1. El modelo de Solow

Se considera una funci�n de producci�n del tipo Cobb-Douglas:

1.

En donde Y es la producci�n, K capital, L trabajo y A el nivel de tecnolog�a. Adem�s en el modelo de Solow las tasas de: ahorro, crecimiento de la poblaci�n y progreso tecnol�gico son ex�genas. Hay dos insumos: capital y trabajo, los cuales pagan marginalmente sus productos.

L y A crecen ex�genamente a tasas: n y g respectivamente.

2.

3.

El n�mero efectivo de unidades de trabajo, AtLt, crece a una tasa n+g.

El modelo asume que una fracci�n constante de la producci�n s, es invertida. Definiendo �k� como el stock de capital por unidad de trabajo efectivo, k=K/AL y �y� como el nivel de producci�n por unidad de trabajo efectivo y=Y/AL, la evoluci�n de �k� se rige por:

4.

Donde δ es la tasa de depreciaci�n. La ecuaci�n 4 implica que k converge para un estado estacionario valorado k* y definido por , o:

5.

En el estado estacionario, la tasa de capital-trabajo est� relacionada positivamente con la tasa de ahorro y negativamente con la tasa de crecimiento de la poblaci�n. En este sentido, la predicci�n central del modelo de Solow se preocupa por el impacto del ahorro y el crecimiento de la poblaci�n en el crecimiento del ingreso real. Sustituyendo (5) en la funci�n de producci�n, nosotros encontramos que el ingreso per c�pita en el estado estacionario es:

6.

Porque el modelo asume que los factores son pagados por su producto marginal, esto no solo predice los signos sino tambi�n las magnitudes de los coeficientes de ahorro y crecimiento de la poblaci�n. Espec�ficamente porque la cuota del capital en ingresos (α) es aproximadamente una tercera parte, el modelo implica una elasticidad del ingreso per c�pita con respecto a la tasa de ahorro de aproximadamente 0.5 y una elasticidad con respecto a (n+g+δ) de aproximadamente -0.5.

1.1 Especificaci�n

La pregunta natural a considerar es si los datos soportan las predicciones del modelo de Solow. En otras palabras, se pretende investigar si el ingreso real es m�s alto en los pa�ses con mayor tasa de ahorro y m�s bajo en los pa�ses con mayores niveles de (n+g+δ).

Se asume que g y δ son constantes en los pa�ses. Adem�s g refleja primeramente el adelanto de conocimiento, el cual no est� especificado en los pa�ses. Asimismo no hay ninguna fuerte raz�n para esperar que la tasa de depreciaci�n var�e mucho en los pa�ses, ni hay ning�n dato que pueda permitirnos estimar la tasa de depreciaci�n. Por otra parte, el t�rmino A(0) no refleja �nicamente la tecnolog�a, sino tambi�n las dotaciones de recursos, el clima, las instituciones y todo eso. Esto podr�a por lo tanto diferir en los pa�ses. Se asume que:

Donde es una constante y es un choque entre los pa�ses. As� el registro de ingreso per c�pita en un tiempo dado-tiempo 0 para simplificar- es:

7.

La ecuaci�n 7 es la especificaci�n b�sica en esta secci�n.

Se asume que las tasas de ahorro y crecimiento poblacional son factores independientes entre los pa�ses desplazando la funci�n de producci�n. Adem�s se asume que s y n son independientes de . Esto suposici�n implica que se puede estimar la ecuaci�n 7 con m�nimos cuadrados ordinarios (MCO) .

Hay tres razones para hacer esta suposici�n de independencia. Primero, esta suposici�n se hace no solamente en el modelo de Solow, sino tambi�n en cada modelo est�ndar de crecimiento econ�mico. Adem�s en los modelo en donde el ahorro y el crecimiento de la poblaci�n son end�genas, pero las preferencias son inel�sticas, s y n no son afectadas por . En otras palabras, bajo la utilidad inel�stica, permanentes diferencias en el nivel de tecnolog�a no afectan a las tasas de ahorro ni de crecimiento de la poblaci�n.

Segundo, muchos trabajos te�ricos recientes de crecimiento han sido motivados por la exanimaci�n informal de las relaciones entre el ahorro, el crecimiento de la poblaci�n y el ingreso. Muchos economistas tienen la certeza de que el modelo de Solow no puede explicar las diferencias internacionales de ingreso y esto presunta el fracaso del modelo de Solow, estimulando el trabajo de las teor�as de crecimiento end�geno.

Tercero, porque el modelo predice no solo los signos si no tambi�n las magnitudes de los coeficientes del ahorro y crecimiento de la poblaci�n, se puede calcular si hay una importante favoritismo en las estimaciones obtenidas con MCO. Como se describe abajo, los datos en factor implican por una parte que, si el modelo es correcto, las elasticidades de Y/L con respecto a s y n+g+δ son aproximadamente 0.5 y -0.5. Si el MCO proporciona coeficientes que son sustancialmente diferentes de estos valores, entonces se puede rechazar el conjunto de hip�tesis del modelo de Solow y el indefinido aumento es correcto.

