5.3 PROPRIEDADES ADICIONAIS EM N

5.3.1 Multiplicidade.

Definição 5.10 Múltiplo de um número.

Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe k  N tal que: a = b . k.

Exemplo 5.10

• O número 15 é múltiplo de 5, pois existe 3  N tal que 15 = 5  3

• O número 24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6  4.

Quando a = k . b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7  5.

Observação 5.3

1. Quando a=k . b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis.

2. Como estamos considerando 0 como um número natural, então o número 0 (zero) será múltiplo de todo número natural. Considerando k=0 em a=k  b obtemos a=0 para todo b N.

3. Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. a = 1  b  a = b

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo.

5.2.2 Divisibilidade.

Definição 5.11. Divisibilidade.

Sejam os números d, n  N, diz-se que d divide n e escrevemos d| n quando existe c  N tal que n = c . d.

A divisibilidade estabelece uma relação binária entre números naturais com as seguintes propriedades:

Propriedade 5.26

Sejam a, b, d, , n , m  N

1. n | n . . . reflexiva

2. d | n e n | m  d | m . . . transitiva

3. d | a e d | b  d | (a+b) e d | ab

4. d | n e d | m  d | (an+bm) para algum a, b  N . . . linear

5. d | n  ad | an . . . multiplicação

6. ad | an e a  0  d | n . . . simplificação

7. 1 | n . . . 1 é divisor de todo natural

8. n | 0 . . . todo natural é divisor do zero

9. 0 | n  n = 0 . . . zero é divisor somente do zero

Exemplo 5.11

Mostre que 2 . (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n ) = n(n+1).

Solução.

Neste exemplo observe que P(n) : 2. ( 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n ) = n(n+1).

Para n = 1, P(1) : 2. 1 = 1(1+1) é verdadeira.

Suponhamos que P(h) : 2. (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + h ) = h(h+1) seja verdadeira.

Mostrarei que P(h+1) : 2. ([ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + h + (h+1)] = (h+1)[(h+1)+1] é verdadeiro.

Com efeito, temos que:

2. [1 + 2 + 3 + 4 + . . . + h + (h+1)] =

= 2. [1 + 2 + 3 + 4 + . . . + h ]+ 2 (h+1)] = h(h+1) + 2. (h+1)=

= (h+1)(h+2 ) = (h+1)[(h+1)+1].

Logo, pelo princípio de indução matemática cumpre:

2. (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n ) = n(n+1)  n  N

Exemplo 5.12

Deseja-se construir uma parede decorativa com tijolos de vidro da seguinte forma: a primeira fileira (base) deverá ter 100 tijolos, a segunda fileira, 99 tijolos, a terceira, 98 tijolos e assim por diante até a última fileira que deverá ter apenas 1 tijolo. Determine o número total de tijolos necessários para construir desta parede. será igual a:

Solução.

Observe que a quantidade de número de tijolos necessários para cada fileira é um número natural decrescente a partir de 100, logo temos aplicando a fórmula do Exemplo (5.11) que o total de tijolos é: 2.(100 + 99 + . . . + 3 + 2 + 1 ) = 100(100+1) = 5050.

Portanto são necessários 5.050 tijolos.

Definição 5.12

Sejam os números naturais m e n, dizemos que ``m é maior ou igual que n'' e escrevemos m q n se, e somente se, m > n ou m = n.

Sejam os números naturais a e b, dizemos que ``a é menor ou igual que n'' e escrevemos m  n se, e somente se, n > m ou m = n.

Definição 5.13 Número primo.

Diz-se que um número natural n é um ``número primo'', se n > 1 e os únicos divisores positivos de n são 1 e o próprio n.

Se n não é número primo então é chamado de número composto.

Exemplo 5.13

São números primos: 2, 3, 7, 11 13, 17, 19

São números compostos: 4, 6, 8, 10, 16, 24

O número 1 não é primo; observe que não satisfaz a definição.

Propriedade 5.27

Todo número inteiro n > 1 é número primo ou produto de números primos.

Demonstração

Mostremos por indução sobre n. A propriedade é obvia para n = 2.

Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para cada inteiro menor que n . Se n não é primo, então n é divisível por um inteiro d  1 e d  n. Portanto n = cd, de onde c  n, como c e d são menores que n e maiores que 1 , pelo que cada um deles é o produto de números primos; logo n é produto de números primos.

