3.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

3.2.1 União de conjuntos.

Definição 3.6 União de conjuntos.

A união de dois conjuntos A e B, pelo Axioma (3.2) é a classe indicada por A  B, e definida pelo conjunto:

{ x /. p(x)  x  A  x  B }

Figura 3.7

Em alguns livros a união dos conjuntos A e B denota-se por A + B e, é chamado a soma conjuntista de A e B.

O conectivo lógico “ou” é no sentido “inclusivo” de fato, quando dizemos que x está em A ou x está em B, queremos dizer que x está em pelo menos um dois conjuntos com a possibilidade de estar em ambos.

Graficamente podemos indicar a união de dois conjuntos A e B pela Figura (3.7), onde A é o paralelogramo da esquerda, B o da direita e A  B a parte sombreada.

Ejemplo 3.29

• Para qualquer conjunto A, temos que A  A = A.

• Se B é um subconjunto do conjunto A, então A  B = A.

• Se A = { x1, x2 } e B = { y1, y2, y3 }, então:

A  B = { x1, x2, y1, y2, y3 }

Propriedade 3.8

1. A  B = B  A . . . comutativa.

2. (A  B)  C = A  (B  C) . . . associativa.

3. A  A = A . . . idempotente

4. A   = A . . . identidade

5. A  B  A  B = B

6. (A  C ) (B  C)  (A  B)  C

7. A  (A  B)  B  (A  B)

Demonstração. (1)

• Demonstração por pertinência de elementos

1. x  A  B . . . hipótese.

2. x  A  x  B . . . def de 

3. x  B  x  A . . . tautologia

4. x  B  A . . . def. de 

5. (A  B)  B  A . . . (1) - (4), def. de 

6. x  B  A . . . hipótese.

7. x  B  x  A . . . def de 

8. x  A  x  B . . . tautologia

9. x  (A  B) . . . def. de 

10. (B  A)  A  B . . . (5) (9), def. de 

Portanto de (5) e (10) seque que A  B = B  A

Demonstração. Por tautologias.

Na verdade, a demonstração é a mesma da anterior, somente que utilizamos fortemente a aplicação da lógica, ao usar simbologia das proposições.

Sejam p: x  A e q: x  B, um esquema lógico representativo de A  B = B  A é p  q  q  p. Se logramos mostrar que este esquema A  B = B  A é tautologia então a igualdade será verdadeira.

No “Capítulo I” já mostramos que é tautologia (lei comutativa para a disjunção).

Portanto a A  B = B  A igualdade é válida.

Demonstração (5)

1. x  (A  B) . . . hipóteses.

2. x  A  x  B . . . def. de 

3. A  B . . . hipóteses.

4. x  B . . . (2)-(3)

5. x  (A  B)  x  B . . . (1)-(4)

6. (A  B)  B . . . def. de 

Inversamente (  )

7. Seja x  B . . . hipótese.

8. x  B  x  A . . . tautologia p  p  q

9. x  (B  A) . . . def. de 

10. x  (A  B) . . . prop. A  B=B  A

11. B  (A  B)

Portanto, de (6) e (11), se A  B  A  B = B

A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor.

3.2.2 Interseção de conjuntos.

Definição 3.7 Interseção de conjuntos.

A interseção de dois conjuntos A e B, pelo Axioma (3.2) é a classe indicada por A  B, é definida pelo conjunto:

A  B = { x /. p(x)  x  A  x  B }

Figura 3.8

A interseção é portanto, o conjunto de todos os elementos que estão tanto no conjunto A como em B.

Graficamente podemos indicar a interseção de dois conjuntos A e B pela Figura (3.8), observe que, nela o conjunto A é o paralelogramo da esquerda, B o da direita e A  B a parte sombreada.

Exemplo 3.30

• Para qualquer conjunto A, temos que A  A = A.

• Se B é um subconjunto do conjunto A, então: A  B = B.

• Se A = { x1, x2 } e B = { x1, y2, y3 }, então: A  B = { x1 }

Propriedade 3.9

1. A  B = B  A . . . comutativa.

2. (A  B)  C = A  (B  C) associativa.

