3.2. Ejemplo de sistema de actividades y problemas para desarrollar la variante propuesta para ciertos tópicos.

En este epígrafe se mostrará, a través de determinadas actividades, la concepción que, para el tratamiento del contenido, puede tenerse en cuenta según los tres momentos didácticos que se han propuesto para estructurar el proceso de enseñanza a partir de problemas. Este se encuentra en el campo de la Geometría por lo que consideramos importante realizar un breve bosquejo de la base axiomática que la fundamenta. La base axiomática en que se fundamenta la propuesta es la de A. N. Kolmogorov.

En primer lugar, debemos indicar que el sistema de axiomas que propone Kolmogorov no es independiente. Aunque algunos de los axiomas pueden ser simplificados el sistema resulta completo, es decir, con ellos se puede construir desde el punto de vista lógico toda la geometría euclidiana, por lo tanto, posee una buena estructura lógica.

El sistema está constituido por 12 axiomas divididos en cinco grupos como es ya tradición en la presentación de la Geometría.

El primer grupo, denominado “Axiomas de pertenencia”, establece la relación de pertenencia de puntos a una recta y de las rectas a un plano. En pocas palabras, los axiomas de este grupo establecen la existencia de los objetos geométricos fundamentales. Por ejemplo, el primer axioma “cada recta es un conjunto de puntos” nos permite advertir la importancia que tiene la teoría de conjuntos para esta construcción.

En el segundo grupo se introduce el axioma de distancia, indicándose las propiedades fundamentales, es decir, la noción de espacio métrico. Como el concepto de distancia se encuentra más cercano a la experiencia habitual del niño lo consideramos un punto importante a favor de la variante que proponemos.

El tercer grupo de axiomas, los de orden, establecen en primer lugar la existencia de una partición particular de la recta. Este axioma da la posibilidad del trabajo con la noción de continuidad.

El cuarto grupo está constituido por un sólo axioma que resulta de sumo interés para nuestros propósitos, el axioma de movimiento en el plano, es decir la posibilidad de los distintos movimientos. Aunque este axioma en los cursos desarrollados según esta axiomática no juega un rol importante, consideramos que en la aplicación de esta variante la estructuración de la experiencia del niño se pone en función de construir la noción de espacio geométrico. Finalmente el quinto grupo está constituido por un solo axioma que es el de paralelismo.

Un problema que se observa en esta axiomática es que la existencia de la medida de los ángulos queda como uno de los presupuestos debido a la dificultades de su demostración, lo que hace que se pueda considerar como uno de sus elementos de partida sin generar dificultades de tipo lógicas.

Con estos fundamentos se explicará la variante en un tópico específico que es objeto de estudio en el programa vigente en el 7. grado: la igualdad o congruencia de triángulos. La idea que se observará tiene como hilo conductor la propuesta de un conjunto de actividades para dar tratamiento al problema esencial del perfeccionamiento del traslado y reproducción de polígonos y se propone mostrar cómo de forma inductiva el alumno puede llegar a la elaboración del nuevo contenido, lo que fortalece el significado, la comprensión de la utilidad práctica y contribuye a aumentar la intuición geométrica y sobre esa base trabajar las formalizaciones, el carácter deductivo.

El problema esencial referido al perfeccionamiento del traslado y reproducción de polígonos tiene entre otros subproblemas, el siguiente: Construir con la mayor exactitud posible, un polígono igual a otro polígono dado.

El primer momento en la estructuración del proceso de enseñanza aprendizaje en correspondencia con la variante propuesta, presupone que la actividad del alumno se encamine al planteamiento y solución del subproblema, representado en una o varias situaciones de la práctica social tales como la representación de un proyecto de edificación donde se distinguen claramente diferentes figuras geométricas en su estructura y se indican algunas de sus magnitudes a partir de las cuales deben determinarse otras que también se indicarán, a partir de las condiciones previas que posee lo que le permitirá al profesor a su vez realizar el diagnóstico de la preparación no sólo en el dominio de los conocimientos y habilidades matemáticas formadas en grados anteriores, es medular poder caracterizar las condiciones para enfrentarse, con independencia a la solución del problema.

