Capitulo IV. RELAÇÕES

Zermelo

Zermelo nasceu em Berlin em 27 de Julho de 1871 e faleceu em Freiburg im Breisgau (Alemanha), em 21 de maio de 1953 . Estudou nas universidades de Berlin, Halle e Freiburg; recebeu aulas de Frobenius, Planck, Schmidt y Schwarz.

Formou-se doutor em 1894 na universidade de Berlim com um trabalho sobre as pesquisas de Weierstrass no cálculo de variações. Zermelo permaneceu na universidade de Berlim, seu trabalho girava mais para áreas de matemática aplicada e, sob a orientação de Planck fez trabalhos sobre hidrodinâmica.

Em 1897 Zermelo foi a Göttingen onde naquela época era o maior centro de pesquisa matemática no mundo, se interessou pela hipótese o contínuo que havia adiantado Cantor ( cada subconjunto infinito do contínuo é enumerável ou tem a cardinalidade do contínuo).

Zermelo começou a trabalhar nos problemas da teoria de conjuntos, analisando a idéia de Hilbert e direcionando para uma definição do problema da hipótese do contínuo.

Em 1902, Zermelo publicou seu primeiro trabalho sobre teoria dos conjuntos. Tratava- se sobre a adição dos cardinais transfinitos. Em 1904 Zermelo demonstro que todo conjunto pode estar bem ordenado. A demonstração foi baseada no axioma de eleição. Este resultado trouxe fama a Zermelo e proporcionando-lhe também um promoção rápida á professor, porém muitos matemáticos não aceitaram o tipo de provas que Zermelo utilizo.

Em 1908 , Zermelo publicou seu sistema axioma que contem sete axiomas apesar de sua falha para provar a consistência. Zermelo indicou geralmente seus axiomas e teoremas em palavras melhor que com símbolos. Skolem e Fraenkel melhoraram independentemente este sistema. O sistema resultante, com 10 axiomas, é agora geralmente o mais usado para a teoria de conjuntos. Uma curiosidade de Zermelo é que não utilizava símbolos em seus desenvolvimentos.

Em 1910 Zermelo deixou Göttingen ao receber uma proposta de trabalho da Universidade de Zurich. Em 1916 Zermelo renunciou a seu posto em Zurich e regressou a Alemanha onde viveu durante 10 anos.

4.1 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS

Dizemos no capitulo anterior que C(x) são todos os elementos que pertencem, a uma mesma classe, e p(x) é a propriedade que satisfazem os elementos x de uma classe.

O axioma de especificação garante que, para cada propriedade (fórmula) p(x) existe ao menos uma classe formada por todos os conjuntos que satisfazem a fórmula p(x) . Lembre que, quando falamos de classe, seus elementos podem ser conjuntos ou elementos de um determinado conjunto.

Assim, para cada proposição p(x) existe somente uma classe dos conjuntos que verificam p(x). Este fato permite definir classes adicionais mediante que satisfazem a proposição p(x) , entre elas temos:

1. A classe par ordenado, ou bem, díada: (a, b) = { {a}, {a, b} }

2. A classe relação: R(A)  ( x), ( x  A  ( a, b) (a, b) = x))

3. A classe domínio e contradomínio de uma relação R :

Domínio: D(R) = { a /.  b  (a, b)  R }

Contradomínio: Im(R) = { b /.  a  (a, b)  R }

4. A classe relação inversa de outra relação: R* = {(b, a) /.  R  (a, b)  R }

5. A classe aplicação: f(A)  R(A)  ( a, b, c ) ((a, b)  R  (a, c)  R  b = c))

6. A classe aplicação Bijetiva:

Bi(f(A))  f(A)  ( a, b, c)((a, b)  f  (c, b)  f  a = c)

7. As classes coordenáveis ou eqüipolentes:

A  B  ( f(A)) (Bi(f(A))  D(f) = A  Im(f) = B)

8. A classe de menor ou igual potência que outra:

A  B  ( S) (S  B  A  S)

9. A classe estritamente de menor potência que outra:

o(A) < o(B)  ( S) (S  B  ( b  B-S)  A  S)

10. A classe infinita: Inf(A)  ( X) (X  A  X  A  A  X)

11. A classe finita: Fin(A)   Inf(A)

12. A classe indutiva: Ind(A)    A  ( a  A  s(a)  A)

13. A classe inclusiva: Inc(A)  ( X) (X  A  X  A)

14. A classe sucessor de outra classe: s(a) = a  { a }

4.1.1 Propriedade definida sobre um conjunto.

Definição 4.1

Seja A um subconjunto do conjunto E, dizemos propriedade característica dos elementos do conjunto A , a todo critério que permite decidir se qualquer elemento x de E , entre:

x  A ou x  A

Se p(x) é uma propriedade característica dos elementos de A, então  p(x) será uma propriedade característica dos elementos do CE(A) .

De p(x) dizemos que é uma propriedade definida sobre o conjunto E. Logo compre que:

• p(x)  x  A

• p(x)  x  CE(A) .

Podemos escrever então:

A = { x  E /. p(x) } ou CE(A)={ x  E /.  p(x) }

Exemplo 4.1

1. A = { x  N /. x > 0 } ; aqui p(x): x>0 .

x>0 é uma propriedade característica dos elementos de A.

x > 0 é uma característica definida sobre Z.

2. B = { x  N /. x < 10 } ; aqui p(x) x< 10 .

x < 10 é uma propriedade característica dos elementos de B.

x < 10 é uma característica definida sobre N.

3. Seja T o conjunto de todos os triângulos do plano.

C = { x  T /. x é isósceles } .

“x é isósceles” é uma propriedade característica dos elementos de C.

“ x é isósceles” é uma característica definida sobre T .

4.1.2 Quantificadores.

Seja E um subconjunto de um conjunto universal U , a proposição: “Para todo x de E , cumpre-se a propriedade p(x) “, escreve-se:

 x  E /. p(x)

se esta proposição for verdadeira, descreverá todo o conjunto E ; aqui p(x) é uma propriedade definida sobre E e a característica dos elementos de E . Conseqüentemente  p(x) é uma propriedade característica dos elementos de CU(E) = ; isto significa que não existem elementos x  E que cumpram a propriedade  p(x) .

A proposição: “Existe algum elemento x de E que cumpra  p(x)”, escreve-se

 x  E /.  p(x)

e descreve o conjunto  = CU(E).

Estabelecemos então as seguintes equivalências:

 [  x  E /.  p(x)]  [  x  E /. p(x) ]

ou o que é o mesmo:

 [ x  E /. p(x)]  [  x  E /.  p(x) ]

se na primeira equivalência trocamos p(x) por  q(x) resulta:

 [ x  E /. q(x)]  [ x  E /.  q(x) ]

Em resumo:

 [ x  E /. p(x)]  [  x  E /.  p(x) ]

 [ x  E /. p(x)]  [ x  E /.  p(x) ]

Observação 4.1

Se p(x) é uma propriedade definida sobre E e é a característica dos elementos de A  E , então as proposições:

[ x  E /. p(x) ] ; [ x  E /. p(x) ] e  [ x  E /. p(x) ]

são equivalentes a A = E , A   e A = .