3.2. Ejemplo de sistema de actividades y problemas para desarrollar la variante propuesta para ciertos t�picos.

En este ep�grafe se mostrar�, a trav�s de determinadas actividades, la concepci�n que, para el tratamiento del contenido, puede tenerse en cuenta seg�n los tres momentos did�cticos que se han propuesto para estructurar el proceso de ense�anza a partir de problemas. Este se encuentra en el campo de la Geometr�a por lo que consideramos importante realizar un breve bosquejo de la base axiom�tica que la fundamenta. La base axiom�tica en que se fundamenta la propuesta es la de A. N. Kolmogorov.

En primer lugar, debemos indicar que el sistema de axiomas que propone Kolmogorov no es independiente. Aunque algunos de los axiomas pueden ser simplificados el sistema resulta completo, es decir, con ellos se puede construir desde el punto de vista l�gico toda la geometr�a euclidiana, por lo tanto, posee una buena estructura l�gica.

El sistema est� constituido por 12 axiomas divididos en cinco grupos como es ya tradici�n en la presentaci�n de la Geometr�a.

El primer grupo, denominado �Axiomas de pertenencia�, establece la relaci�n de pertenencia de puntos a una recta y de las rectas a un plano. En pocas palabras, los axiomas de este grupo establecen la existencia de los objetos geom�tricos fundamentales. Por ejemplo, el primer axioma �cada recta es un conjunto de puntos� nos permite advertir la importancia que tiene la teor�a de conjuntos para esta construcci�n.

En el segundo grupo se introduce el axioma de distancia, indic�ndose las propiedades fundamentales, es decir, la noci�n de espacio m�trico. Como el concepto de distancia se encuentra m�s cercano a la experiencia habitual del ni�o lo consideramos un punto importante a favor de la variante que proponemos.

El tercer grupo de axiomas, los de orden, establecen en primer lugar la existencia de una partici�n particular de la recta. Este axioma da la posibilidad del trabajo con la noci�n de continuidad.

El cuarto grupo est� constituido por un s�lo axioma que resulta de sumo inter�s para nuestros prop�sitos, el axioma de movimiento en el plano, es decir la posibilidad de los distintos movimientos. Aunque este axioma en los cursos desarrollados seg�n esta axiom�tica no juega un rol importante, consideramos que en la aplicaci�n de esta variante la estructuraci�n de la experiencia del ni�o se pone en funci�n de construir la noci�n de espacio geom�trico. Finalmente el quinto grupo est� constituido por un solo axioma que es el de paralelismo.

Un problema que se observa en esta axiom�tica es que la existencia de la medida de los �ngulos queda como uno de los presupuestos debido a la dificultades de su demostraci�n, lo que hace que se pueda considerar como uno de sus elementos de partida sin generar dificultades de tipo l�gicas.

Con estos fundamentos se explicar� la variante en un t�pico espec�fico que es objeto de estudio en el programa vigente en el 7. grado: la igualdad o congruencia de tri�ngulos. La idea que se observar� tiene como hilo conductor la propuesta de un conjunto de actividades para dar tratamiento al problema esencial del perfeccionamiento del traslado y reproducci�n de pol�gonos y se propone mostrar c�mo de forma inductiva el alumno puede llegar a la elaboraci�n del nuevo contenido, lo que fortalece el significado, la comprensi�n de la utilidad pr�ctica y contribuye a aumentar la intuici�n geom�trica y sobre esa base trabajar las formalizaciones, el car�cter deductivo.

El problema esencial referido al perfeccionamiento del traslado y reproducci�n de pol�gonos tiene entre otros subproblemas, el siguiente: Construir con la mayor exactitud posible, un pol�gono igual a otro pol�gono dado.

El primer momento en la estructuraci�n del proceso de ense�anza aprendizaje en correspondencia con la variante propuesta, presupone que la actividad del alumno se encamine al planteamiento y soluci�n del subproblema, representado en una o varias situaciones de la pr�ctica social tales como la representaci�n de un proyecto de edificaci�n donde se distinguen claramente diferentes figuras geom�tricas en su estructura y se indican algunas de sus magnitudes a partir de las cuales deben determinarse otras que tambi�n se indicar�n, a partir de las condiciones previas que posee lo que le permitir� al profesor a su vez realizar el diagn�stico de la preparaci�n no s�lo en el dominio de los conocimientos y habilidades matem�ticas formadas en grados anteriores, es medular poder caracterizar las condiciones para enfrentarse, con independencia a la soluci�n del problema.