Una primera actividad puede estar dirigida a determinar algunas de las figuras geométricas realizando una tabulación de los datos que poseemos, de cada una de ellas. Aquí es importante, ya sea directamente o a través de preguntas, que se indique la importancia que tiene el conocimiento de algunas de las magnitudes representadas para la determinación de la cantidad necesaria de algunos de los materiales a utilizar en la construcción de la edificación.

Otra actividad que puede desarrollarse es partir de la situación de que el plano de la mesa en la que ellos escriben es distinto de los que aparecen en la edificación representada y no pueden realizar las representaciones de las figuras en esos casos con la aplicación de los movimientos y pueden realizarse utilizando el concepto de igualdad por superposición. En esta situación, realizamos la siguiente descomposición genética del concepto de igualdad de polígonos, que sirve de base para seleccionar y diseñar ejercicios y problemas:

Para ello se recomienda, teniendo en cuenta la descomposición genética indicada y los datos de la figura de partida, que el aseguramiento de las condiciones previas se lleve a cabo a partir de actividades como las siguientes:

Nota: el profesor tendrá las plantillas originales como medio de comparación.

1. Dado el pentágono ABCDE construya un pentágono igual PQRST, utilizando los movimientos del plano. (Anexo 1)

2. Dado el pentágono ABCDE construya un pentágono igual PQRST, realizando las mediciones de lados y ángulos. (Anexo 2)

3. Compare las vías empleadas en cuanto a la exactitud lograda en la construcción utilizando las plantillas originales.

4. Busque un método para construir el polígono PQRST con mayor exactitud.

En la primera actividad puede asociarse al contexto en que el polígono se construye en la misma hoja que el polígono dado, teniendo en cuenta que el movimiento se realiza en el mismo plano. De igual forma, en la segunda se asocia al contexto en que se puede construir el nuevo polígono en diferentes hojas, la idea de planos diferentes, realizando las mediciones y trazados de lados y ángulos.

En el ejemplo dado se hace necesario medir los cinco lados y los cinco ángulos del pentágono ABCDE y construir los cinco lados y los cinco ángulos del nuevo pentágono (claro, se observará que algunas mediciones serán innecesarias), esta construcción es realizable con los conocimientos que tiene el alumno. Se aconse¬ja realizar la construcción del pentágono PQRST teniendo en cuenta que se construya primero un lado, luego un ángulo, y así sucesi¬vamente (al realizar esta construcción debe tenerse en cuenta el tiempo y la cantidad de operaciones que el alumno emplea).

En las actividades 3 y 4 se encuentran las condiciones para realizar la motivación por la necesidad de perfeccionar un método de solución al problema planteado que conduce a orientar el objetivo de la actividad de aprendizaje a partir de la sistematización de los conocimientos y habilidades que intervienen en el proceso de solución, tanto las precedentes como las que serán necesarias en el diseño del método que se busca para mejorar la exactitud en la construcción del nuevo polígono.

En este momento el alumno debe poder caracterizar en términos de las operaciones de medición que intervienen en la reproducción, es decir, en la rotación interviene solamente la medición de ángulos, en la simetría axial la medición de segmentos, en la traslación la medición de segmentos en dos funciones diferentes (para el trazado de paralelas y para la traslación de los vértices), en la simetría central la medición de segmentos y en el caso de la igualdad es la medición de segmentos y ángulos. Aquí es conveniente realizar actividades escritas u orales para identificar los movimientos por las acciones de medición que intervienen, identificar figuras a través de la descripción de las acciones para la construcción de modo que favorezca la formación de procesos y objetos mentales teniendo en consideración la estructura del conocimiento matemático. El trabajo en grupos pequeños es muy importante en este momento para enriquecer las acciones individuales.