Propriedade 5.28 Euclides.

Existe uma infinidade de números primos.

Demonstração

Suponhamos exista uma quantidade finita de números primos, por exemplo:

p1, p2, p3, . . . , pn-1, pn n  N n-fixo.

Consideremos o número N = 1 + p1, p2, p3, . . . , pn-1, pn . Observe que N > 1 ou N é primo, ou N é produto de primos.

Porém N não é produto de primos, pois é maior que cada um dos p_i e nenhum dos p_i é divisor de N caso contrário, se p_1 | N então p_i também é divisor de 1, o que contradiz a propriedade.

Portanto N é número primo.

Propriedade 5.29 Teorema fundamental da aritmética.

Todo inteiro n > 1 podemos expressar como produto de fatores primos de modo único.

Demonstração

Mostraremos por indução. Para o caso n = 2 a propriedade é evidente.

Suponhamos a propriedade verdadeira para todo inteiro maior que 1 e menor do que n . A mostrar que é verdadeira para n. Se n é primo nada a mostrar.

Suponhamos que o número n seja composto e admite decomposição da forma:

n = p1p2p3 . . . ps ou n =q1q2q3. . . qt  p1p2p3 . . . ps = q1q2q3. . . qt (5.6)

A mostrar que s = t e que cada p é igual a q .

Dado que p1 divide n = q1q2q3. . . qt , então deve dividir pelo menos um de eles, suponhamos que (depois de ordenados) p1 | q1, então p1 = q1 já que p1 e q1 são primos.

Assim, em (5.6) podemos obter m = p2p3 . . . ps ou m = q2q3. . . qt  p1p2p3 . . . ps = q1q2q3. . . qt

Se s > 1 ou t > 1, então 1 < m < n. A hipótese de indução diz que as duas decomposições são idênticas se prescindimos da ordem dos fatores. Conseqüentemente s = t e as decomposições em (5.6) também são idênticas, se prescindimos a ordem dos fatores.

Portanto a propriedade é válida.

Uma conseqüência imediata do Exercício 5-1 (16) é a a propriedade seguinte .

Propriedade 5.30

Para a, b  N sendo a  b > 0 tem-se que existem os números q, r  N tais que b | q, e:

a = bq + r, r < b

A demonstração é exercício para o leitor.

Na igualdade a = bq + r , o número a é chamado de “dividendo”, b é o “divisor”, q o “quociente” e r é chamado de “resto”.

Definição 5.. Divisor Comum.

Sejam os números a, b, d  N, se o número d divide simultaneamente a os números a e b, o número d é chamado ``divisor comum de a e b''.

Exemplo 5.14

A divisão de um certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

Solução.

Temos pelo enunciado: N = 1994. q + 148. Adicionando 2000 a ambos os membros, vem:

N + 2000 = 1994. q + 2000 + 148  N + 2000 = 1994. q + 2000 + 148

Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 + 6, fica:

N + 2000 = 1994. q + 1994 + 6 + 148  N + 2000 = 1994. (q + 1) + 154

Logo, o novo quociente é q + 1 e o novo resto é igual a 154.

Propriedade 5.31 Algoritmo da Euclides.

Dados os números naturais a e b, podemos repetir o processo da Propriedade (5.30) como segue:

a = bq + r1 0  r1 < b

b = r1q1 + r2, 0  r2 < r1

r1 = r2q2 + r3 0  r3 < r2

.

.

.

.

.

rk-3 = rk-2qk-2 + rk-1, 0  rk-1 < rk-2

rk-2 = rk-1qk-1 + r_{k}, 0  rk < rk-1

Por último um dos r será zero, suponhamos o primeiro deles rk = 0, logo rk-1  0.

Então rk-1 será o máximo divisor comum de a e b.

Demonstração

Existe um instante em que rk = 0, pois os rj são números naturais na ordem decrescente.

Sendo rk = 0, então tem-se que rk-2 = rk-1qk-1 + 0, logo rk-1 | rk-2.

Por outro lado, aplicando a Propriedade (5.25) e de rk-3 = rk-2qk-2 + rk-1  rk-1 | rk-3.

Podemos continuar este processo até que na primeira igualdade tem-se que r_{k-1} divide a r1 e b, conseqüentemente divide a a.

Definição 5.. Máximo divisor comum.

O número natural rk-1 da Propriedade (5.30) é chamado “máximo divisor comum de a e b”.

