6.4 OPERAÇÕES BINÁRIAS

Definição 6.20 Operação binária.

Dado um conjunto não vazio A , dizemos operação binária em A a toda relação de A  A em A .

Denotando a operação binária com * , temos que:

* : A  A  A

(a, b)  a * b

indica-se que a cada par ordenado (a, b)  A  A corresponde o elemento a * b  A.

Exemplo 6.21

• A adição é uma operação binária no conjunto de números reais R.

• A subtração é uma operação binária no conjunto de números inteiros Z; porém não no conjunto de números naturais N.

Exemplo 6.22

Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } e a operação * definida como se indica na Tabela (6.1)

Observe que para cada par (a, b) , o resultado da operação * encontra-se no cruze da fila que começa com a e a coluna que começa com b .

* 1 2 3 4a

1

2

3

4 1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

Tabela 6.1

O resultado da operação 4 * 3 é o elemento 2 que encontra-se assinalado. Observação 6.3

1ª. A operação binária, também é conhecida como lei de composição interna.

2ª. Quando * seja uma operação binária sobre um conjunto A dizemos que * tem a propriedade da clausura.

3ª. Se * é uma operação binária sobre um conjunto A e existe B  A com a propriedade que se, a, b  B  a * b  B , dizemos que B é fechado sob a operação * .

Em geral como A  A , então A é fechado sob qualquer operação binária definida em A .

6.4.1 Operação binária univocamente definida.

Se * é uma operação binária num conjunto A, e R uma relação de equivalência em A , operação * em A , está univocamente definida respeito da relação R se, e somente se: (a R b  c R d)  (a * c) R (b * d) isto é: (a, b)  R  (c, d)  R  (a * c, b * d)  R .

Exemplo 6.21

Sejam a operação de adição em N e a relação de equivalência em N definida por R = { (x, y)  N2 /. x = y } . Então a operação de adição está univocamente definida em N com respeito a R .

Observe que,  a, b  N , tem-se que a + b  n ; por outro lado se (a = b  c = d )  a+c = b+d,  a, b., c, ;d  N.

6.4.1 Sistema matemático.

Definição 6.21 Sistema matemático.

Chama-se sistema matemático a um conjunto não vazio A , no qual uma o mais operações estão univocamente definidas com respeito a uma relação de equivalência.

Um sistema matemático composto de um conjunto A e uma operação * é denotado por (A, *) ; quando o sistema estiver composto por A e as operações * e  o denotamos por (A, *, ) .

Exemplo 6.24

Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} uma relação de equivalência sobre A e * uma operação definida pela Tabela (6.2).

Mostre que (A, * ) é um sistema matemático.

* 1 2 3 4a

1

2

3

4 1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

Tabela 6.2

Solução.

O conjunto A  , por outro lado, * é uma lei de composição interna, e se (a, b)  R  (c, d)  R  (a * c, b * d)  R

Exemplo 6.25

(N, +) onde + é a operação de adição em N é um sistema matemático.

Observe que N  , e a adição em N está univocamente definida com respeito à identidade.

Exemplo 6.26

(R, +, .) onde + é a operação de adição, e . a operação de multiplicação em R, é um sistema matemático.

Observe que R   e, em R as operações de + e . estão univocamente definidas pela relação de igualdade.

Exemplo 6.27

Os grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais são quatro exemplos de sistemas matemáticos.

6.4.3 Classificação dos sistemas matemáticos.

Os sistemas matemáticos classificam-se em: a) Sistema numérico. b) Grupos. c) Anéis. d) Corpos

Definição 6.22 Sistemas numéricos.

Um sistema matemático da forma (A, *, ) chama-se sistema numérico quando:

a) O operador * é comutativo e associativo.

b) O operador  é comutativo e associativo.

c) Uma das operações seja distributiva respeito da outra.

Exemplo 6.28

São sistema numéricos (N, +, .), (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) onde + e . são as operações usuais de adição e multiplicação.

Exemplo 6.29

Sejam A = { a, b } e *,  as operações definidas pela Tabela (6.3)

* a b  a b

a

b a b

b a a

b a a

b b

Tabela 6.3

Logo (A, *,  ) é um sistema numérico.

Definição 6.23 Número.