En la actividad 4 aparece planteado al alumno el problema que, concretamente, va a resolver con el significado de lo que ya sabe hacer desde grados anteriores y, sobre esa base, la nueva meta que es encontrar la vía de solución, que es desconocida, que conducirá a la elaboración del nuevo contenido.

Para el segundo momento didáctico que se dirige a la búsqueda de la solución que es la elaboración del método buscado y su ejercitación se recomiendan actividades como las que se darán a continuación.

Actividades dirigidas al perfeccionamiento del traslado de segmentos.

Una de las direcciones en que se perfecciona el traslado y reproducción de polígono es mejorar la precisión en la medición de segmentos, por lo que se considera necesario que el alumno sea consciente de cómo es que realiza esas mediciones, cuáles imprecisiones ocasiona ese método y plantearse un método para resolver la dificultad. Una actividad que se puede proponerse al alumno para este fin se muestra a continuación.

5. Sobre una hoja de papel se han dibujado varias circunferencias con el mismo radio, a partir de cada uno de los centros se han trazado rayos, indicándose con ciertas letras los puntos de intersección con las circunferencias respectivas. (Ver anexo 3)

a) Compare las longitudes de los segmentos indicados. Explique a qué se debe la coincidencia o la diferencia.

b) Explique un procedimiento que le permita reproducir la longitud de un segmento sin necesidad de realizar las mediciones con la regla graduada.

c) Este procedimiento de reproducir la longitud de un segmento a qué forma de reproducción de un polígono perfeccionaría.

Se le indicará al alumno realizar la comprobación de la deducción anterior en la reproducción de polígonos de distintas maneras. Se indicarán con claridad las situaciones que aparecen sin resolver. Se realizarán algunos ejercicios que involucren las acciones que integran la comparación de segmentos. (Ver anexo 4)

Con esta comprensión práctica se pueden construir un grupo de problemas donde los alumnos de un modo deductivo puedan establecer igualdades o diferencias en determinadas figuras. Además, como el movimiento que se perfecciona es el de traslación puede constituir la base para generar otro grupo de problemas donde de forma deductiva el alumno obtenga propiedades, determine longitudes y precise ubicaciones. El regreso a la figura original resulta un momento de especial interés ya que permite a los alumnos comprender la objetividad de la Matemática.

Actividades dirigidas a reconocer la importancia del triángulo en la reproducción de polígonos.

Se podría continuar con algún tipo de ejercicio que destaque de alguna manera la importancia del estudio del triángulo en el perfeccionamiento de la reproducción de polígonos un ejercicio podría ser el siguiente:

6. A continuación se tienen un grupo de plantillas que representan a distintas figuras geométricas. Descomponer cada una de ellas en figuras que le sean conocidas partiendo de la unión de sus vértices. (Ver anexo5)

a) Indique, en los casos que se pueda, cuándo es posible realizar esa descomposición obteniéndose una mayor cantidad de figuras mediante la unión de sus vértices.

Actividades dirigidas a determinar el número de operaciones mínimas para reproducir un triángulo.

En este momento, se concentrará la atención en el estudio de la reproducción del triángulo teniendo presente el concepto de igualdad. Se recomienda el siguiente ejercicio:

7. Se tiene una tabla que resume los datos tomados de modo aproximado de los elementos fundamentales de algunos triángulos. ( Ver anexo 6)

a) Realice la construcción de cada grupo de ellos.

b) ¿De cuántas maneras puede hacerse la reproducción de cada triángulo?

Esta situación resulta preparatoria para la obtención de los teoremas de igualdad de triángulos, los que se formularán inicialmente producto del proceso inductivo. Se dará posteriormente una hoja de trabajo con distintos triángulos representados para que ellos identifiquen los datos suficientes para su reproducción. Luego, con estos datos, se realizarán las construcciones geométricas y se observarán las imprecisiones que se conservan.

Actividades dirigidas a perfeccionar la reproducción de ángulos.