Observação 5.4

O “máximo divisor comum de a e b”. denota-se d = m.d.c{ a, b }.

Também é costume denotar o m.d.c{ a, b }de dois números, como o par não ordenado (a, b).

Para o caso do máximo divisor comum de três números a, b, c  N, denotamos d = m.d.c{ a, b ,c } ou (a, b, c) = (a, (b, c)) = ((a, b), c). Isto é o máximo divisor comum depende somente dos números e não da ordem em que eles estão escritos.

Exemplo 5.15

Dado os números 726 e 275, determine seu m.d.c.

Solução.

726 = 275 . (2) + 176

275 = 176 . (1) + 99

176 = 99. (1) + 77

99 = 77 . (1) + 22

77 = 22 . (3) + 11

22 = 11 . (2) + 0

Portanto, 11 = m..d.c{726, 275}.

Propriedade 5.32

Dados a, b, c  N, existe um e somente um m.d.c.{a, b} = d que satisfaz:

i) d | a e d |b . . d é um divisor comum de a e b.

ii) Se c | a e c | b  c| d . . . cada divisor comum divide d

Demonstração.

Pela Propriedade (5.30) existe pelo menos um d que satisfaz as condições (i)} e (ii).

Pela Propriedade (5.25) tem-se que d | (a+b)  d = (a+b) para algum   N; como c | a e c | b , então a = . c e b = . c para ,   N.

Logo d =  (a+b) =  (. c +  . c) = c( .  +  .  )  c | d.

Propriedade 5.33 Lema de Euclides.

Se a | bc e m.d.c{ a, b } = 1 então a | c.

Demonstração.

Desde que m.d.c{ a, b } = 1 , então a não divide b.

Do fato a | bc  bc =  a para algum   N, e como a não divide b  a | c.

Dados dos números naturais a e b, quando m.d.c{ a, b } = 1 , dizemos que os números a e b são primos relativos. Também é costume dizer que os números a e b são co-primos.

Exemplo 5.16

i) Os números 2 e 9 são primos relativos.

ii) Os números 3 e 15 não são primos relativos.

iii) Os números 3 e 11 são primos relativos.

Propriedade 5.34

Sejam a, b  N tais que a = p1^{1} p2^{2}p3^{3} . . . p_s^{_s} e b = p1^{1}p2^{2} p3^{3}. . . pt^{t} .

Então d =m.d.c{ a, b } , admite a decomposição: d = p1^{c1} p2^{c2} p3^{c3}. . . pk^{ck} , onde c i = min{ i ,  i }.

Demonstração.

Seja d = p1^{c1} p2^{c2} p3^{c3}. . . p_k^{ck} , dado que c i = min{i,  i } então ci  _i e c_i  _i, de onde d | a e d | b, logo d é um divisor comum de a e b.

Suponhamos que d' seja outro divisor de a e b e consideremos a decomposição d' = p1^{e1} p2^{e2}p3^{e3}. . . pm^{em} .

Então, e i   i e e i   i , logo pela Propriedade (5.33) segue que ei  ci.

Portanto, d' | d, logo d = m.m.c{a, b}.

Observação 5.5

Os múltiplos de 2 são denominados números pares.

Os demais números naturais são denominados números ímpares.

Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares, poderemos escrever: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . } I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . }.

Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.

Exemplo 5.17

Seja a  N tal que a seja número par se, e somente se a2 também é número par.

Solução.

Como a  N é par, então podemos escrever na forma a = 2k para algum k  Z, logo a^2 = a . a = (2k) . (2k) = 4 k . k = 2(2k2) = 2. t, onde t = 2k^2 Z assim a2 é par.

Reciprocamente ().

A mostrar que se existe a^2 como número par, então a também é par.

Por contradição. Suponhamos que a é ímpar, então a = 2r+1 para algum r  N, isto implica que a2 = (2r+1) . (2r+1) = 4r2 + 4r + 1 = 2(2r2+2r)+ 1 = 2s + 1, onde (2r2+2r) = s  N.

Assim, a ímpar implica a^2 ímpar se, e somente se a2 par implica a par.

Portanto, a  N é número par se, e somente se a2 é par

Definição 5.. Mínimo Múltiplo Comum.

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b e denotamos m = m.m.c{a, b}, se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b; isto é: m = k  a e m = r  b onde k e r números naturais.