São chamados de número, cada elemento do conjunto A de um sistema numérico.

Logo de acordo com esta definição os elementos do conjunto A do Exemplo (6.28) cada um de eles é um número.

A relação de equivalência de um sistema numérico não necessariamente é a identidade, porém freqüentemente o é.

Definição 6. Grupo.

Um sistema matemático da forma (G, *) diz-se que é um grupo com a operação * se, e somente se satisfaz as seguintes propriedades:

1. Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c)  a, b, c  G .

2. Existência de um elemento neutro:  e  G tal que e * a = a* e = a  a  G

3. Existência de um elemento simétrico a'  G para todo a  G de modo que a*a' = a' * a = e

Quando a*b = b*a para todo a, b  G , o grupo é denominado grupo abeliano ou grupo comutativo.

Se o conjunto G é finito, o número de seus elementos é chamado de ordem do grupo.

Exemplo 6.30

• O conjunto dos números inteiros Z em relação à adição.

• As rotações de um polígono regular em torno de um de seus vértices, em geometria plana constituem um grupo comutativo.

Exemplo 6.31

O conjunto A = { -2, -1, 0, 1, 2 } com a operação usual de adição, não é um grupo.

Observe neste exemplo que a adição é associativa em A , o elemento neutro é o zero, e cada elemento de A tem inverso em A. O fato não ser grupo é que (A, +) não é um sistema matemático, + não é operação binária em A ; isto é A não é fechado respeito adição. Temos que 2  A  1  A porém 2+1  A.

Definição 6.25 Subgrupo.

Dado um grupo (G, *) , chama-se subgrupo de G à parte H de G que constitua um grupo munido da mesma operação * .

Exemplo 6.33

O conjunto dos números inteiros 2Z é um subgrupo comutativo de Z em relação à adição.

Definição 6.26 Anel.

Um sistema matemático da forma (A, *, ) diz-se que é um anel se, e somente se satisfaz as seguintes propriedades:

1º. (A *) é um grupo abeliano.

2º. A operação  em A é associativa.

3º. A operação  é distributiva respeito à operação * .

A = { -2, -1, 0, 1, 2 }

Exemplo 6.33

O conjunto A = { , ,  , } com as operações * e  definidas na Tabela (6.4) é um anel.

* 

 













 

Tabela 6.4

Exemplo 6.34

Os seguintes sistemas matemáticos são exemplos de anéis: (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) , onde + e . são as operações usuais de adição e multiplicação.

Definição 6.26 Anel comutativo.

Diz-se que o anel (A, *,  ) é comutativo, quando a operação binária  for comutativa.

Definição 6.27 Anel com unidade.

Diz-se que o anel (A, *, ) tem unidade quando a operação binária  possui elemento neutro.

Este elemento neutro é chamado de unidade do anel.

Exemplo 6.35

O conjunto dos números inteiros assim como o conjunto dos números irracionais proporcionam exemplos de anel comutativo com unidade. Os racionais tem a propriedade adicional que os inteiros não ao têm, cada elemento distinto de zero possui inverso multiplicativo.

Exemplo 6.36

Seja A = { a, b } , e * e  as operações definidas na Tabela (6.5)

* a b  a b

a

b a b

b a a

b a a

a b

Tabela 6.5

Tem-se que (A, *, ) é um anel com unidade; o elemento neutro b é a unidade para a operação .

Definição 6.29 Corpo.

Um corpo A é um anel comutativo com elemento unidade que cumpre a seguinte condição:

Para cada a  A onde a  0 , existe um elemento a*  A tal que a . a* = 1

Isto é, (A, *, ) é um corpo se:

1) (A, *, ) , é um anel comutativo.

2) (A, *, ) , é um anel com unidade.

3) Cada elemento a  A não zero tem um simétrico respeito da operação .

Exemplo 6.37

O conjunto dos números reais R proporciona exemplo de corpo.

Exemplo 6.38

O sistema matemático (A, *, ) dado no Exemplo (6.36) é um corpo.

Exercícios 6-1

1. Mostre que o conjunto N é bem ordenado.

2. Mostre que 1 é o supremo do conjunto E = { x / . x = , n  N} .

3. Seja R a relação em A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } definida por “a divide b”. Determine se R é de ordem parcial, ilustrar mediante diagrama.