Uno de los pasos constructivos que ocasiona dificultad a los alumnos es el referido al transporte de amplitudes de ángulos que siempre está asociado al uso del semicírculo graduado. A través de los teoremas de igualdad es posible buscar una vía que perfeccione el traslado de ángulos sin la utilización del semicírculo graduado, de modo que las acciones sólo dependen de las características del compás.

8. Sobre una hoja de papel se ha trazado una circunferencia cuyo centro se encuentra en el punto O. A partir de este punto se han trazado dos rayos indicándose los puntos de intersección con la circunferencia. A ambos rayos se les ha aplicado una misma rotación con centro en O. (Ver anexo 7)

a) Compare el ángulo inicial con el ángulo final.

b) ¿Cómo son las distancias entre los puntos de intersección de los rayos y los puntos resultantes de la rotación aplicada?.

c) ¿Qué procedimiento para el traslado de ángulos con mayor exactitud se puede deducir de las observaciones?

d) ¿A qué tipo de reproducción de polígonos beneficiaría este procedimiento?

Actividades dirigidas a perfeccionar la reproducción de polígonos.

Se propone, en este caso, un ejercicio donde se comprueba concretamente el aporte de los resultados de las actividades anteriores a la reproducción de polígonos.

9. Construya un triángulo igual al triángulo ABC.

10. ¿Con cuáles datos es suficiente la construcción del triángulo?

11. Descomponga el pentágono ABCDE en triángulos y construya nuevamente el pentágono PQRST.

En este momento se realizarán ejercicios sobre la comparación de ángulos, suma de ángulos y operaciones con ángulos. (Ver anexo 8)

Las imprecisiones que se producen en la construcción de un polí¬gono (por el uso de instrumentos de medición) y la necesidad de disminuir o racionalizar el procedimiento constructivo son los problemas que el alumno debe comprender y cuya solución tiene como base el estudio de la igualdad de triángulos, que es el núcleo a partir del cual se reestructura todo el sistema de conocimientos y habilidades de la Geometría Plana que tiene el alumno (en el 7. Grado según el programa vigente). Estas imprecisiones y el proceso de su solución pueden atenderse de manera global con el siguiente ejercicio:

12. Se da un sistema de plantillas que representan a distintas figuras geométricas.(Ver anexo 9)

a) En una hoja de papel represente a cada una de ellas y describa la secuencia de pasos seguidos en función de los elementos fundamentales (lados y ángulos) de las figuras que se han ido dibujando.

b) Teniendo en cuenta las representaciones de las distintas figuras conforme una tabla con las mediciones aproximadas de sus elementos fundamentales.

c) Con los datos tomados de forma aproximada en otra hoja de papel realice la representación del sistema de datos y compárelo con el original. Explique las causas de las diferencias.

d) Realice ahora el proceso de reproducción aplicando los elementos que lo perfeccionan. Compárelos.

El profesor mostrará con la plantilla demostrativa (pentágono) cómo descomponer el polígono dado en otros polígonos, siendo más conveniente destacar lo ventajoso que resulta descomponerlo en triángulos, aunque el alumno debe comprender que cualquiera sea la descomposición (en un triángulo y un cuadrilátero o en tres triángulos) se conserva la misma superficie lo que permite introducir el concepto de superficies equivalentes. En este proceder es conveniente que el alumno sea capaz de reproducirlo en diversas situaciones.

Al reducir el problema a la construcción de triángulos, se debe explicar cómo el número de acciones se simplifica significativamente, es decir, si en la primera construcción realizó seis mediciones y seis pasos de construcción sobre esta base se realizan con tres, debe observar también que las operaciones a realizar para construir cualquier otro polígono también se simplifica.

La acción de descomponer un polígono en otros de menor número de lados está muy ligada a la acción de reconstruir el polígono inicial como un todo sin perder la noción de cada una de las partes en que se ha subdividido y la posición que cada una ocupa.

Actividades dirigidas a que el alumno construya el concepto de área de un polígono.

