APÊNDICE F. Processos de Vectores Autoregressivos (VAR)

F1. Características dos Processos de Vectores Autoregressivos

Na análise conjunta das várias séries temporais do presente estudo fizemos uma aplicação de um modelo de vectores autoregressivos. Neste tipo de modelos, parte-se de um conjunto de k séries temporais relacionadas entre si de que queremos estudar as inter-relações ao longo do tempo. Assim, podemos definir o vector de séries temporais, onde é um vector . Por exemplo, poderíamos desejar analisar as inter-relações entre as rendibilidades do mercado de Portugal (PORT) e as rendibilidades do mercado de Espanha (ESP). Neste caso bivariado então.

O conceito de ruído desempenha importante papel nos processos de vectores com séries temporais. O vector tem um processo de ruído que satisfaz as seguintes condições:

(1a)

(1b)

, (1c)

Assim, cada elemento de tem média zero (1a) enquanto que a matriz de variâncias e covariâncias de é constante ao longo do tempo (1b). Tal como qualquer matriz de covariâncias, é simétrica e semi-definida positiva. Na prática assume-se que é definida positiva. A equação (1c) implica que os elementos de apresentam autocovariâncias e covariâncias nulas ao longo do tempo.

Um processo autoregressivo multivariado de ordem P ou VAR(P) é definido da seguinte forma:

(2)

onde é um vector de ruído que satisfaz as propriedades (1a), (1b) e (1c). Utilizando a notação de desfasamentos, este processo pode também ser descrito da seguinte forma:

onde é a matriz polinomial k*k

.

O caso mais simples de um processo VAR(1) com k=2 variáveis com pode ser descrito por ou seja:

com

.

A matriz dos coeficientes do polinómio autoregressivo é dada, neste caso, por

.

É de notar que o processo (2) trata as k variáveis da mesma forma pelo que não existe a distinção entre variáveis endógenas e variáveis exógenas. O processo VAR centra-se nas inter-relações dinâmicas entre as variáveis do sistema. Qualquer correlação contemporânea entre as variáveis é tida em conta nos termos que não se encontram na diagonal da matriz de covariâncias das perturbações .

F2. Interpretação dos Vectores Autoregressivos (VAR)

Os coeficientes individuais dos VAR(P) são, na prática, muito difíceis de interpretar. Um dos problemas decorre do facto de estarem envolvidos muitos coeficientes. Por exemplo, num sistema relativamente simples de ordem com variáveis cada uma das equações de VAR implica o cálculo de 3*4=12 coeficientes mais o termo independente totalizando portanto 3*13=39 coeficientes num sistema de 3 equações. Com 6 variáveis e , o número total de coeficientes subiria para 6*(6*4+1)=150.

Para além disso, as inter-relações dinâmicas entre as variáveis captadas pelos coeficientes dos VAR podem ser complexas. Se se considerar um processo VAR(1) com três variáveis como as rendibilidades dos mercados de Portugal (PORT), Espanha (ESP) e Grécia (GREC), de tal forma que , as equações serão as seguintes:

(3)

Se se estiver interessado, por exemplo, em estudar os efeitos da rendibilidade do mercado de Espanha na rendibilidade futura do mercado de Portugal, deve-se notar que a influência directa exercida é dada por . No entanto, existe um efeito indirecto que é dado através do mercado da Grécia uma vez que influencia e surge na equação em que é a variável endógena. Além disso, tanto o mercado de Portugal como o mercado da Grécia surgem na equação de Espanha pelo que actua um efeito de feedback através da própria variável .

A análise de processos VAR centra-se geralmente no efeito total da variação numa determinada variável. Num sistema como o descrito em (3) qualquer coeficiente individual capta apenas uma parte do efeito relevante: nomeadamente, capta o efeito de um único valor desfasado de uma variável específica noutra variável mantendo constantes as restantes variáveis. Este efeito parcial não é particularmente interessante e proporciona pouca informação relevante em termos do efeito global que se pretende analisar. Estas dificuldades na interpretação do VAR têm feito com que poucas tentativas tenham sido realizadas no sentido de se interpretar os próprios coeficientes. Em vez disso, têm sido utilizadas as funções de resposta a inovações para evidenciar as implicações dos processos VAR.

F3. Funções de Resposta a Impulsos

As funções de resposta a impulsos mostram de que forma as variáveis endógenas reagem ao longo do tempo a um choque num só momento do tempo num dos termos de perturbação. Dado que as perturbações podem estar correlacionadas em termos contemporâneos, estas funções explicam de que forma uma variável reage a um aumento na inovação de outra variável ao longo de vários períodos de tempo considerando tudo o resto constante. Para obter a descrição deste efeito através de funções de resposta a impulsos que possam ser interpretáveis, estas devem ter em consideração a matriz de covariâncias das perturbações . Se se admitir que e que com , não se tem em conta que é, geralmente, não nulo. A consequência desta covariância não nula é de que o conhecimento de que proporciona informação relevante acerca de , mas a função de resposta a impulsos assume implicitamente que um termo de perturbação varia sem que se produza uma variação correspondente noutro termo de variação.

A solução frequentemente adoptada consiste na ordenação das variáveis do VAR em ordem a transformar as perturbações num conjunto de perturbações que são mutuamente ortogonais (ou não correlacionadas) de tal forma que , com . Este procedimento é levado a cabo definindo o vector através de

em que é o matriz não estocástica triangular inferior de dimensão com valores de unidade na diagonal principal e sendo uma matriz diagonal. Este procedimento é conhecido como a decomposição de Cholesky de uma matriz. Por motivo desta ortogonalidade mútua no momento t, nenhuma perturbação proporciona qualquer informação acerca do valor de outro termo de perturbação. A função de resposta a impulsos ortogonalizada para o efeito de um choque de em é dada então por

,

Na prática, esta expressão é frequentemente calculada com o choque com frequentemente definido como igual ao desvio-padrão estimado de e com , dado que os termos u são ortogonais.

Para compreender como esta ortagonalização é levada a cabo, considere-se um processo VAR com k=3 variáveis. Assim, uma vez que é uma matriz triangular inferior com a unidade como elementos na diagonal principal, segue-se que:

Da primeira equação pode-se retirar de imediato. Na segunda equação, é obtido de forma a que pelo que é a parte de que não pode ser prevista a partir de . Isto garante que seja ortogonal relativamente a . De forma similar, na terceira equação os coeficientes e são calculados de forma a que . Por conseguinte, é a parte de que não pode ser prevista nem a partir de nem a partir de o que garante que é ortogonal relativamente a e a .

F4. Decomposição da Variância

Num modelo de vectores autoregressivos, a decomposição da variância num horizonte temporal n é o conjunto de valores do coeficiente de determinação associados à variável dependente e cada um dos choques ocorridos n períodos antes.

O erro de previsão para o período n é dado por

.

As proporções de atribuíveis a choques nas sequências de e de são dadas por

e

.

A decomposição da variância do erro de previsão indica a proporção dos movimentos de uma sequência que podem ser atribuíveis aos próprios choques por oposição aos choques atribuíveis a outra variável. Assim, se os choques não permitirem explicar nenhuma parte da variância dos erros de previsão de em todos os horizontes de previsão pode-se a