5.3.3 Relação entre o m.m.c. e m.d.c.

Uma relação importante e bastante útil entre o m.m.c. e o m.d.c. é o fato que o m.d.c.{a, b} multiplicado pelo m.m.c.{a, b} é igual ao produto de a e b, isto é:

m.d.c.{a, b}  m.m.c.{a, b} = a  b

Exemplo 5.18

Determinar o m.m.c. e o m.d.c. dos números 15 e 20.

Demonstração.

O primeiro passo é determinar o m.d.c. ou o m.m.c. dos números 15 e 20, obtido o m.d.c.{15, 20} = 5 e sabendo que 15  20 = 300, basta lembrar que m.d.c.{15, 20}  m.m.c.{15, 20} = 15  20 e fazer o cálculo.

Donde obtém-se que o m.m.c.{15, 20} é igual a 300 dividido por 5, ou seja m.d.c.{15, 20} = 60.

Exemplo 5.19

Seja f: N  N  N a operação mínimo múltiplo comum, isto é f(a, b) = m.m.c.{a, b}. Esta aplicação f é comutativa? É associativa ? Determine o elemento neutro de f. Quantos elementos em N se existem, tem simétrico, e quais são?

Demonstração.

Como o m.m.c.{a, b} = m.m.c.{b, a} então f é comutativa. A demonstração da associatividade é óbvia.

O número 1 é o elemento neutro para f, observe que m.m.c.{a, 1} = a. Como o m.m.c.{a, b} = 1 se, e somente se, a=1 e b=1, o único número que tem simétrico multiplicativo é o 1, ademais é seu próprio simétrico.

5.3.4 Propriedades adicionais de divisibilidade.

Propriedade 5.35 Representação decimal de números naturais.

Para cada n  N, n  1 existem “algarismos” a0, a1, a2, : . . . as, onde as  0 no conjunto { 0, 1, 2, . . . , 8, 9 } tais que:

n = .10i = as10s + as-110s-1 + . . . +a1. 10 + a0. 100

Demonstração.

Se n = 1 podemos considerar n = a_0 = 1.

Suponhamos a propriedade seja válida para todo 1  n  h, logo é verdade que:

h = .10i = as10s + as-110s-1 + . . . +a1. 10 + a0. 100

Seja n = h+1, então pelo algoritmo da divisão temos que h+1 = 10q + r com 0  r < 10.

Se q = 0  h+ 1 = r = a0, com a0  { 0, 1, 2, . . . , 8, 9 }.

Se q > 0  q  h, pois se q > h,  h+1 = 10q+r > 10h+r  10h e assim h+1>10h e então 1 > 9h  9, o que é impossível.

Sendo então 1  q  h, pela hipótese de indução.

q = bt10t + bt-110t-1 + . . . + b1. 10 + b0. 100

para certos algarismos bt, . . . , b1, b0 todos em { 0, 1, 2, . . . , 8, 9 }.

Então h+1 = 10q+r = 10(bt10t + bt-110t-1 + . . . + b1.10 + b0.100 )+r = bt10t+1 + bt-110t + . . . + b1.10 + b0.101+r com bt, . . . , b1, b0, r todos em { 0, 1, 2, . . . , 8, 9 }.

Portanto, pelo princípio de indução finita, a propriedade é verdadeira.

A propriedade diz que quando escrevemos qualquer número inteiro, por exemplo 50237, podemos representar na forma:

50237 = 5. 104 + 0 . 103 + 2. 102 + 3. 101 + 7

Seja a  N, por exemplo consideremos a = ; isto é a é um número composto por cinco dígitos. A decomposição polinômica na base decimal do número a é: a = 105x+104m+103z+102n+u e, os dígitos satisfazem as seguintes propriedades:

O número a  N é divisível por:

• 2 se, e somente se, u = 0, 2, 4, 6, 8.

• 3 (ou 9) se, e somente se, a soma x+m+z+n+u for divisível por 3 (ou 9).

• 4 se, e somente se, o número for múltiplo de 4.

• 5 se, e somente se, u = 0, 5.

• 6 se, e somente se, a for divisível por 2 e 3.

• 8 (ou 125) se, e somente se,o número for divisível por 8 (ou 125).

• 11 se, e somente se, (n+m) - (x+z+u) for divisível por 11.

• 25 se, e somente se, o número for múltiplo de 25, ou = .....00.