Una primera actividad puede estar dirigida a determinar algunas de las figuras geom�tricas realizando una tabulaci�n de los datos que poseemos, de cada una de ellas. Aqu� es importante, ya sea directamente o a trav�s de preguntas, que se indique la importancia que tiene el conocimiento de algunas de las magnitudes representadas para la determinaci�n de la cantidad necesaria de algunos de los materiales a utilizar en la construcci�n de la edificaci�n.

Otra actividad que puede desarrollarse es partir de la situaci�n de que el plano de la mesa en la que ellos escriben es distinto de los que aparecen en la edificaci�n representada y no pueden realizar las representaciones de las figuras en esos casos con la aplicaci�n de los movimientos y pueden realizarse utilizando el concepto de igualdad por superposici�n. En esta situaci�n, realizamos la siguiente descomposici�n gen�tica del concepto de igualdad de pol�gonos, que sirve de base para seleccionar y dise�ar ejercicios y problemas:

Para ello se recomienda, teniendo en cuenta la descomposici�n gen�tica indicada y los datos de la figura de partida, que el aseguramiento de las condiciones previas se lleve a cabo a partir de actividades como las siguientes:

Nota: el profesor tendr� las plantillas originales como medio de comparaci�n.

1. Dado el pent�gono ABCDE construya un pent�gono igual PQRST, utilizando los movimientos del plano. (Anexo 1)

2. Dado el pent�gono ABCDE construya un pent�gono igual PQRST, realizando las mediciones de lados y �ngulos. (Anexo 2)

3. Compare las v�as empleadas en cuanto a la exactitud lograda en la construcci�n utilizando las plantillas originales.

4. Busque un m�todo para construir el pol�gono PQRST con mayor exactitud.

En la primera actividad puede asociarse al contexto en que el pol�gono se construye en la misma hoja que el pol�gono dado, teniendo en cuenta que el movimiento se realiza en el mismo plano. De igual forma, en la segunda se asocia al contexto en que se puede construir el nuevo pol�gono en diferentes hojas, la idea de planos diferentes, realizando las mediciones y trazados de lados y �ngulos.

En el ejemplo dado se hace necesario medir los cinco lados y los cinco �ngulos del pent�gono ABCDE y construir los cinco lados y los cinco �ngulos del nuevo pent�gono (claro, se observar� que algunas mediciones ser�n innecesarias), esta construcci�n es realizable con los conocimientos que tiene el alumno. Se aconse�ja realizar la construcci�n del pent�gono PQRST teniendo en cuenta que se construya primero un lado, luego un �ngulo, y as� sucesi�vamente (al realizar esta construcci�n debe tenerse en cuenta el tiempo y la cantidad de operaciones que el alumno emplea).

En las actividades 3 y 4 se encuentran las condiciones para realizar la motivaci�n por la necesidad de perfeccionar un m�todo de soluci�n al problema planteado que conduce a orientar el objetivo de la actividad de aprendizaje a partir de la sistematizaci�n de los conocimientos y habilidades que intervienen en el proceso de soluci�n, tanto las precedentes como las que ser�n necesarias en el dise�o del m�todo que se busca para mejorar la exactitud en la construcci�n del nuevo pol�gono.

En este momento el alumno debe poder caracterizar en t�rminos de las operaciones de medici�n que intervienen en la reproducci�n, es decir, en la rotaci�n interviene solamente la medici�n de �ngulos, en la simetr�a axial la medici�n de segmentos, en la traslaci�n la medici�n de segmentos en dos funciones diferentes (para el trazado de paralelas y para la traslaci�n de los v�rtices), en la simetr�a central la medici�n de segmentos y en el caso de la igualdad es la medici�n de segmentos y �ngulos. Aqu� es conveniente realizar actividades escritas u orales para identificar los movimientos por las acciones de medici�n que intervienen, identificar figuras a trav�s de la descripci�n de las acciones para la construcci�n de modo que favorezca la formaci�n de procesos y objetos mentales teniendo en consideraci�n la estructura del conocimiento matem�tico. El trabajo en grupos peque�os es muy importante en este momento para enriquecer las acciones individuales.