4. Mostre que a relação R definida por “A é equipotênte a um subconjunto de B” é de ordem parcial na família de conjuntos.

5. Sejam os conjuntos A e B totalmente ordenados. Seu produto cartesiano A  B pode-se ordenar totalmente? Justificar sua resposta.

6. A relação “x divide a y” no conjunto de números naturais, define uma ordem parcial. Quais dos seguintes subconjuntos de N são totalmente ordenados?

1. A = { 4, 3, 15 } 2. B = { 2, 4, 8, 16 }

3. C = { 1, 2, 3, . . . , } 4. D = { 5 }

7. Caso existam, determine o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo para cada um dos seguintes conjuntos:

1. B = { x  n / . | x2-4 | < 16 }

2. A = { x  z / . | x2-9 | + 3| x-4 | < 16 }

3. C = { x  n / . | x2-x+1 | < 3 }

8. Se F = { 0, 1 } e E um conjunto qualquer, A subconjunto de E, a aplicação A de E em F tal que A(x) = 0 se x  A, A(x) = 1 se x  A

1. Se E = { a, b, c, d } e A = { a, b, d } , represente o gráfico de A(x)

2. Se A e B são dois conjuntos quaisquer de E , A' o complemento de A com respeito a E . Mostre que qualquer que seja x  E

a) AB(x) = A(x).  B(x) b) 1-A(x) = ’ A(x)

c) AB(x) = A(x) +  B(x)- A(x) B(x)

3. No conjunto das aplicações de E em F , definem-se as operações (• ) e (* ) por: A .B =AB e A *  B =AB . Demonstre que: A.A = A e A *  A =  A.

9. Determine se o conjunto A para o qual está definida a lei de composição interna * é um grupo:

1. A = Z e * é a multiplicação usual de inteiros.

2. A = Q e * é a multiplicação usual em Q.

3. A = { q  Q /. q > 0 } e * é a multiplicação usual em números racionais.

4. A = { z  Z /. z = } e * é a multiplicação usual em Z.

5. A = R e * é a adição usual em números reais.

6. A = Z e * define-se por a * b,  a, b  Z.

10. Mostre que a operação * definida por a * b = a + 2b +3ab , é uma lei de composição interna sobre o conjunto dos números naturais N. Calcular 1 * 2, 5 * 3, 7 * 15 .

11. Mostre que a multiplicação de números reais, não é uma operação fechada no conjunto A = { 1, 5 }

12. Determine se a subtração de números inteiros é uma operação fechada no conjunto de números inteiros positivos. Idem para o conjunto dos números inteiros múltiplos de três.

13. Determine todas as soluções das seguintes equações:

1. 4x  3 (mod 7) 2. 8x  6 (mod 14)

3. 2x  3 (mod 5) 4. 5x  3 (mod 4)

14. Demonstre que o conjunto Z4 das classes residuais módulo 4 , é fechado respeito da operação  da adição das classes residuais.

15. Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e * uma operação binária definida pela Tabela 6.5. Mostre que a operação * está univocamente definida em A respeito da relação de identidade

R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) }  1 2 3 4

1

2

3

4 1 2 3 4

2 3 4 2

3 4 1 2

4 2 2 3

16. Temos em cada exercício um conjunto e uma operação binária. Determine se cumpre as propriedades de: clausura, associatividade, comutatividade.

1. O conjunto dos inteiros Z, com a operação * definida por: a * b = .

2. O conjunto Q , com a operação  definida por: a  b = .

3. O conjunto P(A) , potência de A , com a operação  união de conjuntos.

4. O conjunto P(A), potência de A , com a operação  intersecção de conjuntos.

5. O conjunto A = { 0, 1, 2, 3}, com a operação  de multiplicação módulo 4.

17. Para o exercício anterior, caso exista, assinale o elemento neutro.

18. Demonstrar que a operação m , máximo divisor comum de dois números não é distributiva pela esquerda respeito da adição de números inteiros positivos.

