6.3 El modelo binomial

La aplicación del modelo binomial propuesto por Cox-Ross-Rubinstein (1979), parte del valor del activo subyacente en el momento presente (S) y considera su evolución en un periodo de la forma siguiente:

Donde:

u: representa el coeficiente al alza de precios del subyacente en un periodo, con una probabilidad asociada p.

d: representa el coeficiente a la baja del precio del activo subyacente en un periodo, con una probabilidad asociada de (1 – p).

Llevar a cabo una inversión siempre comporta riesgos con lo que el rendimiento esperado puede ser superior a la rentabilidad de los activos libres de riesgo (Rf) o no. Por tanto, si tomamos , se debe verificar que , pues si siempre sería mejor hacer la inversión. Por el contrario, si siempre sería mejor invertir en el activo libre de riesgos y, en consecuencia, no efectuaríamos la inversión.

Si suponemos que tenemos una opción europea con vencimiento a un periodo y con un precio de ejercicio X, los valores al vencimiento de la opción podrán ser:

(6.2)

Siguiendo a Lamothe (2004), el valor de la opción de compra viene dado del siguiente modo:

En este mercado, es posible replicar lo que sucederá dentro de un periodo comprando H activos que proporcione la misma remuneración que la opción real en la fecha de vencimiento. El valor tendrá la siguiente evolución:

El valor H (ratio de cobertura) para el que la réplica al final del periodo es único es:

(6.3)

La inversión es realizada siempre que el valor resulte neutral frente al riesgo. Por tanto, la rentabilidad mínima del periodo que proporcionará será la del activo sin riesgo. Así, la cartera debe cumplir la siguiente igualdad:

(6.4)

Operando con las ecuaciones (6.3) y (6.4) obtenemos:

(6.5)

Podemos de igual modo comprobar que una opción se puede replicar perfectamente con una posición en el activo subyacente y en el activo libre de riesgo.

La evolución de la “cartera de réplica” sería:

Para que (HS – B) sea equivalente a C, se debe elegir H y B de tal modo que:

(6.6)

Como indica Augros y Navette (1987) la evolución de una opción de compra en el universo de un periodo por el método binomial arroja algunas conclusiones interesantes:

1. La probabilidad p no interviene en la fórmula de valoración de la opción.

2. El valor de C, no depende del riesgo del mercado, sino del carácter aleatorio de la evolución de los precios del subyacente.

3. El valor de C, no depende de la actitud de los inversores ante el riesgo ya que no incluye ningún parámetro que se asocie con este factor.

Bajo estas hipótesis, si el inversor es neutro al riesgo, el rendimiento esperado de la acción debe ser igual a la tasa de rentabilidad del activo libre de riesgo.

(6.7)

Donde:

(6.8)

El valor de la opción para n periodos lo podemos hacer mediante un proceso recursivo calculando primero los valores intrínsecos de la opción al final de los n periodos y proceder de forma recursiva en cada nudo del árbol, mediante la expresión :

(6.9)

Donde:

son la probabilidad y el factor de actualización para un activo libre de riesgo.

Ct-1 = valor de la opción en un nudo t-1.

Ctu = valor de la opción en t, cuando el precio del subyacente se multiplica por u. de t-1 a t.

Ctd = valor de la opción en t, cuando el precio del subyacente se multiplica por d, de t-1 a t.