4.5.1. Método de máxima verosimilitud

De acuerdo con Gujarati (2001), un método de estimación puntual, con algunas propiedades teóricamente más fuertes que las del método de mínimos cuadrados ordinarios, es el método de Máxima Verosimilitud (MV), también conocido como método de “razón de varianza mínima.” La estimación por el método de MV permite calcular coeficientes factoriales que tienen máxima verosimilitud de reproducir la matriz de correlaciones observada (si la muestra procede de una población normal multivariante). Pindyck y Rubinfeld (2001), modelan la técnica de máxima verosimilitud a partir de la estimación de los parámetros del modelo logit:

(4.8)

Las Pi individuales no son observables; en su lugar se tiene información sobre si se seleccionó la primera o la segunda opción. La variable dependiente medida es Yi = 1 si se hace la primera elección o igual a cero si se hace la segunda.

Como el objetivo es encontrar estimadores de parámetros para α y β que hagan más probable que las elecciones en la muestra hubieran ocurrido, se asume que la primera alternativa es elegir n1 veces y la segunda es elegir n2 veces (n1 + n2 = N). Y si se ordenan los datos de modo que las primeras n1 observadas estén asociadas con la primera alternativa, la función de verosimilitud (L) tiene la forma

L = Prob (Y1,…, YN) = Prob (Y1),…, Prob (YN) (4.9)

Ahora, si se tiene en cuenta el hecho de que la probabilidad de elegir la segunda alternativa es igual a 1 menos la probabilidad de que se elija la primera y utilizamos el símbolo Π para representar el producto de varios factores, la función de verosimilitud se reduce a:

(4.10)

La última expresión resulta porque Yi = 1 para las primeras n1 observaciones y 0 para las últimas n2, observaciones.

A partir de aquí, se maximiza el logaritmo de L sustituyéndolo en la función de probabilidad logística de la ecuación (4.8). Sin embargo, debe considerarse primero que:

(4.11)

Entonces:

(4.12)

Para obtener los estimadores y diferenciamos log L (logaritmo de MV) con respecto a α y β, luego hacemos los resultados igual a cero y resolvemos:

(4.13)

El procedimiento de estimación de máxima verosimilitud tiene varias propiedades estadísticas deseables. Todos los estimadores de los parámetros son consistentes y eficientes (asintóticamente normales), de modo que puede aplicarse el análogo de la prueba t de regresión. Si se desea probar la significancia de todos, o un subconjunto de los coeficientes en el modelo logit o en el modelo probit cuando se usa máxima verosimilitud, entonces puede aplicarse la prueba de razón de verosimilitud.

Para obtener una medida de la bondad de ajuste análoga a R2, son posibles varias opciones. Una es calcular 1 – L0/Lmáx, donde L0 es el valor inicial de la función de verosimilitud y Lmáx es el valor más alto. Una segunda opción es calcular los residuos Todos estos residuales serán positivos para aquellos que hagan la primera elección y negativos en cualquier otro caso, al igual que de manera correspondiente serán más pequeños en valor absoluto conforme el modelo explique cada vez mejor las elecciones que se hacen. A partir de estos residuales es fácil calcular un análogo de R2. Se tiene que:

(4.14)

Donde ESS = suma de residuos al cuadrados del error (variación residual de Y); TSS = Suma de cuadrados del total (variación total de Y).