Cap�tulo I. L�GICA MATEM�TICA

Arist�teles

Arist�teles nasceu em Estagira em 384a.C. e faleceu em Calcis (Eubea), em 322a.C. Estudou com Plat�o durante vinte anos e lecionou na Academia que Plat�o fundou.

Depois de viajar por v�rios pa�ses, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que competiu com seriedade e exito com a Academia de seu mestre.

Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande (356-323a.C.), de quem havia sido conselheiro, raz�o pela qual, � morte de este, teve que abandonar Atenas, onde n�o pode mais ingressar.

Arist�teles representa o ponto m�ximo da ci�ncia e filosofia cl�ssica, as quais contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistem�tico. � da� que praticamente todas suas obras est�o relacionadas com a ci�ncia da natureza, al�m da l�gica, da metaf�sica, da �tica, da pol�tica, da ret�rica e da po�tica, algo assim como uma enciclop�dia do saber de sua �poca.

1.1 EVOLU��O DA L�GICA

1.1.1 Introdu��o.

Podemos pensar a l�gica como o estudo do racioc�nio correto. O racioc�nio � o processo de obter conclus�es a partir de suposi��es ou fatos. O racioc�nio correto � o racioc�nio onde as conclus�es seguem-se necess�ria e inevitavelmente das suposi��es ou fatos.

A l�gica procura estudar as coisas da mente, e n�o as coisas reais. Por exemplo, quando dizemos: arco-�ris bonito, sol distante, praia suave s�o classifica��es que damos �s coisas. Aplicamos l�gica na filosofia, matem�tica, computa��o, f�sica entre outros.

Na filosofia para determinar se um certo racioc�nio � v�lido ou n�o, pois uma frase pode ter diferentes interpreta��es, n�o obstante a l�gica permite saber o significado correto. Nas matem�ticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podam ser aplicados nas pesquisas. Na computa��o para determinar se um determinado �programa� � correto ou n�o, na f�sica para obter conclus�es de experimentos. Em geral a l�gica aplicamos nas tarefas do dia-dia, qualquer trabalho que realizarmos tem um procedimento l�gico.

A l�gica � somente mais uma teoria do pensamento; Arist�teles � considerado o criador da l�gica, porem o nome �l�gica� veio bem depois. No in�cio ela n�o tinha um nome. Para Arist�teles, a l�gica seria um modo a ser usado para as pessoas poderem raciocinar com seguran�a (evitando errar).

Observe um exemplo da l�gica dedutiva de Arist�teles:

 Todo planeta � quadrado.

 A Terra � um planeta.

 Logo, a Terra � quadrada.

� l�gica dedutiva pelo fato que ao come�ar com algumas informa��es, pode-se chegar a uma conclus�o (deduzir!); esta investiga��o � chamada de Silogismo.

Esta l�gica n�o se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada, mesmo que se saiba que ela � redonda. Pouco importa, ela aceita a informa��o que lhe foi dada. Mas exige que o racioc�nio esteja correto. Preocupa-se com a forma: A = B, ent�o, B = A. Ela n�o presta aten��o ao conte�do: A ou B podem ser planetas, burros, plantas, etc. Por isso, esta l�gica � formal (de forma) e dedutiva (de dedu��o).

A nossa l�gica formal dedutiva funciona assim: a partir de uma seq��ncia de ora��es verdadeiras chegamos a uma conclus�o verdadeira; a l�gica sempre utiliza uma linguagem exata (s�mbolos, sinais). Isso simplifica e facilita seu estudo.

Arist�teles tamb�m elaborou a argumenta��o l�gica indutiva.

 A baleia, o homem e o c�ozinho s�o mam�feros.

 A baleia, o homem e o c�ozinho mamam.

 Logo, os mam�feros mamam.

Ou seja, de enunciados singulares chegamos a um universal.

Mais tarde, Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a l�gica em tr�s �reas:

1. Formal: Aquela que acabamos de explicar.

2. Transcendental: Esta l�gica estuda as condi��es que d�o base ao nosso conhecimento. Kant explicou que o intelecto tende a colocar todo em ordem, cada tijolinho no lugar. Ali�s, cada pessoa j� possui uma l�gica natural ao interpretar e classificar o que ela vivencia.

3. Matem�tica: Os fil�sofos desenvolveram a l�gica matem�tica h� pouco tempo (Frege, Pea no, Russell e outros). Ela origina f�rmulas de outras f�rmulas, � puro raciocinio. S�o regras e mais regras inventadas, como jogos de cartas.

Hegel, no entanto, achava que a l�gica referia-se ao pensamento e � realidade; disse que:

�todo o que � racional � real, e todo o que � real � racional�.

A l�gica � uma ci�ncia, uma arte, um jogo; todo se passa como em um tabuleiro de xadrez.

