Elaine Duharte Despaigne (CV)
Profesor Auxiliar
elaine@ucp.sc.rimed.cu

Se aborda la dirección del proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos en la educación básica, presentando como componentes la planificación, la ejecución y el control. Teniendo en cuenta las acciones invariantes de la habilidad interpretar, las exigencias geométricas, los momentos por los que transcurre el proceso de interpretación en la resolución de problemas geométrico y la forma de evaluar el desarrollo de la habilidad; presentando como eje conductor la atribución de significados.

Palabras claves: habilidad, interpretar, problemas geométricos, significados

Abstract.

It addresses the management of the development process of interpreting skills in solving geometric problems in basic education, showing how components of planning, execution and control. Given the invariant measures of the ability to interpret the geometric requirements, the moments that takes the process of interpretation in geometric problem solving and how to evaluate the development of skill, drive shaft presenting as the attribution of meaning.

Keywords: skill, interpretation, geometry problems, meanings

Introducción

Son diversas las investigaciones pedagógicas que abordan el problema de la formación y desarrollo de las habilidades como componente esencial del contenido de enseñanza; en las mismas se investiga sobre las estrategias más eficientes para formarlas y desarrollarlas y, cuándo considerar que están en el nivel de desarrollo deseado.

El proceso de formación y desarrollo de las habilidades está asociada a la interpretación consciente de los contenidos de enseñanza y a la formación integral de la personalidad, que deviene en el desarrollo de las capacidades del individuo.

En el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática es una preocupación el desarrollo de las habilidades básicas y generales que les permiten a los estudiantes poder operar con los contenidos matemáticos y resolver problemas.

Según criterios de los doctores Campistrous y Rizo (1998) la capacitación del hombre para la resolución de problemas se considera una actividad de gran importancia en la enseñanza pues caracteriza a una de las conductas más inteligentes del hombre y que más utilidad práctica tiene ya que la vida misma obliga a resolver problemas continuamente.

En la resolución de problemas, se considera que la habilidad interpretar es una de las más importantes que intervienen en este proceso, ya que permite establecer el sistema de relaciones entre los objetos matemáticos que intervienen en el mismo.

En el proceso de enseñanza de la matemática que se lleva acabo en el Sistema Educacional Cubano, el estudio de los contenidos geométricos, está presente en todos los niveles de enseñanza, y en la resolución de problemas de esta naturaleza, los estudiantes del nivel medio presentan insuficiencias y una de las causas es la incorrecta interpretación que realizan.

El presente trabajo propone un modelo didáctico donde se revelan elementos teóricos importantes que su estudio y aplicación posibilitan que el desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos alcance niveles óptimos.

DESARROLLO

El proceso de resolución de problemas ha sido un tema de preocupación de diversos investigadores, los que han propuesto pasos y estrategias para guiar a los resolutores en la resolución de problemas, entre ellos se pueden citar Polya (1975), Bell (1978), los trabajos de Polya fueron los más difundidos y los que más se aplicaron.

Pero los aportes de Polya (1975) fueron revolucionados por Schoenfeld (1985), el mismo consideró cuatro dimensiones para la resolución de problemas, expresadas de la siguiente forma:

• Dominio del conocimiento o recursos: Representa un inventario de lo que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento. Aquí incluye, entre otras cosas, los conocimientos informales e intuitivos de la disciplina en cuestión, hechos y definiciones, los procedimientos rutinarios, y otros recursos útiles para la solución.

• Los métodos heurísticos: En esta dimensión se ubican las estrategias generales que pueden ser útiles en la resolución de un problema, como, por ejemplo, las aisladas por G. Polya.

• Las estrategias metacognitivas o de monitoreo o autoevaluación del proceso utilizado al resolver un problema.

• El sistema de creencias en la cual se ubica la concepción que tenga el individuo acerca de las matemáticas. Las creencias establecen el contexto dentro del cual funcionan las restantes tres dimensiones.

Este autor, tiene en consideración un aspecto muy importante, el sistema de creencias del individuo que a juicio de esta autora es un factor que interviene de manera decisiva en el proceso de interpretación de problemas, ya que un sujeto interpreta cualquier situación independientemente de su naturaleza según su sistema de creencias en correspondencia con dicha situación.

Al realizar un análisis de la categoría problema, se pudo constatar que existen diversos criterios acerca de su concepto, donde cada autor a expresado desde su punto de vista las características que debe tener una situación para que constituya un problema; en este sentido Labarrere (1987) plantea “problema es determinada situación en la que existen nexos, relaciones de y entre los objetos que no son accesibles directa o inmediatamente a la persona. Un problema es toda situación en la que hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar”2

El sujeto que resuelve el problema se esfuerza en hallar la solución teniendo en cuenta su sistema de creencias, en las que intervienen los conocimientos, recursos, procedimientos, métodos heurísticos y estrategias metacognitivas construidas en el proceso de aprendizaje.

De las áreas en las que se divide la Matemática para su estudio (álgebra, aritmética, geometría) la geometría es la que ofrece mayores dificultades tanto a profesores como estudiantes en todos los niveles de enseñanza, esto se evidencia en los resultados de las comprobaciones efectuadas con el objetivo de determinar las causas de esta problemática, de las pruebas aplicadas por el SECE y las pruebas de ingreso a la enseñanza superior donde los por cientos de aprobados más bajos le corresponden a las preguntas relacionadas con los contenidos geométricos.

Al realizar un análisis de las posibles causas que dan origen a esta problemática, se pudo constatar que una de las insuficiencias radica en la interpretación que se realiza de los problemas geométricos, que tiene su base en la deficiente dirección del desarrollo de la habilidad interpretar en los problemas geométricos.

La habilidad interpretar forma parte del sistema básico de habilidades matemática. Delgado (1991), y según Ferrer ( 2000 ) “ La habilidad matemática es la construcción por el alumno, del modo de actuación inherente a una determinada actividad matemática, que permite buscar o utilizar conceptos, propiedades, relaciones, procedimientos matemáticos, utilizar estrategias de trabajo, realizar razonamientos, juicios que son necesarios para resolver problemas matemáticos.

En este sentido al realizar un análisis de algunas definiciones de la interpretación en el plano matemático como proceso, se pueden citar la que ofrece Hernández (1997 ), quien la define “ como la atribución de significados a las expresiones matemáticas de modo que estas adquieran sentido en función del propio objeto matemático o en función del fenómeno o problemática real de que se trate.

La doctora Montenegro (1999 ) plantea que “ la interpretación de un problema significa atribuir significado a las condiciones iniciales del problema, de modo que todas las expresiones lógicas estructuradas en él adquieran sentido, lo cual encierra distinguir los elementos primarios que intervienen en el enunciado y las relaciones lógicas que se dan entre ellas.

Al analizar las definiciones planteadas se infiere como regularidad esencial que la interpretación es la atribución de significados, y que es una operación compleja en la que intervienen diversos factores y condiciones, tales como, los conocimientos, las creencias, condiciones sociales y nivel cultural alcanzado.

Según Del Toro (2000) los significados son construcciones conscientes del sujeto de aprendizaje, que se originan en las estructuras mentales y se promueven en el proceso interactivo entre el maestro, el escolar y su grupo.

No sólo se promueven en el proceso de interacción entre el maestro, el escolar y su grupo, también en todas las demás relaciones sociales que se establecen entre los sujetos, ya que, el significado no es una cosa, un algo, sino un resultado para nosotros. Nada tiene significado en sí mismo, sino el significado se deriva de la experiencia y de un determinado ser en un medio determinado Muñoz (2010).

El modelo didáctico que se presenta revela los aspectos a tener en cuenta para dirigir el proceso de desarrollo de la habilidad en la resolución de problemas geométricos; en este sentido se declara como sistema la dirección del proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos, cuyos componentes son: la planificación, la ejecución y el control que tiene como producto que los estudiantes resuelvan problemas geométricos en la diversidad de contextos en que presentan los objetos geométricos a partir del reconocimiento de su significado.

De acuerdo con la naturaleza del sistema que se presenta, se asume que es abierto, puesto que en la dirección del proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos, influyen factores internos determinados por las condiciones de cada individuo y externos dados por el medio, las condiciones de aprendizaje y la labor del profesor; otra de las cualidades del sistema, es la flexibilidad que posibilita su adaptación a las condiciones que ofrece el contexto, atemperado por las exigencias del momento.

Cada uno de estos componentes por su carácter específico puede estudiarse independientemente, aunque por su naturaleza, están estrechamente interrelacionadas y se compenetran entre si, por lo que la dirección del proceso es única e integral y la delimitación de cada uno de los componentes se realiza con la intención de alcanzar un nivel adecuado de efectividad en la práctica, mediante la aplicación de métodos y procedimientos que se correspondan con los objetivos que se desean alcanzar.

Este proceso de dirección no es estático y mantiene una dinámica donde cada individuo vive el proceso de desarrollo en circunstancias únicas, atendiendo a sus características personales.

La planificación es el componente que permite proyectar el desarrollo del proceso, por lo que implica la precisión de los objetivos, el contenido, el sistema de tareas a desarrollar, los problemas, los métodos y medios de enseñanza.

Al entender la atribución de significado como un rasgo esencial de la interpretación, se declara como eje conductor del modelo la atribución de significados a los objetos geométricos.

Considerando la lógica de la formación y desarrollo de las habilidades, se debe tener conocimiento de las acciones invariantes de la habilidad interpretar en función del objeto que se analiza, en este sentido se asumen las acciones invariantes que ofrece Márquez ( 1993 ), a la que, a consideración de esta autora se le agrega la acción reconocer, estas se identifican de la siguiente forma:

Reconocer: Observar, alcanzar la representación mental, analizar, reflexionar, sintetizar.

La ejecución de esta acción presupone, el reconocimiento de los objetos geométricos que se declaran en el texto del problema y de los que emergen a partir del sistema de relaciones que se establece.

Analizar: Determinar criterios para el análisis, descomponer en elementos y rasgos que caracterizan al objeto de análisis.

La ejecución de esta acción presupone, la selección de los criterios que fundamentan el análisis de la situación planteada, atendiendo a los elementos teóricos que se declaran en el texto del problema y, a los que se presentan de manera implícita, sobre la base del sistema de relaciones que se establece entre los elementos dados y los buscados.

Reflexionar: Analizar, valorar abstraer, generalizar.

El sentido de la reflexión como una acción cognoscitiva peculiar, consiste en la especificación por el hombre, de sus conocimientos en el esclarecimiento y en la determinación acerca de cómo han sido unos u otros conocimientos y representaciones.

En el contexto de la resolución de problemas geométricos se ha de reflexionar acerca de las representaciones mentales de los objetos geométricos declarados en el texto del problema y de los que emergen del sistema de relaciones que se establece.

Explicar: Determinar los criterios desde el punto de vista de los contenidos geométricos (conceptos, teoremas, propiedades, procedimientos), dar repuesta oral o escrita.

Explicar en el contexto de la resolución de problemas geométricos, implica que a partir de los criterios que se asumen, fundamentar, argumentar cada relación que se establece en la solución del problema.

Otro de los elementos a tener en cuenta para planificar el proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos, es conocer cómo transcurre este proceso, en este sentido se declaran los siguientes momentos del proceso:

• Primer momento: Descripción de todos los objetos geométricos que se declaran en el texto del problema, atendiendo a su significado y todas las características que lo identifican, se determina el objetivo que se persigue.

• Segundo momento: Se determinan las características esenciales de los objetos geométricos, se establece el sistema de relaciones atendiendo al significado de los mismos, se conforman las consecuencias de significados, escogiendo las consecuencias de significados necesarias y suficientes.

• Tercer momento: Atendiendo a las consecuencias de significados necesarias y suficientes se escoge la o las vías de solución.

• Cuarto momento: Se argumenta cada paso de la solución según los criterios asumidos (Conceptos, teoremas, propiedades, procedimientos).

• Quinto momento: Se verifica cada paso teniendo en cuenta los criterios de análisis que se asumieron, mediados por los significados de los objetos geométricos y se valora el resultado obtenido con el objetivo del problema.

Para que la planificación sea efectiva ha de realizarse un estudio profundo del contenido que han recibido los estudiantes y del que van a recibir, buscando las relaciones relevantes o trascendentes que se establecen entre los objetos geométricos atendiendo a sus significados ,así como, un análisis de las habilidades geométricas desarrolladas y de las insuficiencias que en cuanto al conocimiento de los contenidos geométricos persisten.

Se han de conocer las exigencias geométricas, que sintetizan los elementos tanto del contenido geométrico como metodológico a tener en cuenta para dirigir el proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos.

En este sentido, se define como exigencias geométricas los conocimientos y las habilidades geométricas indispensables que deben dominar los estudiantes para interpretar y encontrar la solución adecuada a los problemas geométricos, en cualquier contexto.

Estas exigencias geométricas contribuyen al desarrollo de los procesos cognoscitivos y permiten la construcción de significados a partir de las representaciones mentales de los objetos geométricos, y la relación entre ellos; las mismas deben estar en correspondencia con el nivel por el cual transitan los estudiantes, atendiendo al nivel de desarrollo del pensamiento geométrico alcanzado.

A partir del estudio de los programas de matemática correspondientes al nivel medio básico y el nivel de desarrollo del pensamiento geométrico que deben alcanzar los estudiantes en el nivel medio básico, se precisan las siguientes exigencias geométricas:

• Sistema geométrico conceptual

• Pensamiento geométrico espacial

• Sistema de símbolos geométricos

• Comprensión textual geométrica

El sistema geométrico conceptual se concreta en:

1. Formalizar los conceptos y definiciones geométricas.

2. Analizar el significado de los conceptos geométricos.

3. Analizar el significado de los conceptos en su relación con otros conceptos, determinando las consecuencias que se derivan.

El pensamiento geométrico espacial se concreta en:

1. Diferenciar las propiedades de las figuras geométricas.

2. Hacer esbozo de las figuras geométricas en diferentes posiciones.

3. Reconocer nociones de paralelismo, perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia.

4. Reconocer y aplicar traslaciones y giros de una figura en el plano.

5. Reconocimiento y valoración de simetrías, y congruencia entre figuras.

6. Comparación y clasificación de figuras geométricas de acuerdo con sus ángulos, vértices y características.

7. Hacer conjeturas y verificar los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano.

8. Análisis y explicación de relaciones de dependencia en situaciones geométricas.

La comprensión geométrica se concreta:

1. Atribuir el significado de términos, símbolos, relaciones, figuras geométricas y propiedades.

2. Elaborar hipótesis acerca de las relaciones entre objetos geométricos atendiendo a sus significados o los significados atribuidos.

3. Elaborar hipótesis acerca de la solución del problema.

4. Elaborar resúmenes con la información que se da en un texto del problema geométrico.

5. Elaborar consecuencias de significados a partir de las relaciones que se establecen entre los objetos geométricos.

6. Construir figuras geométricas a partir de datos que se expresan en un texto.

El sistema de símbolos se concreta:

Reconocer los símbolos (paralelismo, perpendicularidad, ángulo, semejanza, igualdad) que en la geometría se utilizan y su significado práctico.

El profesor, al tener conocimiento y precisar cuáles son las exigencias geométricas para el grado y cada una de las unidades temáticas, realizará un mejor diseño de las clases y tendrá mayor precisión en los objetivos a alcanzar, atendiendo a la construcción del significado de cada objeto geométrico de forma individual y colectiva.

La planificación debe hacerse sobre bases objetivas, en este sentido, debe partir de un diagnóstico que revele las dificultades que presentan los estudiantes, para su confección deben analizase los contenidos anteriores buscando relación con los que recibirán los estudiantes; el diagnóstico no puede realizase solamente de forma escrita, debe indagarse acerca de los significados que los estudiantes han atribuido a los objetos geométricos, a través de la confrontación y el intercambio.

Para que se lleve acabo este intercambio diagnóstico, se sugiere la realización de talleres de socialización de significados, con el objetivo de que los estudiantes expongan los significados que han atribuido a los objetos geométricos, socializándolos con los otros compañeros y el profesor.