3. A  A = A . . . idempotente

4. A   =  . . . identidade

5. A  B  A  B = Al

6. (A  B)  A e (A  B)  B

7. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Demonstração. (2.)

1. x  (A  B)  C . . . hipótese.

2. x  (A  B)  x  C . . .def. de 

3. ( x  A  x  B )   C .. . def. de 

4. x  A  (x  B  x  C ) . . . . .tautologia ((p q)  r  p  (q  r) )

5. x  A  (B  C) . . . def. de 

6. (A  B)  C)  A  (B  C) . (1)-(5), def. de 

Inversamente (  ).

7. x  A  (B  C) . . . hipótese.

8. x  A  x  (B  C ) . . .def. de 

9. x  A  (x  B  x  C ) .. . def. de 

10. ( x  A  x  B )   C . . tautologia ((pq)  r  p  (q r) )

11. x  (A  B)  x  C . . .def. de 

12. x  (A  B)  C . . . def. de 

13. A  (B  C)  (A  B)  C . . . (7)-(12), def. de 

Portanto, de (6) e (13) temos que A  (B  C) = (A  B)  C

Demonstração. (4)

1. x  A   . . . hipótese.

2. x  A  x   . . . def. de 

3. x   . . . tautologia (p  q  q)

4. (A  )   . . . (1)-(3)

5.   (A  ) . . . def. de 

Portanto, de (4) e (5) tem-se que A  =  .

Demonstração. (7)

A demonstrar que:

i). A  (B  C)  (A B)  (A  C)

ii). (A  B)  (A  C)  A  (B  C)

Com efeito, para a parte (i).

1. Seja um elemento x  A  (B  C) . . . hipótese.

2.  x  A e x  (B  C) . . . def. de 

3.  x  A e x  B ou x  C . . . def. de 

4.  (x  A e x  B) ou (x  A e x  C) . . . tautologia

5.  x  (A  B)  (A  C) . . . def. de , def. 

6. Portanto A  (B  C)  (A  B)  (A  C) . . . def. de 

Inversamente (ii)

7. Seja um elemento x  (A  B)  (A  C) . . . hipótese.

8.  x  (A  B) ou x  (A  C) . . . def. 

9.  (x  A e x  B) ou (x  A e x  C) . . . def. 

10.  (x  A e x  B ) ou x  C . . . tautologia.

11.  x  A e x  (B  C) . . . def. 

12.  x  A  (B  C) . . . def. 

13. Portanto (A  B)  (A  C)  A  (B  C) . . . def. 

Logo, A  (B  C) = (A  B)  (A  C) pelo mostrado em i) e ii).

A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor.

Definição 3.8 Conjuntos disjuntos.

Dois conjuntos são ditos disjuntos se sua interseção é a classe vazia.

Isto é, A e B são disjuntos se A  B =  .

Exemplo 3.31

Se A é o conjunto de todos os números naturais pares e B o conjunto de todos os naturais ímpares, então A  B é a classe vazia.

Exemplo 3.32

Pede-se informações sobre o número de professores que ensinam Cálculo III, História e Geografia e se obtém o seguinte:

• A quarta parte de professores que ensinam Cálculo III, também ensinam História;

• só dois dos professores ensinam nos três cursos;

• só um dos professores ensina Cálculo III e Geografia;

• dos quatorze professores de Geografia, a metade também são dos outros cursos;

• o triplo do número de professores que ensinam só Cálculo III ensina História;

Dar uma informação detalhada, sabendo-se que são 72 professores.

Solução

Figura 3.9:

Considerando diagrama de Venn da Figura (3.9) tem-se:

3(4x) - ((x - 2) + 2 - 4) = 11x + 4

Resolvendo esta igualdade, temos

16x + 8 = 72  16x = 64 

 x = 4.

História: 12x

Somente cálculo: 4x

Somente cálculo e geografia: 1

Somente geografia: 7

Assim de acordo com o diagrama da Figura (3.9) temos que o número de:

Professores que ensinam Cálculo III e História são 4.

Aqueles que ensinam somente História são 48.

Os professores que ensinam somente Cálculo III são 16.

3.3.3 Diferença de conjuntos.

Definição 3.9 Diferença de conjuntos.

O conjunto diferença de A e B (nessa ordem) , pelo Axioma (3.2) é a classe indicada por A - B, é o conjunto

{ x /. x  A  x  B }

Figura 3.10

Graficamente, representa-se pela Figura (3.10).

Observe que para qualquer conjunto A, temos a igualdade A = (A - B)  (A  B) ainda mais; o conjunto B  (A - B) é a classe vazia.

Propriedade 3.10

Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto universal U tem-se:

1. A - B  B - A

2. A - A = 

3. A -  = A

4. A - U = 

5. (A - B)  A

6. Os conjuntos (A - B), (A  B) e (B - A) são disjuntos dois a dois.

7. Se A  B  A  (B - A) = B

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Exemplo 3.33

Dados os conjuntos:

A = { x /. x é número natural divisor de 12 }

B = { x /. x é número natural divisor de 18 }

C = { x /. x é número natural divisor de 16 }

Determine: a) (A-B)  (B-C) b) (A-B)  (B-C)

Solução

Por extensão, os conjuntos do problema, podemos escrever:

A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }, B={ 1, 2, 3, 6, 9, 18} e C = { 1, 2, 4, 8, 16 }.

Por outro lado, A-B = { 4, 12 } e B-C = { 3, 6, 9, 18 }

Solução (a)

(A-B)  (B-C)={ }= 

Solução (b)

(A-B)  (B-C)={ 3, 4, 6, 9, 12, 18 }

Propriedade 3.11

Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto universal U tem-se:

1. A  A' = U

2. A  A' = 

3. (A')' = A

4. U ' =   = U

5. (A  B)' = A'  B'

6. (A  B)' = A'  B'

7. A - B = A  B'

8. A  B  B'  A'

Demonstração. (5)

1. x  (A  B)' . . . hipótese.

2. x (A  B) . . . def. de complemento

3. x  A  x  B . . . tautologia.

4. x  A'  x  B' . . . def. de complemento.

5. x  (A'  B') . . . def. de 

6. x  (A  B)'  x  (A'  B') . . (1) - (5)

7. (A  B)'  (A'  B') . . . def. de 

8. x  (A'  B') . . . hipótese.

9. x  A'  x  B' . . . def. de 

10. x A  x  B . . . def. de complemento.

11. x  (A  B) . . . tautologia

12. x  (A  B)' . . . def. de complemento.

13. (A'  B')  (A  B)' . . . (8)-(12) complemento.

Portanto de (7) e (12), segue que (A'  B') =(A  B)'

Demonstração. (8)

1. x  B' . . . hipótese.

2. x  B . . . def. de complemento.

3. A  B . . . hipótese.

4. x  A . . . (3), (2)

5. x  A' . . . def. de complemento.

6. x  B'  x  A' . . . (1)-(5)

7. B'  A' . . . def. de 

Portanto, A  B  B'  A'

A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor.

3.2.4 Diferença simétrica de conjuntos.

Figura 3.11

A diferença simétrica (ou soma booleana) de conjuntos A e B (nessa ordem) é denotada por A  B e define-se como o conjunto:

A  B = (A  B) - (A  B)

A parte sombreada mostrada na Figura (3.11) representa a diferença simétrica entre os conjuntos A e B.

Exemplo 3.34

Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X. Demonstre que:

i) A  B =   A = B

ii) A = CXB então A  B = X

Demonstração. i)

Suponhamos A  B =  , então (A  B) -(A  B) =  , isto implica que A  B =  e A  B =  , logo A  B = A  B.

De onde A  B  A, assim A = B.

Por outro lado, se A = B, tem-se que A  B =( A B) - (A  A) = A - A =  .

Portanto, A  B =   A = B

Demonstração ii)

Pelo fato A = CXB segue que A = X - B, isto é A = X  B', de onde A  B = X e A  B =  .

Logo, A  B = X -  = X.

Portanto, se A = CXB então A  B = X.