3.3.6. Determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un escalar que s�lo se puede calcular si se trata de una matriz cuadrada, es decir, aquella en que el n�mero de filas y de columnas coincide. Para denotarlo se precede el nombre de la matriz por “det” o se incluye dicho nombre entre dos barra verticales “| |”.

Una regla general para calcular el determinante de cualquier matriz sea del orden que sea es a trav�s del uso de sus cofactores.

Se denomina cofactor del elemento aij y se denota habitualmente por Aij, al producto del determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y la columna en la que se situa dicho elemento por (-1)i+j.

Sea A una matriz cuadrada de orden MxM, el cofactor del elemento aij no ser� m�s que el determinante de la matriz (M-1)x(M-1) que resulta de eliminar la fila i-�sima y la columna j-�sima, cambiado de signo si la suma de los sub�ndices correspondientes a su fila y columna es impar.

La regla general para obtener el determinante de una matriz consiste en seleccionar una fila o una columna de dicha matriz y multiplicar cada uno de sus elementos por sus cofactores correspondientes y sumar los resultados. Por ejemplo, utilizando como base de los c�lculos la fila i-�sima, el determinante se calcular�a como:

La “f�rmula de los cofactores” permite reducir un determinante de cualquier orden a una combinaci�n de determinantes de orden inferior. Por tanto, si se tuviera que calcular el determinante de forma manual, se tendr�a que desarrollar la expresi�n hasta llegar a los determinantes de menor orden posible, es decir, 1x1. Para simplificar el proceso ser�a conveniente elegir la fila o columna m�s apropiada, es decir, la que permitiera llegar al resultado final con menos calculos .

Propiedades:

- Si se intercambian dos filas/columnas cualesquiera de una matriz, su determinante cambia de signo.

- Si se multiplican todos los elementos de una fila/columna de una matriz por un escalar, su determinante queda multiplicado por ese escalar.

- El valor del determinante queda inalterado si se suma a cualquier fila/columna, un m�ltiplo de cualquier otra fila/columna.

- Si una matriz tiene dos filas/columnas iguales, su determinante es nulo.

- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

Cuando el determinante de una matriz es nulo, se dice que es una matriz singular y cuando su determinante es distinto de cero, se dice que es una matriz no singular.

La funci�n disponible en Shazam para calcular el determinante de una matriz es DET(matrix).

3.3.7. Rango de una matriz

Una matriz puede ser interpretada como un conjunto de vectores columna (variables del modelo econom�trico) y, por tanto, su rango puede ser interpretado como el mayor n�mero de columnas (variables) linealmente independientes. Se denomina rango de una matriz al orden del mayor determinante no nulo que se pueda calcular con sus elementos.

Propiedades:

- El rango de una matriz es igual al rango de su traspuesta:

- Si el rango de una matriz cuadrada es pleno, es decir, coincide con el n�mero de sus columnas, se dice que dicha matriz es no singular: . Como se ver� en el pr�ximo ep�grafe para que una matriz se pueda invertir debe ser cuadrada y tener rango pleno.

- El rango de una matriz siempre ser� un n�mero menor o igual al minimo entre el n�mero de columnas y n�mero de filas de la matriz:

- El rango de un producto de matrices ser� menor o igual al m�nimo de los rangos de las matrices que se multiplican:

La funci�n disponible en Shazam para calcular el rango es RANK(matrix).

3.3.8. Matriz inversa

La inversa de una matriz A, es una matriz denotada A-1 tal que, si se premultiplica o postmultiplica por A, da como resultado la matriz identidad:

Dos son las condiciones necesarias para que una matriz tenga inversa:

- Que sea una matriz cuadrada, es decir, que el n�mero de filas coincida con el n�mero de columnas.

- Que sea una matriz no singular, es decir, que su determinante sea no nulo.

La inversa de una matriz cuadrada A se obtiene a partir de su determinante y de su matriz adjunta :

Propiedades:

- La inversa del producto de matrices es igual al producto de las inversas de dichas matrices en orden inverso a su escritura, es decir, de derecha a izquierda:

- La traspuesta de la inversa de una matriz es igual a la inversa de su traspuesta:

- La inversa de una matriz sim�trica, tambi�n es sim�trica.

La funci�n disponible en Shazam para calcular el rango es INV(matrix).

3.3.9. Traza de un matriz

Se denomina traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal:

Propiedades:

- La traza de una matriz identidad coincide con su dimensi�n:

- La traza de una matriz coincide con la traza de se traspuesta:

- La traza de la suma de matrices es igual a la suma de las trazas:

- La traza del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por la traza de la matriz:

- La traza del producto de matrices es igual al producto de las trazas:

- Si

La funci�n disponible en Shazam para calcular la traza es TRACE(matrix).