Los talleres de socialización han de desarrollarse:

• Al inicio de cada tema: Con una función diagnóstica, para revelar las dificultades en cuanto a la atribución de significado de los objetos geométricos, de los contenidos anteriores.

• En el transcurso del tema: Para ir controlando cómo los estudiantes atribuyen significados a los objetos geométricos objetos de estudio y en consecuencia el profesor pueda perfeccionar su accionar.

• Al concluir cada tema: Para comprobar si los estudiantes han atribuido los significados de los objetos geométricos correctamente.

Para el montaje de los talleres de socialización de significados profesores y estudiantes deben cumplir con actividades bien determinadas como son:

El profesor debe:

1. Seleccionar el contenido y precisar los objetos geométricos que serán temas de discusión.

2. Confeccionar una guía de preguntas que permitan revelar el significado que los estudiantes han construido de los objetos geométricos que se estudian.

3. Informarles a los estudiantes con suficiente tiempo, el tema o los temas que serán objeto de análisis en el taller, para que la preparación de los mismos sea eficiente.

4. Crear un ambiente psicológico adecuado para que tenga lugar el debate.

Los alumnos deben:

1. Estudiarse el contenido correspondiente, según el programa del grado, especificando el significado de los objetos geométricos que se declaran en el mismo.

2. Hacer resúmenes del contenido valorando las relaciones que se establecen para conformar los mapas conceptuales.

3. Expresar con lógica los elementos que les permitieron atribuir el significado al objeto geométrico tema de discusión.

Para la realización de los talleres el grupo puede organizarse en equipos, en dúos o de manera frontal, los debates que se desarrollen van a posibilitar que los estudiantes verifiquen y enriquezcan los significados de los objetos geométricos que han atribuido.

Es en el proceso de aprendizaje donde profesores y estudiantes interactúan, y es en ese espacio donde los estudiantes perfeccionan y construyen significados, mediante el proceso reflexivo mediatizado por los conocimientos adquiridos y las experiencias personales. Cada sujeto atribuye significado de acuerdo al sistema de conocimientos adquirido, las habilidades desarrolladas y su sistema de creencias, es por ello que un objeto, una situación planteada puede tener diferentes significados atendiendo a la persona que lo analiza.

En las clases de geometría es donde se concreta la construcción de significados personales de los objetos geométricos atendiendo que los mismos pueden encontrarse en cualquier contexto y es en el aula guiado por el profesor donde se conceptualizan, destacando las características más significativas, que hace que sea ese objeto y no otro, de ahí que la labor del profesor es atender el conflicto que tiene lugar en el proceso de aprendizaje de los estudiantes entre el significado de los objetos geométricos y el significado que le atribuyen.

En este sentido se ha de tener en cuenta los eslabones del proceso de aprendizaje con sus características específicas correspondientes:

• Elaboración de la nueva materia.

• Fijación.

• Control.

Que a consideración de esta autora, tienen que coincidir con los eslabones de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos, que se identifican de la siguiente forma:

• Construcción del significado de los objetos geométrico.

• Establecimiento de relaciones entre los objetos geométricos atendiendo a sus significados.

• Evaluación.

Otro de los componentes de la dirección de proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución es la ejecución, en la que se concretan todas las actividades que se han tenido en cuenta en la planificación del proceso, es en este momento que el profesor debe concentrarse en el análisis de la evolución de cada estudiante, para de este modo ir perfeccionando su accionar y atender las diferencias individuales.

Es en las clases que tiene lugar la aprehensión por parte de los estudiantes del sistema de conocimientos mediado por el profesor que con sus habilidades para aplicar la metodología adecuada, tiene que ser capaz de trasmitir los conocimientos, partiendo de los adquiridos por los estudiantes y de sus creencias.

La evaluación es el componente del proceso de dirección del aprendizaje que se caracteriza por ser sistemático y continuo, es el que permite ir controlando en qué medida se van cumpliendo los objetivos propuestos y de esta forma retroalimenta el proceso ya que permite hacer reajuste según los resultados que se obtienen.

