior se desarrollan los objetos.

Como se observa, en estas definiciones lo social no interviene de modo claro, las acciones del sujeto se explican un tanto deshumanizadas, sin embargo, se introduce la noción de descomposición genética de conceptos que, aunque lo social está subordinado, puede facilitar la creación de situaciones de aprendizaje además de servir de instrumento para el análisis del esfuerzo cognitivo que debe realizar un sujeto o grupo de ellos para construir un concepto. La descomposición genética de los conceptos introducida por E. Dubinski sugiere la posibilidad de aplicarlas al proceso de resolución de problemas para diseñar las tareas y las formas de organización del proceso de enseñanza aprendizaje (individual y grupal), lo cual se tiene en cuenta en este trabajo.