En la actividad 4 aparece planteado al alumno el problema que, concretamente, va a resolver con el significado de lo que ya sabe hacer desde grados anteriores y, sobre esa base, la nueva meta que es encontrar la v�a de soluci�n, que es desconocida, que conducir� a la elaboraci�n del nuevo contenido.

Para el segundo momento did�ctico que se dirige a la b�squeda de la soluci�n que es la elaboraci�n del m�todo buscado y su ejercitaci�n se recomiendan actividades como las que se dar�n a continuaci�n.

Actividades dirigidas al perfeccionamiento del traslado de segmentos.

Una de las direcciones en que se perfecciona el traslado y reproducci�n de pol�gono es mejorar la precisi�n en la medici�n de segmentos, por lo que se considera necesario que el alumno sea consciente de c�mo es que realiza esas mediciones, cu�les imprecisiones ocasiona ese m�todo y plantearse un m�todo para resolver la dificultad. Una actividad que se puede proponerse al alumno para este fin se muestra a continuaci�n.

5. Sobre una hoja de papel se han dibujado varias circunferencias con el mismo radio, a partir de cada uno de los centros se han trazado rayos, indic�ndose con ciertas letras los puntos de intersecci�n con las circunferencias respectivas. (Ver anexo 3)

a) Compare las longitudes de los segmentos indicados. Explique a qu� se debe la coincidencia o la diferencia.

b) Explique un procedimiento que le permita reproducir la longitud de un segmento sin necesidad de realizar las mediciones con la regla graduada.

c) Este procedimiento de reproducir la longitud de un segmento a qu� forma de reproducci�n de un pol�gono perfeccionar�a.

Se le indicar� al alumno realizar la comprobaci�n de la deducci�n anterior en la reproducci�n de pol�gonos de distintas maneras. Se indicar�n con claridad las situaciones que aparecen sin resolver. Se realizar�n algunos ejercicios que involucren las acciones que integran la comparaci�n de segmentos. (Ver anexo 4)

Con esta comprensi�n pr�ctica se pueden construir un grupo de problemas donde los alumnos de un modo deductivo puedan establecer igualdades o diferencias en determinadas figuras. Adem�s, como el movimiento que se perfecciona es el de traslaci�n puede constituir la base para generar otro grupo de problemas donde de forma deductiva el alumno obtenga propiedades, determine longitudes y precise ubicaciones. El regreso a la figura original resulta un momento de especial inter�s ya que permite a los alumnos comprender la objetividad de la Matem�tica.

Actividades dirigidas a reconocer la importancia del tri�ngulo en la reproducci�n de pol�gonos.

Se podr�a continuar con alg�n tipo de ejercicio que destaque de alguna manera la importancia del estudio del tri�ngulo en el perfeccionamiento de la reproducci�n de pol�gonos un ejercicio podr�a ser el siguiente:

6. A continuaci�n se tienen un grupo de plantillas que representan a distintas figuras geom�tricas. Descomponer cada una de ellas en figuras que le sean conocidas partiendo de la uni�n de sus v�rtices. (Ver anexo5)

a) Indique, en los casos que se pueda, cu�ndo es posible realizar esa descomposici�n obteni�ndose una mayor cantidad de figuras mediante la uni�n de sus v�rtices.

Actividades dirigidas a determinar el n�mero de operaciones m�nimas para reproducir un tri�ngulo.

En este momento, se concentrar� la atenci�n en el estudio de la reproducci�n del tri�ngulo teniendo presente el concepto de igualdad. Se recomienda el siguiente ejercicio:

7. Se tiene una tabla que resume los datos tomados de modo aproximado de los elementos fundamentales de algunos tri�ngulos. ( Ver anexo 6)

a) Realice la construcci�n de cada grupo de ellos.

b) �De cu�ntas maneras puede hacerse la reproducci�n de cada tri�ngulo?

Esta situaci�n resulta preparatoria para la obtenci�n de los teoremas de igualdad de tri�ngulos, los que se formular�n inicialmente producto del proceso inductivo. Se dar� posteriormente una hoja de trabajo con distintos tri�ngulos representados para que ellos identifiquen los datos suficientes para su reproducci�n. Luego, con estos datos, se realizar�n las construcciones geom�tricas y se observar�n las imprecisiones que se conservan.

Actividades dirigidas a perfeccionar la reproducci�n de �ngulos.