En primer lugar veamos una propuesta de descomposición genética del concepto de área de un polígono:

En este momento debe introducirse poco a poco el concepto de área de un polígono de la siguiente forma con el siguiente ejercicio:

13. Sobre una hoja papel se ha dibujado un grupo figuras geométricas. De cada una se te ha dado una plantilla transparente. Señala en los casos que puedas cuáles son mayores por pares. (Ver anexo 10)

a) Explica, en los casos en que te sea posible, qué procedimiento empleaste para realizar la comparación.

b) ¿En cuáles casos piensas que fue más sencillo el proceso de comparación?.

c) ¿Es posible utilizar el concepto de perímetro para decir si una figura es más grande que la otra?.

En el siguiente ejercicio se hará énfasis en que la comparación de dos superficies es más fácil o resulta realizable en el caso de que las figuras a comparar sean rectángulos.

14. Sobre varios rectángulos se han tomado, de modo aproximado, las siguientes mediciones. (Ver anexo 11)

a) Determina el número de cuadraditos de 1 mm de longitud de los lados que contienen cada uno de ellos.

b) ¿Cuál es el mayor y cuál es menor?.

El siguiente ejercicio tiene como objetivo lograr que comprenda que en el caso del triángulo rectángulo es posible dar aproximadamente la cantidad de cuadraditos de 1 mm de lado.

15. Sobre una hoja de papel se han dibujado una serie de rectángulos los cuales tienen una parte sombreada. Diga en los casos que sea posible, de forma aproximada, el número de cuadraditos de 1mm de longitud de lado que contienen dichas partes. (Ver anexo 12)

Ahora se introducirá el proceso de rectangularización de un polígono con el siguiente ejercicio:

16. Se dan plantillas de distintos tipos de triángulos para traten de descomponer cada uno de ellos en triángulos rectángulos. (Ver anexo 13)

17. Se tiene un grupo plantillas de figuras geométricas, haciendo su representación en una hoja de papel, pruebe si es posible descomponerlas en triángulos rectángulos. (Ver anexo 14)

a) Determine el número aproximado de cuadraditos, de 1mm de longitud de sus lados, que posee cada polígono.

Con este ejercicio se completa el tratamiento metodológico del concepto de área que conlleva a la definición del concepto de altura. Al igual que en otros instantes deben proponerse ejercicios escritos u orales que permitan que el alumno trate de identificar el sistema de acciones que componen la rectangularización de un polígono a través de la descripción de dichas acciones, de este modo se favorece la formación de procesos y objetos mentales. Después es posible confeccionar problemas que sus soluciones estén impregnadas, en lo fundamental, de un enfoque deductivo.

Actividades dirigidas a la deducción de las propiedades de algunos cuadriláteros

En este momento se estudia el triángulo comenzando con el estudio de algunos tipos de cuadriláteros que se obtienen de combinar dos triángulos iguales. Así se puede proponer el siguiente ejercicio:

18. Se tiene un grupo de plantillas que representan diferentes triángulos iguales o congruentes por pares. Se quiere que con cada par se formen todas las figuras posibles haciendo coincidir sus lados homólogos. (Ver anexo 15)

a) Describa el tipo de figura que se forman atendiendo al número de lados.

b) Describa las características generales de las figuras.

c) Con cada figura confeccione una tabla que indique los datos fundamentales de cada una de las figuras.

d) Reconstruye las figuras originales a partir de los datos tomados. Compárelas con las plantillas originales.

Este problema permitirá caracterizar distintos tipos de cuadriláteros tales como el rectángulo, el cuadrado, el paralelogramo, el rombo, las propiedades de sus diagonales etc. También se preparan las condiciones de los conceptos de mediana, bisectriz y mediatriz.

En el tercer momento didáctico, que tiene como finalidad que el alumno aplique el sistema de conocimientos y habilidades formados a resolver problemas, se recomiendan problemas y ejercicios donde predomine el enfoque deductivo e intervengan las propiedades generales de los movimientos.