19. Demonstrar que o conjunto de números reais R1 = { a + b /. a, b  Z } forma um grupo com a operação de adição.

20. Seja G = { 5a /. a  Z } . Mostre que (G, +) é um grupo.

21. Determine se o conjunto G = { -2, -1, 0, 1, 2 } junto com a operação usual de multiplicação constitui um grupo.

22. Demonstre que, caso exista o elemento neutro respeito de uma operação binária * sobre um conjunto A , é único.

23. Mostre que se (G, *) é um grupo e para a  G , então o elemento a' (inverso de a ) é único.

24. Sejam (G1, *), (G2, ) grupos abelianos e (G3,  ) um grupo não abeliano. Determine em G1G2G3 uma estrutura de grupo. Este grupo será abeliano?

25. Mostre que o conjunto A = { a /.a = 2x-1, x  Z } com a adição e multiplicação definida para números inteiros não é um anel.

26. Demonstre que o conjunto dos números reais R junto as operações usuais de adição e multiplicação constitui um corpo.

27. No conjunto dos números reais, definimos as operações * e  como segue: a * b = 2a+3b-5, a  b = a2-3ab . Segundo estas definições resolver as seguintes equações:

1. x * 4 = 8 2. 3  x = 1 3. 4x * 1 = 5  2 4. 5  2x =  x

28. Consideremos M o conjunto dos movimentos aplicados a um quadrado ABCD que conservam sua posição no plano.

• E : Movimento idêntico (identidade)

• S1 : Simetria axil, de eixo a mediatriz dos lados AB e CD .

• S2 : Simetria axil, de eixo a mediatriz aos lados AD e BC .

• S3 : Simetria axil, de eixo a diagonal BD .

• S4 : Simetria axil, de eixo a diagonal AC .

• S5 : Simetria central, de centro o centro do quadrado.

• S6 : Giro de 90^o (dextrógiro) com centro no centro do quadrado.

• S7 : Giro de 90^o (evógiro) com centro no centro do quadrado.

Definamos em M a operação * considerando como resultado de efetuar * entre dois elementos de M o movimento que se obtém aplicando sucessivamente o primeiro movimento e o segundo S_2 * S_1 , logo:

1. Obter S1 * S2, S3 * G1, G1 * G2, G1 * S3.

2. Formar uma tabela da operação * .

3. (M, * ) tem estrutura de grupo?. É abeliano?

4. Provar que S3 * S2 = S1 * S3 . Podemos deduzir que S_2 = S_1 ?

Bibliografia

[1] Apostol T. M.- Introducción a la Teoría Analítica de los Números.- Editora Reverte S.A., 1980.

[2] Burton W. Jones.- Teoría de los Números}- Biblioteca de Matemática Superior. Editorial F. Trillas, S. A. México, 1969.

[3] Cortez M. Walter.- Iniciación a las Matemáticas Superiores.- Notas de Aula.- UNMSM; Editora San Marcos 1970.

[4] Eves Howard. Introdução à História da Matemática 2^a Edição Editora da UNICAMP.

[5] Halmos R. Paul.- Teoria ingênua dos conjuntos.- Coleção Clássicos da Matemática.- Editora Ciência Moderna, 2002.

[6] Irving M. Copi.- Introducción a la Lógica.- Manuales EUDEBA, 1973.

[7]Oliveira, Augusto J. F. Lógica e Aritmética. Brasília: Editora da UNB 2004.

[8]Pinedo Christian Q.- Estruturação para o Ensino da Matemática.- Pró-ciênias.- UTF-PR Pato Branco, Vol 2, 1999.

[9]__________________História da Matemática I.- Notas de Aula N^o 5- UTF-PR Pato Branco 2005.

[10] _______________ Introdução as Estruturas Algébricas.- UFT - Campus de Araguaína, 2007, pp 230.

[11]Polya, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciencia 1995.

[12] Russell Bertrand.- Introdução à Filosofia Matemática.- ZAHAR Editores, 1981.

[13] Symour Lipschutz.- Teoría de Conjuntos.- Libros McGraw - Hill, 1969.

[14] Spivak Michel.- Calculus.- Editora Reverte S.A., Vol II 1983.

[15] Sominski I. S.- Método de Indução Matemática.- Atual Editora. Traduzido por Gelson Iezzi 1996.

[16] Ulloa A. e Haro Luis.- Matemática Básica.- Editora San Marcos, 1970.