Uno de los pasos constructivos que ocasiona dificultad a los alumnos es el referido al transporte de amplitudes de �ngulos que siempre est� asociado al uso del semic�rculo graduado. A trav�s de los teoremas de igualdad es posible buscar una v�a que perfeccione el traslado de �ngulos sin la utilizaci�n del semic�rculo graduado, de modo que las acciones s�lo dependen de las caracter�sticas del comp�s.

8. Sobre una hoja de papel se ha trazado una circunferencia cuyo centro se encuentra en el punto O. A partir de este punto se han trazado dos rayos indic�ndose los puntos de intersecci�n con la circunferencia. A ambos rayos se les ha aplicado una misma rotaci�n con centro en O. (Ver anexo 7)

a) Compare el �ngulo inicial con el �ngulo final.

b) �C�mo son las distancias entre los puntos de intersecci�n de los rayos y los puntos resultantes de la rotaci�n aplicada?.

c) �Qu� procedimiento para el traslado de �ngulos con mayor exactitud se puede deducir de las observaciones?

d) �A qu� tipo de reproducci�n de pol�gonos beneficiar�a este procedimiento?

Actividades dirigidas a perfeccionar la reproducci�n de pol�gonos.

Se propone, en este caso, un ejercicio donde se comprueba concretamente el aporte de los resultados de las actividades anteriores a la reproducci�n de pol�gonos.

9. Construya un tri�ngulo igual al tri�ngulo ABC.

10. �Con cu�les datos es suficiente la construcci�n del tri�ngulo?

11. Descomponga el pent�gono ABCDE en tri�ngulos y construya nuevamente el pent�gono PQRST.

En este momento se realizar�n ejercicios sobre la comparaci�n de �ngulos, suma de �ngulos y operaciones con �ngulos. (Ver anexo 8)

Las imprecisiones que se producen en la construcci�n de un pol��gono (por el uso de instrumentos de medici�n) y la necesidad de disminuir o racionalizar el procedimiento constructivo son los problemas que el alumno debe comprender y cuya soluci�n tiene como base el estudio de la igualdad de tri�ngulos, que es el n�cleo a partir del cual se reestructura todo el sistema de conocimientos y habilidades de la Geometr�a Plana que tiene el alumno (en el 7. Grado seg�n el programa vigente). Estas imprecisiones y el proceso de su soluci�n pueden atenderse de manera global con el siguiente ejercicio:

12. Se da un sistema de plantillas que representan a distintas figuras geom�tricas.(Ver anexo 9)

a) En una hoja de papel represente a cada una de ellas y describa la secuencia de pasos seguidos en funci�n de los elementos fundamentales (lados y �ngulos) de las figuras que se han ido dibujando.

b) Teniendo en cuenta las representaciones de las distintas figuras conforme una tabla con las mediciones aproximadas de sus elementos fundamentales.

c) Con los datos tomados de forma aproximada en otra hoja de papel realice la representaci�n del sistema de datos y comp�relo con el original. Explique las causas de las diferencias.

d) Realice ahora el proceso de reproducci�n aplicando los elementos que lo perfeccionan. Comp�relos.

El profesor mostrar� con la plantilla demostrativa (pent�gono) c�mo descomponer el pol�gono dado en otros pol�gonos, siendo m�s conveniente destacar lo ventajoso que resulta descomponerlo en tri�ngulos, aunque el alumno debe comprender que cualquiera sea la descomposici�n (en un tri�ngulo y un cuadril�tero o en tres tri�ngulos) se conserva la misma superficie lo que permite introducir el concepto de superficies equivalentes. En este proceder es conveniente que el alumno sea capaz de reproducirlo en diversas situaciones.

Al reducir el problema a la construcci�n de tri�ngulos, se debe explicar c�mo el n�mero de acciones se simplifica significativamente, es decir, si en la primera construcci�n realiz� seis mediciones y seis pasos de construcci�n sobre esta base se realizan con tres, debe observar tambi�n que las operaciones a realizar para construir cualquier otro pol�gono tambi�n se simplifica.

La acci�n de descomponer un pol�gono en otros de menor n�mero de lados est� muy ligada a la acci�n de reconstruir el pol�gono inicial como un todo sin perder la noci�n de cada una de las partes en que se ha subdividido y la posici�n que cada una ocupa.

Actividades dirigidas a que el alumno construya el concepto de �rea de un pol�gono.