Según la doctora Álvarez (2004) la evaluación como componente del proceso de enseñanza – aprendizaje deberá tener en cuenta:

• Evaluar para que sirva de referente al individuo.

• Evaluar mejoramiento para que sirva de referente al del proceso educativo.

• Evaluar para que sirva como referente social.

Esta autora define la evaluación:

¨La evaluación es un proceso inherente a la educación, que se inserta en el ambiente general de la sociedad, es de naturaleza totalizadora, remitido a la complejidad de los factores que intervienen en el proceso educativo, en el que juega un papel fundamental el profesor, guía de dicho proceso.

Tiene funciones instructivas y educativas y se pone al servicio de valores universales y contextuales particulares.

Metodológicamente se basa en la obtención de información (evidencias) representativas del estado de desarrollo del proceso en un momento determinado especialmente referido al aprendizaje individual y grupal de los alumnos; evidencias que se someten a la interpretación de la realidad para emitir juicios de valor, que conducen a la toma de decisiones y de orientación, cuyo propósito esencial es el mejoramiento de la calidad de la educación.¨

La evaluación es un proceso dinámico, continuo y sistemático, enfocado hacia los cambios en los rendimientos de los estudiantes, mediante el cual se verifica el logro obtenido según los objetivos propuestos, esta adquiere sentido en la medida que el docente sea capaz, a partir de la información que se revelan a través de los resultados que se obtienen en las evaluaciones, trazar nuevas estrategias que contribuyan al perfeccionamiento de su accionar.

La evaluación es resultado de las relaciones que se establece entre los objetivos, el contenido, los métodos, las habilidades, los alumnos y el docente. Cumpliendo así una función en la regulación y el control del proceso de enseñanza aprendizaje, en la relación de los alumnos con el conocimiento, de los profesores con los alumnos, de los alumnos entre sí. La evaluación debe permitir la adaptación de los procesos didácticos a las características individuales del alumno, detectar sus puntos débiles para que se le pueda dar el tratamiento adecuado y tener un conocimiento más exacto de cada uno.

Para evaluar el nivel de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos se precisan los siguientes niveles:

 Primer nivel: Se reconocen los objetos geométricos que se declaran en el texto atendiendo a sus significados, y no se precisa el sistema de relaciones.

 Segundo nivel: Se reconocen los objetos geométricos que se declaran en el texto del problema atendiendo a sus significados, se precisa el sistema de relaciones determinando las consecuencias de significados necesarias que se corresponden con el objetivo del problema, posibilitándole encontrar, argumentar y comprobar una vía de solución.

 Tercer nivel: Se halla más de una vía de solución, argumentándose con lógica según los criterios de análisis asumidos en correspondencia con la situación planteada (conceptos, teoremas, propiedades) y con la comprobación correspondiente.

Para determinar en qué nivel de desarrollo de la habilidad interpretar el estudiante se encuentra, además de la prueba escrita se deben realizar entrevistas individuales teniendo en cuenta los errores detectados, para de esta forma tener mayor precisión en las dificultades en cuanto a contenido y procedimiento que les imposibilita interpretar adecuadamente los problemas geométricos.

El conocimiento que el profesor tenga de en qué nivel se encuentran los estudiantes permite que pueda organizar con mayor acierto las actividades y todo el proceso, seleccionando los problemas teniendo en cuenta el nivel de desarrollo alcanzado.

Para confeccionar las pruebas para efectuar la evaluación y ubicar a los estudiantes en el nivel adecuado, se debe tener en cuenta los siguientes aspectos:

• El contenido.

• El grado de dificultad de los problemas seleccionados.

• Precisión en la información que se trasmite a través del texto de los problemas.

Conclusiones

La resolución de problemas como una de las actividades más importantes que realiza el ser humano, ha de tener un tratamiento especial en el proceso de enseñanza aprendizaje, así como las habilidades asociadas a este proceso y fundamentalmente la de interpretar.

Establecer los elementos a tener en cuenta para dirigir el proceso de desarrollo de la habilidad interpretar en la resolución de problemas geométricos, posibilita que los profesores cuenten con una guía para llevar acabo este proceso y puedan perfeccionar su accionar en la enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas.

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