Capitulo V. NÚMEROS NATURAIS

G. Peano

Giuseppe Peano nasceu em 27 agosto de 1858 em Cuneo, Piemonte, Itália. Em 1876, ingressou à universidade de Turin para estudar a engenharia, porém decidiu estudar matemática pura, formando-se como doutor em 29 de setembro de 1880. Após graduar-se, trabalho como professor assistente na universidade de Turin em 1880, professor extraordinário em 1890 e professor ordinário em 1895.

Em 1886 provou que se o y = f(x, y) fosse contínuo então a equação diferencial = f(x, y) tem uma solução. A existência das soluções com hipóteses mais fortes para y=f(x, y) tinha sido dada resolvida por Cauchy e Lipschitz. Quatro anos mais tarde Peano mostrou que as soluções não eram únicas, dando como um exemplo a equação diferencial = 3 , com a condição inicial y(0) = 0.

Em 1888 Peano publicou ``Cálculo Geométrico'', que começa com um capítulo de lógica matemática, e deu definições novas para o comprimento de um arco e para a área de uma superfície curvada. Em 1889 publicou seus famosos axiomas, chamados "axiomas de Peano", que definiram os números naturais nos termos de conjuntos.

As maiores contribuições de Peano, entretanto, estavam nos estudos do axiomatização da matemática e da lógica matemática. Produziu uma definição axiomática do sistema de número natural e mostrou como o sistema de número real pode ser derivado destes postulados.

A lógica matemática é o uso dos símbolos em vez das palavras para escrever indicações matemáticas. Peano introduziu os símbolos para representar "pertence ao conjunto" e "existe" respectivamente. A lógica matemática transformou-se rapidamente o foco de seu trabalho. Em 1889, Peano publicou a primeira versão de um sistema da lógica-matemática em seu "Princípio de Aritmética", que incluiu seus famosos axiomas de números naturais. Dois anos mais tarde, estabeleceu um jornal, "Rivista di matematica", orientada principalmente à lógica e aos fundamentos da matemática. O projeto, transformou-se seu centro por os quinze anos seguintes. Quando foi terminado em 1908, o livro conteve 4200 fórmulas e teoremas simbolizados com provas em somente 516 páginas. Foi eleito membro da academia das ciências em Turin em 1891. Além, foi honrado pelo governo italiano com diversas distinções.

Embora Peano seja um fundador da lógica matemática, o filósofo matemático alemão Gottlob Frege (1848-1925) é considerado o pai da lógica matemática. Peano também foi interessado no universal, ou internacional, nas línguas e criou o interlingua artificial da língua em 1903. Compilou o vocabulário fazendo exame de palavras de inglês, de francês, o alemão e o latin. Morreu de um ataque de coração em Turin em 20 de abril de 1932.

Neste capítulo, propomo-nos a desenvolver o estudo do conjunto dos números naturais N. A idéia de número natural está ligado ao problema de contar ou enumerar objetos de um conjunto dado. Nosso objetivo será então o de caracterizar os números naturais. Uma das maneiras de fazê-lo é elaborar um conjunto de axiomas e definições.

5.1 CONJUNTO INDUTIVO

Em quanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois objetos principais de que se ocupa a matemática. Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza.

Definição 5.1 Sucessor.

Para todo conjunto A, definimos o sucessor A^* de A pelo acréscimo A, a os elementos de A; em outras palavras:

A* = A  {A}

O sucessor de A geralmente é denotado por A^*. Estamos em condições para definir números naturais, definimos 0 (número zero) como o conjunto que não tem elementos; isto é: 0 = { }= .

Se todo número natural deve ser igual ao conjunto de seus predecessores, podemos definir os números 1, 2, 3, . . .

1=0*=0  {0} =   {0} = {0}

2=1* = 1  {1} = {0}  {1}= {0, 1}

3=2*=2  {2} = {0, 1}  {2}= {0, 1}  {2} = {0, 1, 2}

e assim sucessivamente pode ser levada a frente com o mesmo e único conjunto.

Definição 5.2 Conjunto indutivo.