En primer lugar veamos una propuesta de descomposici�n gen�tica del concepto de �rea de un pol�gono:

En este momento debe introducirse poco a poco el concepto de �rea de un pol�gono de la siguiente forma con el siguiente ejercicio:

13. Sobre una hoja papel se ha dibujado un grupo figuras geom�tricas. De cada una se te ha dado una plantilla transparente. Se�ala en los casos que puedas cu�les son mayores por pares. (Ver anexo 10)

a) Explica, en los casos en que te sea posible, qu� procedimiento empleaste para realizar la comparaci�n.

b) �En cu�les casos piensas que fue m�s sencillo el proceso de comparaci�n?.

c) �Es posible utilizar el concepto de per�metro para decir si una figura es m�s grande que la otra?.

En el siguiente ejercicio se har� �nfasis en que la comparaci�n de dos superficies es m�s f�cil o resulta realizable en el caso de que las figuras a comparar sean rect�ngulos.

14. Sobre varios rect�ngulos se han tomado, de modo aproximado, las siguientes mediciones. (Ver anexo 11)

a) Determina el n�mero de cuadraditos de 1 mm de longitud de los lados que contienen cada uno de ellos.

b) �Cu�l es el mayor y cu�l es menor?.

El siguiente ejercicio tiene como objetivo lograr que comprenda que en el caso del tri�ngulo rect�ngulo es posible dar aproximadamente la cantidad de cuadraditos de 1 mm de lado.

15. Sobre una hoja de papel se han dibujado una serie de rect�ngulos los cuales tienen una parte sombreada. Diga en los casos que sea posible, de forma aproximada, el n�mero de cuadraditos de 1mm de longitud de lado que contienen dichas partes. (Ver anexo 12)

Ahora se introducir� el proceso de rectangularizaci�n de un pol�gono con el siguiente ejercicio:

16. Se dan plantillas de distintos tipos de tri�ngulos para traten de descomponer cada uno de ellos en tri�ngulos rect�ngulos. (Ver anexo 13)

17. Se tiene un grupo plantillas de figuras geom�tricas, haciendo su representaci�n en una hoja de papel, pruebe si es posible descomponerlas en tri�ngulos rect�ngulos. (Ver anexo 14)

a) Determine el n�mero aproximado de cuadraditos, de 1mm de longitud de sus lados, que posee cada pol�gono.

Con este ejercicio se completa el tratamiento metodol�gico del concepto de �rea que conlleva a la definici�n del concepto de altura. Al igual que en otros instantes deben proponerse ejercicios escritos u orales que permitan que el alumno trate de identificar el sistema de acciones que componen la rectangularizaci�n de un pol�gono a trav�s de la descripci�n de dichas acciones, de este modo se favorece la formaci�n de procesos y objetos mentales. Despu�s es posible confeccionar problemas que sus soluciones est�n impregnadas, en lo fundamental, de un enfoque deductivo.

Actividades dirigidas a la deducci�n de las propiedades de algunos cuadril�teros

En este momento se estudia el tri�ngulo comenzando con el estudio de algunos tipos de cuadril�teros que se obtienen de combinar dos tri�ngulos iguales. As� se puede proponer el siguiente ejercicio:

18. Se tiene un grupo de plantillas que representan diferentes tri�ngulos iguales o congruentes por pares. Se quiere que con cada par se formen todas las figuras posibles haciendo coincidir sus lados hom�logos. (Ver anexo 15)

a) Describa el tipo de figura que se forman atendiendo al n�mero de lados.

b) Describa las caracter�sticas generales de las figuras.

c) Con cada figura confeccione una tabla que indique los datos fundamentales de cada una de las figuras.

d) Reconstruye las figuras originales a partir de los datos tomados. Comp�relas con las plantillas originales.

Este problema permitir� caracterizar distintos tipos de cuadril�teros tales como el rect�ngulo, el cuadrado, el paralelogramo, el rombo, las propiedades de sus diagonales etc. Tambi�n se preparan las condiciones de los conceptos de mediana, bisectriz y mediatriz.

En el tercer momento did�ctico, que tiene como finalidad que el alumno aplique el sistema de conocimientos y habilidades formados a resolver problemas, se recomiendan problemas y ejercicios donde predomine el enfoque deductivo e intervengan las propiedades generales de los movimientos.