4.5.2. Modelos de estimación probit y logit

Para someter a una valoración econométrica el fenómeno de la migración de los municipios de Nayarit, primeramente se describe el método de estimación más apropiado de acuerdo a la información disponible. En esta investigación se utilizaron modelos de elección discreta, cuya característica es que la variable dependiente es dicotómica.

De acuerdo con Madala (1996), los modelos de elección binaria asumen que los individuos se enfrentan con una elección entre dos alternativas y la elección depende de características identificables. Estos modelos son alternativos de estimación de los modelos de probabilidad lineal. Un modelo de elección discreta parte de la siguiente especificación:

(4.15)

donde yi* es variable “latente”, que se representa a través de una variable indicadora yi, definida como:

(4.16)

Las yi no son observadas, en su lugar se tiene información para cada observación sobre si se seleccionó la primera o segunda opción. La variable dependiente medida es yi = 1 si se hace la primera elección y cero si se hace la segunda. Los modelos probit y logit suponen la existencia de una variable latente subyacente para la que se observa una evidencia dicotómica, sin embargo difieren en su especificación.

En este orden de ideas Madala (1996) y Pindyck y Rubinfeld (2001), argumentan que dichos modelos se refieren a decisiones que involucran “deseo” y “capacidad.” Consecuentemente, un modelo como el expresado contendrá variables explicativas de ambos elementos o atributos. Previamente, a partir de la expresión (4.16), se observa que al multiplicar yi* por cualquier constante positiva, yi no se modifica. Por tanto, si observamos yi podremos estimar las β de (4.15) y múltiplos positivos, suponiendo que var(ui) = 1. Esto fija la escala de yi*. Con base en los modelos 4.15 y 4.16, Pi se define como:

(4.17)

donde F es una función de distribución acumulada de u. Si la distribución de u es simétrica, 1-F (-Z) = F (Z), es posible escribir

(4.18)

Puesto que las yi observadas son sólo realizaciones de un proceso binomial cuyas probabilidades están dadas por (4.18) y que varían de un ensayo a otro (dependiendo de Xij) y usando Π para representar el producto de varios factores, es posible escribir la función de verosimilitud como:

(4.19)

Ahora, al definir 1 - Pi se tiene:

(4.20)

Ahora bien, la forma funcional para F en (4.18) dependerá de la suposición en torno al término de error u. Si la distribución acumulada de ui es logística, se tiene el llamado modelo logit. En este caso, la función está dada por la expresión:

(4.21)

Por lo tanto:

(4.22)

El primer miembro de esta última ecuación se conoce como razón logarítmica de momios. Así, la razón logarítmica de momios es una función lineal de las variables explicativas. Para el modelo de probabilidad lineal se supone Pi como función lineal de las variables explicativas. Por otra parte, si los errores ui de la expresión (4.15) siguen una distribución normal, se tiene un modelo probit (al que sería más apropiado llamar modelo normit, pero la palabra probit se utiliza en la literatura biométrica). En este caso, la función de densidad acumulada estándar normal en que está basada el modelo probit se definida como:

(4.23)

Dado que la distribución normal y la logística acumulada están muy próximas entre sí, excepto en los extremos, no es probable obtener resultados muy diferentes si se aplica (4.21) o (4.23). Es decir, el método logit o probit, a menos que las muestras sean grandes. Desde la perspectiva teórica, la diferencia entre los modelos probit y logit, es como se muestra en la gráfica 4.1. La principal diferencia es que el logit tiene colas ligeramente más planas.

Después de examinar los parámetros α y β, de la expresión 4.15 sería conveniente conocer los efectos de los cambios en las variables explicativas sobre las probabilidades de que cualquier observación pertenezca a uno de los dos grupos. Estos efectos son proporcionados por:

Donde (4.25)

y Φ (•) es la función de densidad normal estándar.

Gráfica 4.1. Modelos probit y logit a

a: Las formulaciones logit y probit son bastante comparables, siendo la principal diferencia que la logit tiene colas ligeramente más planas, es decir la curva normal o probit se acerca a los ejes más rápidamente que la curva logit. Por consiguiente, la selección de uno de los dos es de conveniencia matemática.

Fuente: Elaboración propia con base en Gujarati (2005).

Cabe agregar que el uso de medidas convencionales del tipo R2 representa un problema cuando la variable explicada adopta sólo dos valores. Los valores predichos son probabilidades y sus valores reales, y, son 0 o 1. Para los modelos de probabilidad lineal y logit, se tiene que Σ y = Σ , al igual que en el modelo de regresión lineal, si también se estima un término constante. Para el modelo probit no existe una relación tan exacta, si bien es válida en términos aproximados.

Se han sugerido varias medidas del tipo R2 para los modelos con variables dependientes cualitativas. Las siguientes son algunas de ellas:

1. R2 = correlación entre y e .

2. Medidas basadas en la suma de cuadrados residual. Para el modelo de regresión lineal, se tiene:

(4.26)

Se puede utilizar esta misma medida si se usa como medida de la suma residual.

Effron (1978), sugiere la medida R2 en el caso de una variable dependiente binaria en los términos siguientes:

(4.27)

3. Otra medida es la R2 de McFadden (1974), quien la define como

R2 = 1 – (log LUR / log LR ) (4.28)

Donde LUR = el máximo de la función de verosimilitud cuando se maximiza con respecto a todos los parámetros y; LR el máximo cuando se hace con la restricción βi = 0 (para i = 1,.., k).

Sin embargo, esta medida no corresponde a alguna medida R2 del modelo de regresión lineal.