El cost de llançament d’una comanda –o lot– cl és independent del número d’unitats. La demanda total per a un interval de temps q és N.
Es desitja saber quina és la quantitat n a reaprovisionar periòdicament per a minimitzar el cost global de llançament i d’emmagatzematge de les N peces, no admetent-se cap mena de ruptura.
La despesa total, per a un lot, és:
c1 + (1/2) · n · T · cS .
D’altra banda es té:
N = h · T ,
essent h la demanda per unitat de temps, i
La despesa global per a l’interval de temps q és:
FIG. 9.3. Període fix i demanda constant sense ruptura.
Si ara anomenem:
;
a la despesa total de llançament, i
GS = (1/2) · q · cS · n ,
a la despesa total d’emmagatzematge, es veu que Gl és inversament proporcional a n, mentre que GS és directament proporcional a n.
Hem representat sobre la figura següent 4 les variacions de Gl i de GS en funció dels diferents valors de la variable independent n, així:
FIG. 9.4. Representació gràfica de les despeses.
Com era previsible, la quantitat òptima de comanda augmenta quant menor sigui el cost d’emmagatzement i quant major sigui el cost de fer una comanda. Altrament, la despesa total G(n) serà mínima tot acomplint la condició necessària o de primer grau que vindrà donada per l’anulació de la primera derivada, o sigui:
La condició suficient o de segon grau exigeix el càlcul de la segona derivada, així:
,
així doncs es tracta, efectivament, d’un mínim relatiu o local.
D’aquí es dedueix que el cost total G(n) serà mínim per a
;
que és la quantitat òptima de comanda, segons la fórmula de Harris-Wilson, per al càlcul del lot econòmic. La quantitat mitjana emmagatzemada serà:
.
D’on es dedueix immediatament que:
.
I també el cost total de la política adoptada serà: