3.3. ROTACIÓN DE LOS FACTORES INICIALES Y SU REPRESENTACIÓN GRAFICA PARA FACILITAR SU INTERPRETACIÓN

La rotación obedece a que la estructura de los factores no es única, y por lo tanto, determinados grupos de factores que se estimaron originalmente, pueden llegar a modificarse y dar como resultado un nuevo grupo de factores que funcionen mejor para ciertos problemas particulares, o bien, para un modelo determinado.

En cuanto a la representación gráfica de la matriz factorial rotada, ésta se utiliza para facilitar la interpretación, pues aunque la matriz factorial indica la relación entre los factores y las variables, aún así es difícil la interpretación de cada factor. En la gráfica cada eje contiene un factor y cada variable viene determinada por las ponderaciones factoriales. De esta forma, la rotación factorial busca la solución más sencilla e interpretable a través de hacer girar los ejes de las coordenadas que representan a los factores, hasta llegar a la máxima aproximación con respecto a las variables en que están saturados.

Una vez llevada a cabo la rotación de factores en el espacio factorial, se transforma la matriz factorial inicial en otra matriz nueva, que es de más fácil interpretación y que se conoce como matriz factorial rotada o matriz de componentes rotados (“rotated factor matrix”).

Esta última matriz es una combinación lineal de la primera, y por lo tanto, explica la misma cantidad de la varianza inicial. Para tratar de conseguir la interpretación más fácil, Bizquerra (1989), basándose en Thurston (1935), recomienda el principio de la estructura simple, el cual aunque rara vez se consigue, establece que la matriz factorial tiene que presentar características como las siguientes:

a) Cada factor debe tener unos pocos “loandings” altos y los otros próximos a cero. Este aspecto se verá más adelante cuando se explique el peso de cada variable dentro del factor.

b) Cada variable no tiene que estar saturada más que en un factor.

c) No tiene que haber factores con la misma distribución. Esto quiere decir que dos factores que sean distintos tienen que tener también distribuciones distintas de cargas altas y bajas.

Para llevar a cabo las rotaciones factoriales existen principalmente dos métodos que son: a) el método de rotaciones ortogonales; y b) el método de rotaciones oblicuas. Estos métodos se fundamentan en el principio de la estructura simple y en ninguno de ellos la rotación afecta a la bondad de ajuste de la solución factorial, pues aunque cambie la matriz factorial, las comunalidades permanecen inalteradas. Sin embargo, la varianza explicada por cada factor sí cambia pues ésta depende del método seleccionado.

El método de rotaciones ortogonales se aplica a factores que no están correlacionados, y por lo tanto, conservan los ángulos rectos en la gráfica. Este método es el de más amplia aceptación y tiene varias versiones como por ejemplo: el método varimax, el método cuartimax (que simplifica las variables), o el método ecuamax (que a su vez es una versión del varimax y simplifica los factores).

El método que tiene mayores ventajas es el varimax, pues éste se enfoca a maximizar la varianza de los factores y a minimizar el número de variables que tienen saturaciones altas en un factor. Esto es importante porque ofrece más facilidad para interpretar los resultados. Aquí en cada columna de la matriz factorial rotada se producen algunos “loandings” muy altos y los otros se aproximan a cero.

Cuando se aplica el método de rotaciones ortogonales, la matriz de correlaciones entre factores es una matriz identidad. Como ya se indicó anteriormente, esto significa que tiene unos en la diagonal principal y todos los demás son ceros. En este caso las matrices de ponderaciones (“pattern”) y las matrices de correlaciones (“structure”) coinciden con la matriz factorial (“factor matrix”).

En cuanto a las rotaciones oblicuas, el método oblimín es considerado como uno de los mejores dentro de este tipo. Sin embargo, en ciertos casos no se logra obtener factores intercorrelacionados entre sí, pues las rotaciones no conservan los ángulos rectos y por eso son oblicuos. Por otra parte, en la rotación oblicua las ponderaciones factoriales no coinciden con las correlaciones entre el factor y la variable, puesto que los factores están intercorrelacionados entre sí. De ahí que la matriz factorial no rotada se convierta en dos matrices diferentes que son: la matriz de ponderaciones (“factor pattern”) y la matriz de correlaciones entre factores y variables (“factor structure matrix”). Con base en ello optamos por no llevar a cabo este proceso, ya que los estadísticos advierten que se tiene que tener cuidado con la interpretación de este tipo de rotación, pues la superposición de factores puede confundir la significación de los mismos.

