Capitulo IV. RELA��ES

Zermelo

Zermelo nasceu em Berlin em 27 de Julho de 1871 e faleceu em Freiburg im Breisgau (Alemanha), em 21 de maio de 1953 . Estudou nas universidades de Berlin, Halle e Freiburg; recebeu aulas de Frobenius, Planck, Schmidt y Schwarz.

Formou-se doutor em 1894 na universidade de Berlim com um trabalho sobre as pesquisas de Weierstrass no c�lculo de varia��es. Zermelo permaneceu na universidade de Berlim, seu trabalho girava mais para �reas de matem�tica aplicada e, sob a orienta��o de Planck fez trabalhos sobre hidrodin�mica.

Em 1897 Zermelo foi a G�ttingen onde naquela �poca era o maior centro de pesquisa matem�tica no mundo, se interessou pela hip�tese o cont�nuo que havia adiantado Cantor ( cada subconjunto infinito do cont�nuo � enumer�vel ou tem a cardinalidade do cont�nuo).

Zermelo come�ou a trabalhar nos problemas da teoria de conjuntos, analisando a id�ia de Hilbert e direcionando para uma defini��o do problema da hip�tese do cont�nuo.

Em 1902, Zermelo publicou seu primeiro trabalho sobre teoria dos conjuntos. Tratava- se sobre a adi��o dos cardinais transfinitos. Em 1904 Zermelo demonstro que todo conjunto pode estar bem ordenado. A demonstra��o foi baseada no axioma de elei��o. Este resultado trouxe fama a Zermelo e proporcionando-lhe tamb�m um promo��o r�pida � professor, por�m muitos matem�ticos n�o aceitaram o tipo de provas que Zermelo utilizo.

Em 1908 , Zermelo publicou seu sistema axioma que contem sete axiomas apesar de sua falha para provar a consist�ncia. Zermelo indicou geralmente seus axiomas e teoremas em palavras melhor que com s�mbolos. Skolem e Fraenkel melhoraram independentemente este sistema. O sistema resultante, com 10 axiomas, � agora geralmente o mais usado para a teoria de conjuntos. Uma curiosidade de Zermelo � que n�o utilizava s�mbolos em seus desenvolvimentos.

Em 1910 Zermelo deixou G�ttingen ao receber uma proposta de trabalho da Universidade de Zurich. Em 1916 Zermelo renunciou a seu posto em Zurich e regressou a Alemanha onde viveu durante 10 anos.

4.1 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS

Dizemos no capitulo anterior que C(x) s�o todos os elementos que pertencem, a uma mesma classe, e p(x) � a propriedade que satisfazem os elementos x de uma classe.

O axioma de especifica��o garante que, para cada propriedade (f�rmula) p(x) existe ao menos uma classe formada por todos os conjuntos que satisfazem a f�rmula p(x) . Lembre que, quando falamos de classe, seus elementos podem ser conjuntos ou elementos de um determinado conjunto.

Assim, para cada proposi��o p(x) existe somente uma classe dos conjuntos que verificam p(x). Este fato permite definir classes adicionais mediante que satisfazem a proposi��o p(x) , entre elas temos:

1. A classe par ordenado, ou bem, d�ada: (a, b) = { {a}, {a, b} }

2. A classe rela��o: R(A)  ( x), ( x  A  ( a, b) (a, b) = x))

3. A classe dom�nio e contradom�nio de uma rela��o R :

Dom�nio: D(R) = { a /.  b  (a, b)  R }

Contradom�nio: Im(R) = { b /.  a  (a, b)  R }

4. A classe rela��o inversa de outra rela��o: R* = {(b, a) /.  R  (a, b)  R }

5. A classe aplica��o: f(A)  R(A)  ( a, b, c ) ((a, b)  R  (a, c)  R  b = c))

6. A classe aplica��o Bijetiva:

Bi(f(A))  f(A)  ( a, b, c)((a, b)  f  (c, b)  f  a = c)

7. As classes coorden�veis ou eq�ipolentes:

A  B  ( f(A)) (Bi(f(A))  D(f) = A  Im(f) = B)

8. A classe de menor ou igual pot�ncia que outra:

A  B  ( S) (S  B  A  S)

9. A classe estritamente de menor pot�ncia que outra:

o(A) < o(B)  ( S) (S  B  ( b  B-S)  A  S)

10. A classe infinita: Inf(A)  ( X) (X  A  X  A  A  X)

11. A classe finita: Fin(A)   Inf(A)

12. A classe indutiva: Ind(A)    A  ( a  A  s(a)  A)

13. A classe inclusiva: Inc(A)  ( X) (X  A  X  A)

14. A classe sucessor de outra classe: s(a) = a  { a }

4.1.1 Propriedade definida sobre um conjunto.

Defini��o 4.1

Seja A um subconjunto do conjunto E, dizemos propriedade caracter�stica dos elementos do conjunto A , a todo crit�rio que permite decidir se qualquer elemento x de E , entre:

x  A ou x  A

Se p(x) � uma propriedade caracter�stica dos elementos de A, ent�o  p(x) ser� uma propriedade caracter�stica dos elementos do CE(A) .

De p(x) dizemos que � uma propriedade definida sobre o conjunto E. Logo compre que:

� p(x)  x  A

� p(x)  x  CE(A) .

Podemos escrever ent�o:

A = { x  E /. p(x) } ou CE(A)={ x  E /.  p(x) }

Exemplo 4.1

1. A = { x  N /. x > 0 } ; aqui p(x): x>0 .

x>0 � uma propriedade caracter�stica dos elementos de A.

x > 0 � uma caracter�stica definida sobre Z.

2. B = { x  N /. x < 10 } ; aqui p(x) x< 10 .

x < 10 � uma propriedade caracter�stica dos elementos de B.

x < 10 � uma caracter�stica definida sobre N.

3. Seja T o conjunto de todos os tri�ngulos do plano.

C = { x  T /. x � is�sceles } .

�x � is�sceles� � uma propriedade caracter�stica dos elementos de C.

� x � is�sceles� � uma caracter�stica definida sobre T .

4.1.2 Quantificadores.

Seja E um subconjunto de um conjunto universal U , a proposi��o: �Para todo x de E , cumpre-se a propriedade p(x) �, escreve-se:

 x  E /. p(x)

se esta proposi��o for verdadeira, descrever� todo o conjunto E ; aqui p(x) � uma propriedade definida sobre E e a caracter�stica dos elementos de E . Conseq�entemente  p(x) � uma propriedade caracter�stica dos elementos de CU(E) = ; isto significa que n�o existem elementos x  E que cumpram a propriedade  p(x) .

A proposi��o: �Existe algum elemento x de E que cumpra  p(x)�, escreve-se

 x  E /.  p(x)

e descreve o conjunto  = CU(E).

Estabelecemos ent�o as seguintes equival�ncias:

 [  x  E /.  p(x)]  [  x  E /. p(x) ]

ou o que � o mesmo:

 [ x  E /. p(x)]  [  x  E /.  p(x) ]

se na primeira equival�ncia trocamos p(x) por  q(x) resulta:

 [ x  E /. q(x)]  [ x  E /.  q(x) ]

Em resumo:

 [ x  E /. p(x)]  [  x  E /.  p(x) ]

 [ x  E /. p(x)]  [ x  E /.  p(x) ]

Observa��o 4.1

Se p(x) � uma propriedade definida sobre E e � a caracter�stica dos elementos de A  E , ent�o as proposi��es:

[ x  E /. p(x) ] ; [ x  E /. p(x) ] e  [ x  E /. p(x) ]

s�o equivalentes a A = E , A   e A = .