Exemplo 5.20

Seja a = 75341250 , este número é divisível por 2, 5 e 125 , observe que o número formado pelos três últimos dígitos de a é 250 e 125 | 250 . Também o número a é divisível por 3 e 9, pois 3 | (7+5+3+4+1+2+5+0), análogo para 9.

Exemplo 5.21

Mostre que  n  N a expressão n3 - n é divisível por 6 (seis).

Demonstração.

Temos que P(n) : n3 - n

P(1) : 1^3-1 = 0 é divisível por 6.

Suponha que P(h) : h3 - h seja divisível por 6 sendo h  N.

Para n = h+1 temos P(h+1) :

(h+1)3-(h+1) = (h+1)[(h+1)2- 1] = h3-h + 3h(h+1) (5.7)

Observe que 3h(h+1) é divisível por 6.

Com efeito, se h = 1 temos que 3(1)(2) é divisível por 6. Suponha 3h(h+1) é divisível por 6  h  N.

Logo para h+1 segue que 3(h+1)(h+2) = 3h(h+1) + 6 sendo divisível por 6. Então em (5.7) da hipótese auxiliar para P(n) concluímos que  n  N a expressão n3-n é divisível por 6 (seis).

Exemplo 5.22

Determine a validade da seguinte proposição: (10^{n+1} + 10^n +1) é divisível por 3 para todo n  N.

Solução.

Seja S o conjunto dos números naturais que satisfazem:

(10n+1 + 10n +1) é divisível por 3,  n  N (5.8)

Se n = 1 tem-se na (5.8) que 102+101+1 = 111 é divisível por 3, logo a proposição é verdadeira.

Suponhamos para h  S em (5.8) a seguinte proposição seja verdadeira.

(10h+1 + 10h +1) é divisível por 3,  h  N (5.9)

Para h+1  S tem-se pela hipótese auxiliar (5.9) que:

10h+2 + 10h+1 +1 = 10(10h+1+10+1)-9

é divisível por 3.

Portanto, S = N e a fórmula (5.8) é válida.

Exemplo 5.23

Mostre que se n  N, então (n3+2n) é um número natural.

Demonstração.

Seja S o conjunto de números naturais tais que (n3+2n) é um número natural.

O número 1  S pois (13+2(1)) = 1.

Suponha que h  S; isto é (h3 + 2h) é um número natural.

Então, [(h+1)3+2(h+1)] =

[(h3+3h2+3h+1) + (2h+2)] = (h3+2h) + (h2 + h + 1) é um número natural.

Assim h  S implica (h+1)  S. Logo S = N pelo princípio de indução.

Exemplo 5.24

Mostre que 2n-1(an + bn) > (a+b)n com a+b > 0, a  b e n > 1, n  N. é verdadeira.

Demonstração.

Para n = 2 a desigualdade é da forma:

2(a2+b2) > (a+b)2 (5.10)

Como a  b, temos a desigualdade (a - b)2 > 0 que, somando (a+b)2 obtemos (a - b)2 + (a+b)2 > (a+b)2 isto implica a desigualdade (5.10); portanto a desigualdade é válida para n = 2.

Suponhamos que a desigualdade seja válida para n = h; isto é:

2h-1(ah + bh) > (a + b)h (5.11)

Mostraremos a desigualdade para n = h+1, isto é:

2h(ah+1 + bh+1) > (a + b)h+1 (5.12)

Multiplicando em (5.11) por (a + b) tem-se 2h-1(ah + bh)(a + b) > (a + b)h (a + b) = (a + b)h+1. Resta mostrar que 2h(ah+1 + bh+1) > 2h-1(ah + bh)(a + b).

Com efeito, 2h(ah+1 + bh+1) > 2h-1(ah + bh)(a + b)  (ah+1 + bh+1) > (ah + bh)(a + b) > (ah + bh)(a +b)  (ah+1 + bh+1) > (ah + bh)(a +b) . Esta última desigualdade podemos escrever sob a forma:

(ah - bh)(a - b) > 0 (5.13)

Suponha a > b, da hipótese a > 0 segue que a > | b |; portanto ah > bh, logo (5.13) sempre é verdadeira. Para o caso a < b, então ah < bh e a desigualdade é o produto de números negativos, logo (5.13) sempre é verdadeira. Assim se a desigualdade (5.12) vale para n = h, também vale para n = h+1.