Para la estimación de las puntuaciones factoriales de cada empresa cuyo fin es utilizarse en estimaciones posteriores, o bien, en funciones lineales predictivas, partimos de que las puntuaciones factoriales permiten determinar en qué medida los factores se dan en las variables. Al tener el análisis factorial como objetivo básico reducir el conjunto de “v” variables a un grupo de “f” factores, entonces se deduce que “v > f”. Una vez que se consigue esto, lo que interesa al analista es saber que puntuaciones obtienen las variables en los factores, y por eso se procede a calcular las puntuaciones factoriales (“factor scores”) de cada variable a partir de la matriz factorial rotada que se basa en el siguiente modelo de regresión múltiple (ver cuadro siguiente).

MODELO DE LA REGRESIÓN MULTIPLE

FIJ = FI1 Z1 + FI2 Z2 + .........FIR ZR = SUMATORIA FIM ZM

Donde:

Fij = Puntuación factorial del individuo “j” en el factor “i”

Zm= Puntuaciones individuales en cada variable con puntuaciones estandarizadas

Cada Fim Zm = Es la ponderación factorial de la variable “m” en el factor “i”

La puntuación factorial individual “Fij” se refiere a la puntuación que el individuo hubiera obtenido en el factor “i”. Las puntuaciones factoriales únicamente pueden estimarse cuando el input es una matriz de datos. Es decir, si partimos de una matriz de correlaciones no obtendremos puntuaciones factoriales. Además, las puntuaciones factoriales exactas únicamente se pueden calcular cuando se aplica el método de componentes principales para la extracción de factores, como es el caso de este trabajo. Los resultados que obtuvimos con la matriz de componentes rotados.

Al contrario de lo que pasa en la matriz de componentes sin rotar, en el caso de la matriz rotada se observa que los pesos factoriales de los ratios sí varían o se modifican dependiendo del número de factores seleccionados dentro del análisis confirmatorio.

Para concluir este capítulo y proponiendo un enfoque diferente, podemos sugerir a que aquellos investigadores que quieran utilizar el análisis factorial para el tratamiento de bases de datos contables, con el fin de determinar los factores más importantes que presente un sector específico, deberían utilizar este método con un enfoque menos estadístico y más apegado al análisis e interpretación de los estados financieros. Para ello recomendamos que una vez que se hayan obtenido los resultados del análisis factorial se proceda a interpretarlos principalmente con base en los siguientes tres indicadores:

1. La puntuación de cada factor. La puntuación de cada factor es el resultado de una combinación lineal de un determinado factor con relación a cada una de las variables independientes inicialmente introducidas en el análisis.

2. El valor propio de un factor (“Eigenvalue”). Indica el porcentaje de varianza del total de las variables explicadas por dicho factor. Los elementos de Fi al cuadrado de la matriz factorial son los valores propios (“eigenvalues”) y representan el índice de varianza de la variable explicada por cada factor. Si se suman los cuadrados de las Fi de cada factor ubicados en la columna, se obtiene una medida de la varianza de la matriz R que viene explicada por ese factor. Las saturaciones factoriales de la matriz factorial únicamente pueden tener como máximo el valor uno. Si se presenta este supuesto, entonces la variabilidad de la variable quedará explicada totalmente por el factor. Esto quiere decir que el valor más alto que puede obtenerse en el eigenvalue de un factor es igual al número de variables, y como consecuencia de esto, los eigenvalues se pueden transformar en un porcentaje de la varianza explicada.

3. El peso de cada variable con respecto a un factor (“Loading”). Indica el grado de acercamiento entre dichas variables y el factor, o bien, el peso que cada variable asigna a cada factor. Los elementos pueden interpretarse como índices de correlación entre el factor y la variable, es decir, son correlaciones cuando los factores no están correlacionados entre sí (factores ortogonales). Estos coeficientes se conocen como: saturaciones factoriales (“factor loanding”), pesos o cargas. Cuando se obtienen variables con saturaciones altas dentro del factor, esto significa que las variables están muy asociadas a ese factor. Esto se debe a que las ponderaciones factoriales son en realidad coeficientes de regresión estandarizados en la ecuación de regresión múltiple, siendo las variables originales las variables independientes, y los factores las variables dependientes. Así, cuando se tienen variables independientes con saturaciones factoriales altas en un factor pero bajas en el resto de los otros factores, se dice que estas variables están saturadas en dicho factor, y sólo entonces es cuando la aplicación del análisis factorial tiene justificación. Normalmente, una variable con un componente con valor o peso de 0.50 o más es considerada importante, en cambio variables con un peso menor de 0.50 no son consideradas relevantes.