Mas vejamos tamb�m um outro tipo de l�gica, a que considera a verdade (o conte�do). Ela considera o desconhecido, a d�vida, a opini�o, a certeza.

� chamada de l�gica material. Ela n�o aceita o fato se algu�m diz que a Terra � quadrada. Temos alguns conceitos nesta l�gica:

 �Ignor�ncia� � a falta do conhecimento.

 �D�vida� � a indecis�o entre uma afirma��o e uma nega��o.

 �Opini�o� � uma op��o que envolve a d�vida.

 �Certeza� � um firme apego � verdade.

A verdade pode gerar muita discuss�o e barulho. Afinal, como podemos saber o que � mesmo a verdade? Os �c�ticos�, por exemplo, acham que n�o podemos afirmar nada; pois todo � incerto.

J� quem segue o dogmatismo considera que a raz�o humana pode conhecer a verdade. E h� muitas outras posi��es sobre a verdade: positivistas, idealistas e outras.

O importante � saber que a verdade varia conforme os muitos sistemas filos�ficos. Isso pode ser po�tico. Existem verdades e a l�gica utiliza a que deseja utilizar. A l�gica material defende a verdade na qual acredita de perigos como o �sofisma�.

�Sofisma� � um racioc�nio errado com a apar�ncia de verdadeiro, tem a inten��o de conduzir ao erro; observe o racioc�nio:

 Maria Alice � bonita.

 Maria Clara � bonita.

 Logo, todas as Marias s�o bonitas.

Voc� j� imaginou o que seria se n�o existisse l�gica nas coisas? J� imaginou se nada fizesse sentido? Hoje, a l�gica � fundamental em nossa sociedade. Dizemos que ela est� na inform�tica, no ensino, na matem�tica, na medicina, etc.

Logo, o resumo de todo isto, � que podemos considerar como sendo v�lida a seguinte defini��o.

Defini��o 1.1 L�gica.

Define-se l�gica como �a ci�ncia da argumenta��o, prova, reflex�o ou infer�ncia�. Ela lhe permitir� analisar um argumento ou racioc�nio e deliberar sobre sua veracidade. A l�gica n�o � um pressuposto para a argumenta��o, � claro; mas conhecendo-a, mesmo que superficialmente, torna-se mais f�cil evidenciar argumentos inv�lidos.

1.1.2 Evolu��o da l�gica.

1.1.2.1 Per�odo Aristot�lico (  390 a.C. a  1.840 d.C.)

A hist�ria da l�gica tem in�cio com o fil�sofo grego Arist�teles de Estagira (384 - 322a.C.) (hoje Estavo) na Maced�nia. Arist�teles criou a ci�ncia da l�gica cuja ess�ncia era a teoria do silogismo (certa forma de argumento v�lido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada �Organon'' ( �Instrumento da Ci�ncia''). Na Gr�cia, distinguiram-se duas grandes escolas de l�gica, a:

 Peripat�tica que derivava da escola fundada por Arist�teles, e a;

 Est�ica fundada por Zen�o (326-264a.C.).

A escola Est�ica foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola Meg�ria fundada por Euclides, (seguidor de S�crates). Segundo Kneale (�O Desenvolvimento da l�gica�), houve durante muitos anos certa rivalidade entre os Peripat�ticos e os Meg�rios, isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da l�gica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influ�ncia nos 200 anos seguidos e s� foram apreciados e conhecidos no s�culo XIX.

1.1.2.2 Per�odo Booleano ( 1840 a  1910)

Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgam (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada ��lgebra da l�gica� respectivamente com �Mathematical Analysis of Logic�' e �Formal Logic�. Gotlob Frege (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da l�gica com a obra �Begriffsschrift� de 1879. As id�ias de Frege s� foram reconhecidas pelos l�gicos mais ou menos a partir de 1905. � devido a Frege o desenvolvimento da l�gica que se seguiu. Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali Forti, Vacca, Pieri, P�doa, Vailati, etc. Quase toda a simbologia da matem�tica se deve a essa escola italiana.

1.1.2.3 Per�odo Atual (1910- . . . )

Com Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) se inicia o per�odo atual da l�gica, com a obra �Principia Mathematica�. David Hilbert (1862-1943) e sua escola alem� com Von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. Kurt G�del (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes contribui��es. Surgem as l�gicas n�o-cl�ssicas: N.C.A. da Costa (Universidade de S�o Paulo) com as l�gicas paraconsistentes, L. A. Zadeh (Universidade de Berkeley-USA) com a l�gica ``fuzzy'' e as contribui��es dessas l�gicas para a Inform�tica, no campo da �Intelig�ncia Artificial� com os �Sistemas Especialistas�.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em l�gica englobam muitas �reas do conhecimento.