Usando una analog�a aproximada para �contabilizar el crecimiento� se puede computar la fracci�n de la varianza en el nivel de vida que es explicado por la identificaci�n mec�nica del modelo de Solow. En la pr�ctica, porque no tenemos las exactas estimaciones de unas partes del factor, no se enfatiza esta aproximaci�n de la contabilidad del crecimiento. Por lo que se prefiere estimar la ecuaci�n 7 por MCO. La forma de esta regresi�n muestra el resultado de una contabilidad del crecimiento con la estimaci�n del valor de α. Si esta estimaci�n α difiere del valor obtenido a priori de los factores compartidos, se puede comparar la forma de estimaci�n de la regresi�n con la forma de obtenci�n por imposici�n del valor a priori.

1.2 Datos y muestra

Los datos son del �Real National Accounts� construidos por Summers y Heston (1988). El conjunto de datos incluye el ingreso real, consumo p�blico y privado, inversi�n y poblaci�n de casi todo el mundo. Los datos son anuales y abarcan el per�odo 1960-1985. Se asume n como la tasa media de crecimiento de la clase trabajadora de la poblaci�n, donde la edad para trabajar es entre 15 a 64 a�os. Se asume como s la media de la inversi�n real (incluyendo la p�blica) en el PIB real y Y/L como el PIB real en 1985 dividido por la poblaci�n econ�micamente activa (PEA) en ese a�o.

Se consideran tres muestras de pa�ses. La m�s completa se compone de todos los pa�ses para los cuales se dispone de datos que no sean aquellos para los que la producci�n de petr�leo es la industria dominante . Esta muestra se compone de 98 pa�ses. Excluimos los productores de petr�leo porque la mayor parte del PIB de estos pa�ses representa la extracci�n de los recursos existentes y no el valor a�adido .

La segunda muestra excluye a los pa�ses cuyos datos reciben una calificaci�n �D� por Summers y Heston o en donde la poblaci�n en 1960 era menos de un mill�n. Summers y Heston usan la clasificaci�n �D� para identificar a los pa�ses cuyo ingreso real figuran en base a muy pocos datos primarios, el error medio probablemente sea un problema mayor para estos pa�ses. Se omiten los pa�ses peque�os porque la determinaci�n real de su ingreso puede estar dominada por factores idiosincr�ticos. Esta muestra consiste en 75 pa�ses.

La tercera muestra consiste en los 22 pa�ses de la OCDE donde la poblaci�n es mayor a un mill�n. Esta muestra tiene la ventaja de que los datos parecen tener un nivel uniforme de alta calidad y que la variaci�n de omitir los factores espec�ficos de cada pa�s es probable peque�a. Pero tambi�n tiene una desventaja: ser peque�a, y esto descarta gran parte de la variaci�n en las variables de inter�s.

En el ap�ndice se puede ver los datos de cada muestra.

1.3 Resultados

Se estima la ecuaci�n 7, con y sin imponer la restricci�n de que los coeficientes de ln (s) y ln (n+g+δ) son iguales en magnitud y de signo contrario. Suponemos que g + δ es de 0,05; cambios razonables en este supuesto tienen poco efecto sobre las estimaciones . Cuadros I informa de los resultados.

Tres aspectos b�sicos de los resultados del modelo de Solow. Primero, los coeficientes de ahorro y crecimiento de la poblaci�n tienen los signos predichos y, para dos de las tres muestras, son altamente significativos. Segundo, la restricci�n de que los coeficientes en ln(s) y ln(n+g+δ) son igual en magnitud y el signo opuesto no es rechazado en ninguna de las muestras. Tercero, en y quiz�s el m�s importante, diferencias en el ahorro y el crecimiento demogr�fico describe una larga facci�n de la variaci�n en el ingreso per c�pita entre los pa�ses. En esta regresi�n para una muestra intermedia, por ejemplo, el ajuste R2 es 0.59. En contraste con lo com�n afirmado por el modelo de Solow �explica� la variaci�n en la productividad del trabajo largamente por lo que apela a las variaciones tecnol�gicas, dos variables observables en este modelo de Solow se focalizan en el hecho de describir las variaciones en el ingreso per c�pita.

No obstante, el modelo no es completamente exitoso. En particular la estimaci�n del impacto del ahorro y del crecimiento de la fuerza de trabajo es mucho a lo que predice el modelo. El valor de α implica que los coeficientes podr�an ser igual a una parte del ingreso, en aproximadamente un tercio. Esta estimaci�n, sin embargo, implica que α es mucho mayor. Por ejemplo, el α impl�cita por el coeficiente de la regresi�n restringida para la muestra intermedia es de 0.59 (con un grado de error est�ndar de 0.02) as� los datos rotundamente contradicen la predicci�n del modelo, en donde α= 1/3.

Porque la estimaci�n implica que dicha cuota de capital es alta, esto es inapropiado concluirlo pues es el modelo de Solow es exitoso solo porque la regresi�n en la tabla I se puede explicar una alta fracci�n de la variaci�n en el ingreso. Para la muestra intermedia, por ejemplo, cuando empleamos el "crecimiento contable" enfoque descrito anteriormente y restringir los coeficientes de ser coherentes con un α de un tercio, el R2 ajustado cae 0,59 hasta 0,28. Aunque el excelente ajuste de las regresiones simples en el cuadro I se prometedor para la teor�a del crecimiento en general-que implica que las teor�as basadas en variables f�cilmente observables pueden dar cuenta de la mayor parte de la variaci�n en la renta real entre pa�ses.