Exemplo 5.25

Para que valores de n  N verifica a desigualdade 2n > n2 ?

Solução.

Quando n = 1 a desigualdade é verdadeira, tem-se 21 > 12.

Para n = 2 tem-se que 22 = 22, a desigualdade é falsa.

Para n = 3 a desigualdade 23 < 32, a desigualdade é falsa.

Para n = 4 tem-se que 24 = 42, a desigualdade é falsa.

Para n = 5 tem-se que 25 > 52, a desigualdade é verdadeira.

Suponhamos em geral que n > 4, logo se n= 5 a desigualdade é verdadeira.

Suponhamos que para todo k> 5 número natural temos 2k > k2.

Sabe-se em geral que para todo k  N é válida a desigualdade 2k > 2k + 1, então adicionando o resultado da hipótese auxiliar segue que 2k + 2k > 2k + 1 + 2k  2k+1 > (k+1)2.

Portanto, 2n > n2 para n=1 e n > 4.

Exemplo 5.26

Descubra o erro no seguinte raciocínio por indução:

Seja P(n): “Se a e b são inteiros não negativos tais que a+b  n  a = b”.

Observe que P(0) é verdadeira.

Sejam a e b inteiros tais que a+b  h+1, defina c = a-1 e d = b-1, então c + d = a + b - 2  h +1 -2  h. A verdade de P(h) implica que a = b; isto é P(h+1) é verdadeira.

Portanto P(n) é verdadeira para todo n  0, n  N.

Exemplo 5.27

Supondo que o número k = seja divisível por 21, mostre que o número h = a-2b+4c também é divisível por 21.

Demonstração.

Como k =  k = 100a + 10b + c  k + 5h = 21(5a+c), por hipótese k | 21  5h | 21.

Sendo m.d.c.{ 5, 21 } = 1  21 | h.

Portanto, h é divisível por 21.

Exercícios 5-2

1. Sejam, a, b, c, n  N, mostre cada uma das seguintes proposições são verdadeiras:

1. Se m.d.c{a, b} = 1 e c | a, d | b, então m.d.c{c, d} = 1

2. Se m.d.c{a, b} = m.d.c{a, c}= 1 , então m.d.c{a, bc} = 1

3. Se m.d.c{a, b}= 1 , então m.d.c{a^n, b^k} = 1,  n, k  N

4. Se m.d.c{a, b} = 1 , então m.d.c{a+b, a-b} = 1 ou 2.

5. Se m.d.c{a, b} = 1 , então m.d.c{a+b, a2-ab+b2} = 1 ou 3.

6. Se m.d.c{a, b} = 1 e se d | (a+b), então m.d.c{a, d} = m.d.c{b, d}= 1.

2. Para cada uma das seguintes proposições em N, demonstre ou considere um contra-exemplo:

1. Se b2 | n, a2 | n e a2 b2, então a | b.

2. Se b2 é o maior quadrado que divide n, então a2 | n implica a | b.

3. Se an | bn então a | b.

4. Se nn | mm, então n | m.

5. Se an| 2bn e n > 1, então a | b.

3. Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

4. Provar que se n > 1, então n4 + 4 é número composto.

5. Mostre que, se a e b são números tais que não sejam divisíveis por 3 então, a6-b6 é divisível por 9.

6. Quais os dígitos que temos a substituir nas letras a e b do número 1a8b2 para que seja divisível por 4 e por 9?

7. Quais são as condições a satisfazer a e b para que a2+b2 seja múltiplo de 7?

8. Mostre que 32n+3+40n+37 é divisível por 64 para todo n  N.

9. Determine o menor número de modo que ao multiplicar por 4662, o produto resulte ser divisível por 3234.

10. Mostre que a soma dos 2n+1 números naturais consecutivos é divisível por 2n+1.

11. Mostre que se k = na+pb é divisível por n-p, então o produto h = (a+b)(n+p) também é divisível por n-p.

12. Mostre que o número 32n+ 7 é um múltiplo de 8 para todo n  N.

13. O resto da divisão de um número k por 4 é 3 e o resto da divisão do número k por 9 é 5. Determine o resto de k por 36.

14. Mostre que se um número primo p não divide a a, então (p, a) = 1.

15. Consideremos os números naturais ímpares tomados em ordem crescente: 1, 3, 5, 7, . . . . Indiquemos o primeiro com a1, o segundo com a2, o terceiro com a3, e assim sucessivamente. Determine uma fórmula que relacione o número ímpar an e seu índice n.

16. Demonstre que o dobro da soma dos n primeiros números naturais é: n(n+1)

17. Determine uma fórmula para calcular a soma dos n primeiros números naturais ímpares.

18. Mostre que seis vezes a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é: n(n+1)(2n+1)

19. Sejam a, b  N com b  0, e seja r o resto da divisão Euclidiana de a por b. Então m.d.c.{ a, b}=m.d.c.{ r, b }.

20. Determine r, s  Z tais que 5480r + 1780s = m.d.c.{ 5480, 1780 } = 20 .

21. Ao dividir 4373 e 826 por um número k, obtemos 8 e 7 como resto respectivamente. Determine o número k.

22. Suponhamos que m.m.c.{ a, b}=297 e a2+b2 = (10)(13)(5)(34). Determine os números a e b.

23. Mostre que o quadrado de todo número ímpar, é múltiplo de mais uma unidade.

24. Determine todos os números inteiros positivos k de três dígitos tais que sejam divisíveis por 9 e 11.

25. Determine os dígitos a e b para que o número 1234 seja divisível por 8 e 9.

26. Sejam a  5 e n  N. Mostre que o número h = a8n+3a4-4 é divisível por 5.

27. Dado qualquer número n  N da forma n = as. 10s + as-1. 10s-1 + . . . a1. 101 + a0, mostre que:

1. n é divisível por 3 se, e somente se, a_s+as-1 + . . . a1+a0 é divisível por 3.

2. n é divisível por 4 se, e somente se, 2a_1 + a_0 é divisível por 4.

3. n é divisível por 8 se, e somente se, 4a2 + 2a1 + a0 é divisível por 8.

4. n é divisível por 9 se, e somente se, as + as-1 + . . . a1 + a0 é divisível por 9.

28. Utilizando o princípio de indução matemática, verifique a validade de cada um dos seguintes enunciados:

1. (n^2 + n) é divisível por 2,  n  N.

2. (n^3 + 2n) é divisível por 3,  n  N.

3. n(n+1)(n+2) é divisível por 6.  n  N, n  0.

4. (3^{2n} - 1) é divisível por 8,  n  N.

5. (10^n -1) é divisível por 9,  n  N.

6. 2n  n2;  n  N, n  4.

7. 3n  (1 + 2n);  n  N.

8. 8 é um fator de 5^{2n} + 7  n  N, n  1.

29. Determine a validade das seguintes proposições; justifique sua resposta.

1. Se x, y  R, com 0 < x < y , então xn < yn  n  N, n  0.

2. (4n -1) é divisível por 3,  n  N.

3. (8n - 5n) é divisível por 3,  n  N.

4. 4n > n4 ;  n  N, n  5.

5. 22n+1+32n+1 é múltiplo de 5.

30. Demonstrar que:

1+ 32 + 52 + 72 + . . . + (2n-1)2 =

31. Demonstrar que a soma dos cubos dos n primeiros números naturais é igual a

32. Mostre o seguinte:

1. Se (a, s) = (b, s) = 1, então (ab, s) = 1.

2. Se p é um número primo e p| ab, onde a, b  Z, então p | a ou p| b.

33. Mostre que, se a  N tal que a > -1 então, para todo n  N+ temos a desigualdade: (1+a)n  1+na.

34. Mostre que a soma dos divisores de um número K=p1^{n1} p2^{n2}p3^{n3} . . . p{m-1}^{nm-1}pm^{n_m} é dada pela igualdade:

S(K) = . . . .

35. Mostre que o produto dos divisores de um número k=p1^{n1} p2^{n2}p3^{n3} . . . p{m-1}^{nm-1}pm^{n_m } é

P(k) =

36. Mostre que 2 e 3 são as únicas raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0.

37. Determine a soma: S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . + (n+1)xn.

Miscelânea 5-1

1 Determine a soma: 1 + 11 + 111 + 1111 + . . . + 111111111. . . 1 , se o último somando é um número de n dígitos.

2 Determine a soma: S = nx + (n-1)x2 + (n-2)x3 + . . . + 2xn-1 + xn.

3 Determine a soma: S = + + + + . . . +

4 Mostre que, se m  N são válidas as seguintes desigualdades:

1. + + + . . . + >

2 + + + . . . + > 1

5 Prove que, para qualquer inteiro positivo n é valido o seguinte:

+ + + + . . . + <

6 Mostre que, se | x | < 1, para qualquer inteiro n  2, então é válida a desigualdade: (1 - x)n + (1 + x)n < 2n.

7 Mostre que se ab  0, então ab  min.{a2, b2}.

8 Mostre por indução sobre n, que:

1. Se x = p + , onde p e q são racionais, e n  N -{0} então x^n = a + b sendo a e b números racionais.

2. Mostre que: (p - )n = a - b .

9 O símbolo é usado para representar a soma de todos os ai para valores do inteiro i desde 1 até n; isto é = a1 + a2 + a3 + . . . + an-1 + an. Mostre que: =

10 Calcular a soma S = sendo ai = k uma constante.

11 Mostre que: | |  .

12 Prove que se m  N -{0}, então: 1m + 2m + 3m + . . . (n-1)m + nm  nm+1, n  1

13 Mostre por indução que para qualquer inteiro k > 1 e n  N -{0}:

1. nk+1  (k+1).[1 + 2 k + 3 k + . . . + (n-2) k + (n-1)k]

2. k .  (k -1).[1 + + +. . . + + ]

14 Mostre por indução o seguinte:

1. A desigualdade de Cauchy :  .

2. (1+q)(1+q2)(1+q4) . . . (1+q2(n-1))(1+q2n) = q  1.

15 Mostre a seguinte igualdade: = nb +

16 Define-se o coeficiente binomial = se 0  m  n. Mostre que:

1. = + se 1  m  n.

2. (a + b)n = an-jbj  a, b  R.

17 Mostre que: 1 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - . . . + (-1)n-1. n2 = .

18 Mostre que: 1 + x +x2 + x3 + . . . + xm=  m  N, x  1

19 Mostre que: 3. [1  2 + 2  3 + 3  4 + . . . + n(n+1)] = n(n+1)(n+2)  n N, n  0 .

20 Mostre que: sen x + sen 2x + sen 3x + . . . + sen nx = .sen

21 Demonstrar que: (1+i) n = ( )n[cos + i sen ] n  N.

22 Demonstrar que: (cos x + i sen x)n = = cos nx + i sen nx  n  N.

23 Demonstrar que para todo número natural n > 1 tem-se:

+ + + . . . + >

24 Demonstrar que: 2n-1(an+bn) > (a+b)n onde a+b > 0, a  b e n é um número natural maior que 1.

25 Mostre que, para números naturais x e y, e n  N n \geq 2 são válidas as seguintes igualdades:

1. xn - yn = (x - y)(xn-1 + xn-2.y + xn-3.y2 + . . . + x2.yn-3 + x.y n-2 + y n-1)

2. xn + yn = (x + y)(x n-1 - x n-2.y + x n-3.y2 - . . . +(-1) n-3 x2.y n-3 - x.y n-2 + y n-1) somente para n ímpar.

26 Mostre que, se o produto de n números positivos é igual a 1 (um), a soma dos mesmos não é menor que n.

27 Mostre que todo número natural podemos escrever como o produto de números primos.

28 Mostre por indução que: an =  n  N é um número natural.

29 Mostre que, se a1, a2, a3, . . . , an são números reais tais que | a1 |  1 e | a_n - an-1 |  1, então | an |  1.

30 Mostre que, para todo inteiro positivo n e para p > 0 número real a seguinte desigualdade é válida: (1+ p)n  1 + np + p2 .

31 Mostre que, para qualquer x > 0 e para todo número natural n, a seguinte desigualdade é verdadeira: xn + x n-2 + x n-4 + . . . + + +  n+1

32 Utilizando o princípio de indução matemática, mostre que:

+ + + . . . + =  n  N, n  0

33 Mostre que, se a1, a2, a3, . . . , an , n  N não nulos, tem-se:

+ + + ,. . . . + +  n

34 Mostre que, para quaisquer que sejam os números positivos diferentes a e b é válida a desigualdade: < .

35 Mostre que: . . . =  n  N.

36 Seja r  1.

1. Deduzir que, a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . . + arn-1 = a

2. Mostre por indução sobre n que: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . . + arn-1 = a

37 Demonstrar a identidade : cos . cos 2. cos 4 . . . cos 2n =