Um conjunto de números M, diz-se que é indutivo, se satisfaz as seguintes propriedades:

i) 0  M.

ii)  n  M então n*  M

Exemplo 5.1

Os seguintes conjuntos não são indutivos:

• { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

• { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

• { 0, 2, 4, 6, . . . }

Observe que um conjunto indutivo é tal que contém ao conjunto vazio, e; para todo conjunto A que pertença a ele, também pertence o seguinte conjunto A^*. A classe de todos os conjuntos indutivos será:

a = { x /. indu(x) } (5.1)

5.1.1 Axioma de Infinitude.

A questão é saber se realmente existe algum outro conjunto com estas característica, ou inversamente saber se a classe dos conjuntos com estas características é vazia.

Para resolver-nos este problema, na teoria de conjuntos foi formulado mais um axioma chamado “Axioma de infinitude” que garante a existência desse tipo de conjuntos.

Axioma 5.1. Axioma de infinitude (7º. axioma de Zermelo).

Existe um conjunto que contem o 0 e o sucessor de cada um de seus elementos.

Em nossa teoria matemática um bom exemplo é o conjunto N; seus elementos 0, 1, 2, 3, . . . , constituirão a nossa espécie fundamental de números; e são chamados “números naturais”.

Infelizmente a expressão é um pouco ambígua, pois alguns autores incluem o zero entre os naturais, enquanto outros não o fazem, mas não nos preocupemos com isso. A idéia intuitiva que temos dos números naturais é que são todos os números cada um dos quais pode ser obtido principiando com o zero e somando um, tantas vezes quantas forem necessárias.

O Axioma (5.1) indica que existe pelo menos um conjunto da classe a de (5.1), pelo que poderíamos formar a intersecção de seus elementos.

Propriedade 5.1

A classe a existe, é um conjunto e é a classe indutiva mínima.

Demonstração.

Com efeito, a existe pelo Axioma (5.1) toda vez que a não é vazia.

Por outro lado, para todo x  a tem-se que a  x, logo pela Propriedade (4.5) segue que existe a classe C( a).

Mostremos que  a é indutivo.

Para todo y  a, tem-se que   y, então   a.

Seja x  a, então para todo y  a  s(x)  y segue que s(x)  a.

Por último, a é o mínimo entre os conjuntos indutivos por ser sua intersecção.

Definição 5.3

Chamamos de números naturais ao conjunto N = a que, pela Propriedade (5.1) é indutivo.

O matemático italiano Peano foi o primeiro a organizar as leis fundamentais desses números em um corpo axiomático; o seu conjunto de cinco axiomas é notável. Examinemos esses axiomas para conhecermos mais de perto os números naturais e para vermos, em seguida de que modos outras espécies de números podem ser reduzidas à espécie natural. Os axiomas de Peano, postos em palavras, são estes:

1. Zero é um número natural.

2. O sucessor imediato de qualquer número natural é também um número natural.

3. Números naturais distintos nunca têm o mesmo sucessor imediato.

4. Zero não é o sucessor imediato de nenhum número natural.

5. Se algo vale para zero e, valendo para um dado número, também vale para o seu sucessor imediato , valerá , ainda, para todos os números naturais.

Esses axiomas contém três termos não-definidos: “zero”, “sucessor imediato” e “número natural”. Os axiomas, por si mesmos, não nos revelam o que tais termos devam significar (embora entrelacem quaisquer significados que os termos possam ter ) e não nos dão qualquer evidência a favor do fato de os termos poderem referir-se a qualquer coisa real.

Do ponto de vista do ensino a nível do Ensino Médio, não tem cabimento expor a matemática sob forma axiomática. Mas é necessário que o professor saiba que ela pode ser organizada sob a forma acima delineada. Uma linha de equilíbrio a ser seguida na sala de aula deve basear-se nos seguintes preceitos:

1. Nunca dar explicação falsa sob o pretexto de que os alunos ainda não têm maturidade para entender a verdade.

2. Não insistir em detalhes formais para justificar afirmações que, além de verdadeiras, são intuitivamente óbvias e aceitas por todos sem discussão nem duvidas.

As demonstrações quando objetivas e bem apresentadas, contribuem para desenvolver o raciocínio, o espírito crítico, a maturidade e ajudam a entender o encadeamento lógico das proposições matemáticas.

3. Ter sempre em mente que, a importância social da matemática provém de que ela fornece modelos para analisar situações da vida real. Assim, por exemplo, conjuntos são o modelo para disciplinar o raciocínio lógico, números naturais são o modelo para contagem e números reais são o modelo para medida; etc.

4. A matemática fornece modelos abstratos para serem utilizados em situações concretas, do dia-a-dia e das ciências.