NÚMEROS COMPLEXOS: HISTÓRIA, TEORIA E PR�TICA

2.14 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

A potenciaZn, n є N*, é dada por .
Dessa forma, se um número complexo Z está representado na forma trigonométrica , temos:

Para n = 0, temos:

Assim, podemos dizer que a potencia de ordem n de um numero complexo escrito na forma trigonométrica é o numero complexo cujo módulo é igual ao módulo do numero elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do numero multiplicado por n, reduzido à primeira volta .
Exemplos:
1º)Considere o número , vamos determinar Z 7.
Resolução:
Na forma trigonométrica, temos:

Na forma algébrica, temos:

2º) Calcule a potência .
Resolução:
Uma das formas é multiplicar por ele mesmo, usando dez fatores. Outra é desenvolver a expressão  usando o binômio de Newton. Uma terceira maneira é escrever o número complexo na forma trigonométrica e usar a formula de De Moivre. Veja:

Assim:

Mas:

 corresponde a oito voltas mais , isto é:

Ou seja,  é côngruo de .
Portanto:

Na forma algébrica, temos: