2.5 QUANTIFICADORES

Quando escrevemos x + 6 = 9, não podemos classificar tal enunciado aberto como proposição verdadeira ( v ) ou falsa ( f ), ao menos que sejam atribuídos valores à variável x.

Uma situação bem diferente acontece quando afirmamos que:

“Para todo valor x, temos x+6 = 9''.

Esta sentença é uma proposição evidentemente falsa, porém tornou possível classifica-la como proposição falsa. Por outro lado se afirmamos:

“Existe um valor x, tal que x+6 = 9”.

neste caso a sentença é verdadeira.

Seja p(x) uma função proposicional definida num conjunto D, e Vp seu conjunto verdade. Quando Vp = D, todos os elementos de D satisfazem a sentença aberta p(x), podemos afirmar:

a) Para todo elemento x de D, temos que p(x) é verdadeira.

b) Qualquer que seja o elemento x de D, temos que p(x) é verdadeira.

Um quantificador universal é uma proposição da forma:

Para todo x, p(x), onde p(x) é uma função proposicional.

No simbolismo da lógica matemática indica-se a palavra “para todo” com 

Exemplo 2.59

1. A proposição:  n  N tal que p(n) : n +8 > 4 é verdadeira; observe que Vp = { 1, 2, 3, , . . . }

2. A proposição:  n  N tal que q(n) : n +10 < 14 é falsa; observe que Vq = { 1, 2, 3, ,4 }, e não cumpre para todo n  N. Somente existem alguns valores de n  N.

Seja p(x) uma função proposicional num conjunto D, e Vp seu conjunto verdade. Quando Vp  D, alguns os elementos de D satisfazem a sentença aberta (p(x), podemos afirmar:

a) Existem elementos x de D, tais que p(x) é verdadeira.

b) Para algum elemento x de D, temos que p(x) é verdadeira.

Um quantificador existencial, é uma expressão da forma: Existe x tal que p(x), onde p(x) é uma função proposicional.

No simbolismo da Lógica matemática indica-se a palavra “existe” com .

A função proposicional que forma parte de uma quantificação recebe o nome de, o quantificado e à frase que precede, o nome de quantificador.

Exemplo 2.60

1. A proposição:  n  N tal que p(n) : n +8 > 4 é falsa; observe que Vp = { 1, 2, 3, , . . . } = N+. Isto é, satisfaz para todos os valores de N+

2. A proposição:  n  N tal que q(n) : n +10 < 14 é verdadeira; observe que Vq = { 1, 2, 3 }, e cumpre o fato de existir elementos n  N. Não satisfaz para todos os valores de n  N.

Exemplo 2.61

1.  x; x2 + 2  4x se lê: Para todo x, tem-se que x2 + 2  4x

2.  x; x2 + 2  4x se lê: Existe x tal que x2 + 2  4x

3.  x; x < 10 se lê: Para todo x, tem-se que x < 10

4.  x; x = 2 se lê: Existe x, tal que x = 2

Exemplo 2.62

Suponhamos temos números naturais: a, b, c, . . .

•  b  N /. a = b+b exprime a condição acerca de a  N como um número par.

•  a ,  b /. a = b + b não diz nada respeito de a  N. Esta proposição definitivamente é falsa.

Observação 2.4

• Observe que somente p(x) não é uma proposição; somente é uma função proposicional por conseguinte não tem valor de verdade.

• Quando escrevemos  p(x) ou  p(x) são proposições, portanto tem valor verdade ( v )

• Algumas vezes o domínio da variável esta implícito, quando não for assim, devemos indicar o domínio no mesmo quantificador.

Na língua portuguesa se dizer:

“Pedro ama alguém”, com quantificadores posso escrever:  b /. p(x, b).

“Toda pessoa ama alguém”, com quantificadores posso escrever:  x,  y /. p(x, y)

As variáveis x, y, . . . denotam pessoas arbitrarias; a constante b denota o individuo Pedro e a proposição p(x, y) significa “x ama y”.

Exemplo 2.63

 x  N + ; 1/x > 0, sendo N+ os números naturais positivos.

Se o domínio de x for implícito escreveríamos:  x ; 1/x > 0

Os quantificadores podem escrever-se com funções proposicionais de mais de uma variável.

Exemplo 2.64

Quantificador Aqui diz:

1.  x,  y /. p(x, y)

2.  x,  y /. q(x, y)

3.  a,  b /. p(a, b)

4.  a,  a /. r(a, b) Para todo x, existe y tal que p(x, y)

Para todo x, para todo y tal que q(x, y)

Existe a, e existe b tal que p(a, b)

Existe a, para todo b tal que r(a, b)

Exemplo 2.65

Interpretar em palavras o seguinte argumento:

  > 0 ,   > 0 /.  x  D(f), x  a e a - < x < a +  então L -  < f(x) < L+  .

Solução

Para todo  > 0 , existe  > 0, tal que para todo x  D(f) sendo x  a, se a -  < x < a +  então L -  < f(x) < L +  .

Exemplo 2.65

Escrever com quantificadores o seguinte argumento:

Todo homem é mortal

Sócrates é homem

Sócrates é mortal

Solução

Consideremos as proposições: p(x) : x é homem, q(y) : y é mortal; e nossa variável a : Sócrates. Logo temos o seguinte diagrama:

 x (p(x)  q(x))

p(a)

q (a)

2.5.1 Negação de quantificadores.

2.5.1 Negação de quantificadores.

A negação da proposição p : “Todo estudante se alimenta” é a proposição  p : “ão é verdade que todo estudante se alimenta”. Isto é  p : “Existe ao menos um estudante que não se alimenta”, assim denotando com D a todos os estudantes e por p(x) : x se alimenta. Então:

 ( x  D : p(x))  ( x  D :  p(x))

é verdadeira.

Na negação das proposições que contem quantificadores, são verdadeiras as seguintes equivalência de Morgan.

A1  ( x  D /. p(x))  ( x  D /.  p(x))

A2  ( x  D /. p(x))  ( x  D /.  p(x))

Exemplo 2.67

a)  ( x  N /. x + 1 > 10)  ( x  N /. x + 1  10)

Em palavras: Não é verdade que, para todo número natural x, temos que x + 1 > 10; isto é logicamente equivalente a: Existe pelo menos um número natural x, tal que x + 1  10

b)  ( x  R /. x2 < 0)  ( x  R /. x2  0)

Em palavras: Não é verdade que exista um número real x, tal que x2 < 0; isto é logicamente equivalente a: Para todo número real x, tem-se que x2  0 .

As demonstrações deste tipo utilizam a equivalência lógica:

( x  D /. p(x))  ( x  D /.  p(x))

isto é, para demonstrar que não é verdade que se cumpra p(x) para todo x  D, é suficiente mostrar que existe pelo menos um x  N D tal que não se cumpra p(x).

Exemplo 2.68

Demonstrar que: ``É falso que, para todo natural n, tenhamos n+1 = 5''.

Demonstração.

A demonstração será direta por contradição.

É suficiente achar um número natural n tal que não cumpra n+1 = 5.

Por exemplo considerar n = 6  N; logo 6 + 1 = 5 absurdo!

Portanto, é falso que, para todo natural n, tenhamos n+1 = 5.

Observação 2.5

Observe que o problema de determinar o valor de verdade de uma quantificação, podem-se apresentar os seguintes casos:

1. Demonstrar que:  x /. p(x) é falsa, isto é [ x /. p(x)], é o caso do Exemplo (2.62).

2. Demonstrar que:  x: /. p(x) é verdade. Neste caso a demonstração deve compreender a verdade de p(x) para todos os valores do domínio de x.

3. Demonstrar que:  x /. p(x) é verdade. Nesta caso, basta achar um exemplo

4. Demonstrar que:  x /. p(x) é falsa, isto é  [ x /. p(x)]. Aqui temos a mostrar que p(x) não se compre para nenhum elemento do domínio de x.

Exemplo 2.69

Dado o domínio D = { 1, 2, 3 }, determine o valor verdade para os seguintes enunciados:

1.  a,  b /. a2+b2 < 12 2.  a,  b  c /. a2+b2 < c2.

Solução (1)

O enunciado é verdadeiro, observe que para todo a0  D tem-se existe b = 1, de modo que a02 + 12 < 12.

Solução (2)

O enunciado é falso, observe que se c_0 = 1, então a2+b2 < c02 não tem solução em D.

2.5.2 Ambigüidades

Existem casos em que dado uma proposição, esta tenha uma interpretação ambígua, cabendo primeiro a nos resolver as ambigüidades para logo passarmos a resolver sua formalização.

Observe o enunciado: “Todo motorista tem um santo padroeiro”

Podemos escrever na forma:  x (p(x)   y q(y, x)) o também podemos escrever na forma:  y,  x (p(x)  q(y, x)).

Estas duas formalizações são equivalentes. Note que o artigo indefinido “um” é utilizado como significando o mesmo que “um qualquer”, isto é como se for um quantificador universal.

Exemplo 2.70

No enunciado: “Os diâmetros de uma circunferência cortam-se num ponto”.

Aqui estão implícitos três quantificadores; temos a entender este enunciado na forma: “para toda circunferência existe um ponto no qual todos os diâmetros se cortam”.

Pequeno dicionário de heurística

Problema de determinação: Tem como objetivo encontrar um certo objeto, a incógnita do problema.

Problema de determinação: Tem como objetivo mostrar conclusivamente que certa afirmativa, claramente enunciada, é verdadeira, ou, então, que é falsa.

Raciocínio heurístico: é aquele que não se considera final e rigoroso, mais apenas provisório e plaussível, e que tem por objetivo descobrir a solução do problema que se apresenta.

Exercícios 2-2

1. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, determine o valor lógico de cada uma das seguintes funções proposicionais:

1.  a  A , |a |= a 2.  a  A , a2 = a

3.  a  A , a + 2  a 4.  a  A , |a |= a

5.  a A , a2 = a 6.  a  A , a + 2  a

2. Determine a negação das proposições do exercício anterior.

3. Seja R o conjunto dos números reais, determine o valor lógico da cada uma das seguintes funções proposicionais:

1.  a  R, |a |= a 2.  a  R, a2 = a

3.  a  R, a + 2  a 4.  a  R, |a |= a

5.  a  R, a2 = a 6.  a  R, a + 2  a

4. Determine a negação das proposições do exercício anterior.

5. Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } determine um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposições:

1.  a  A , a + 4 < 11 2.  a  A , a é primo

3.  a  A , a2  1 4.  a  A , a é par

5.  a  A , 1a = 1 6.  a  A , a | 32

6. Expressar em palavras a seguinte simbologia:

1.  x /. x+7 = 5

2.  x,  y /. X = y = 9

3.  a,  b /. a2+b2+c2=16

4.  n  N /. n + 2 > n

7. Escreva em símbolos, usando quantificadores:

1. Todo número inteiro é par ou ímpar.

2. Existem números inteiros que são pares ou ímpares.

3. Todo número inteiro elevado ao quadrado dá sempre um resultado não negativo.

8. Escreva a negação de cada uma das proposições:

1. Todo peruano é baixinho.

2. Existem gatos que não têm rabo.

3. Todos meus alunos são inteligentes.

4. Todos os jornalistas são mentirosos.

9. Analisar os seguintes enunciados, logo:

(a) Determine quais são proposições.

(b) Quais são funções proposicionais.

(c) Determine o valor verdade das proposições.

1. x + 5 = 9 2.  x  N /. x +5=9

3.  x  N /. x +2>x 4.  x  N /. x +2  x

5.  x  N /. x +2>x 6. x + y  z

7.  x  N,  y  N /. x y = y

10. Negar as proposições do exercício anterior.

11. Determine o valor de verdade para cada uma das seguintes proposições se x  Z:

1.  x : x2=x 2.  x : x-7<x 3.  x : x+5 = 5

4.  x : x+8  x 5.  x : x2  x 6.  x : x+1 = x

12. Aplicando leis de Morgan para negação de quantificadores, determine proposições equivalentes às seguintes:

1.  ( x /. x +5=9) 2.  ( x /. x -5> x)

3.  x /.  (x+5  x) 4.  x /.  (x+10 < x)

5.  x /. x^2-2x-1 = 0 6.  x /. x - 7 = 0

7.  x /. x+7> x+3 8.  x /. x  7

13. Se, a coleção de números 1, 2, 3 , 4 , 5 é representada por D, demonstrar mediante contra-exemplos a falsidade das seguintes proposições:

1.  x  D /. x +3 < 6 2.  x  D /. 2x = 8

3. ( x  D /. x2 < 20) 4.  x  D /.  (x+10> x)

14. Se p(x) : 5x+1 > 10, e temos x=2y, obter uma função proposicional p(y) equivalente a p(x).

15. Determine premissas e a conclusão para cada um dos seguintes argumentos:

1. a + c = b + c se, e somente se, a = b.

2. Se a.c = b.c e c  0, então a = b.

3. a.b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0.

4. a2 = b2 se, e somente se, a = b ou a = -b.

5. a2 + b2 = 0 se, e somente se, a = 0 e b = 0.

6. a  0 e b  0; a  b se e somente se a2  b2.

7. ab  0 se, e somente se, (a  0 e b  0) ou (a  0 e b  0)

8. Se a2  b , então -  a 

9. a2  b , então a  ou a  -

10. a > 0 e ax2 + bx + c  0  x  R se, e somente se, b2  4ac.

11. Se b > 0 e |a | = b, então a = b ou a = -b.

12. |x | < b se, e somente se, -b < x < b.

13. Se o conjunto A  R sendo A   e A limitado inferiormente, então o conjunto A possui ínfimo.

14. Dados os números inteiros a e b, existe um divisor comum da forma d = ax + by para algum x, y  Z; e, todo divisor comum de a e b divide este d.

15. Se P(n) é uma proposição enunciada em termos de n, para n  N tal que:

1o P(1) é verdadeiro

2o P(h) é verdadeiro para h > 1, implica.

P(h+1) é verdadeiro.

Então P(n) é verdadeiro  n  N.

16. Para qualquer par de números r, s  Q tem-se :

a) ar.as = ar+s b) (ar)s = ars c) (ab) r = ar.br

d) ( )r = b  0 e) = ar-s

17. Se 0 < a < 1, então : ax tende para +  quando x tende para - , e a^x tende para - quando x tende para +.

18. Se T(cos t, sen t) é um ponto da circunferência unitária, então temos a relação fundamental: cos2t + sen2t = 1.

19. B(a, ) = { x  R /. |x - a | <  }

20. A intersecção de duas vizinhanças de a, é uma vizinhança de a.

21. Para que x = a seja ponto de acumulação do conjunto A, é necessário e suficiente que toda vizinhança B(a, r) contenha infinitos pontos de A.

22. Todo conjunto finito de pontos, não tem pontos de acumulação.

23. Seja x  R e x  0, se x <  para todo  > 0, então x = 0.

24. Quando |x | < ,   > 0  x = 0.

25. Quando exista o limite de uma aplicação, este limite é único.

16. Simbolize, no nível proposicional, os seguintes argumentos:

1. Se não existe ouro no Perú, ou os peritos estão certos ou então o governo mente. Existe ouro no Perú ou os peritos estão errados. Portanto, o governo não mente.

2. Os salários aumentam somente se há inflação. Se há inflação, então custo de vida aumenta. Os salários não aumentam. Portanto, o custo de vida aumenta.

3. Se 2 é primo, é então o menor primo. Se 2 é o menor primo, estão 1 não é primo. O número 1 não é primo. Portanto 2 é primo.

17. Quais dos argumentos do exemplo anterior são verdadeiros e quais são falsos?

18. Considerando a interpretação:

Domínio: Conjunto de números naturais, p(x): x é par; q(x): x é primo, r(x): x é ímpar, s(x, y): y múltiplo de x, traduzir as seguintes proposições determinando quais são verdadeiras e quais são falsas.

1.  x (s(2, x)  p(x));

2.  x (p(x)  s(x, 3));

3.  x (r(x)  s(0, x));

4.  x ( p(x)   s(2, x));

5.  x (p(x)   y (s(x, y)  p(y));

6.  x (q(x)   y ( p(y)  s(x, y)));

7.  x (r(x)   y ( q(y)   s(x, y)));

Miscelânea 2-1

1. Determine a negação para cada um dos seguintes enunciados:

1.  x /. x+7  5

2.  x,  y /. x  y  9

3.  a,  b /. a2+b2+c2  16

4.  n  N /. n + 2  n

5.  x /. x < 2 então 6 < x

6.  x,  y /. x  y  y  x-3.

2. Dado o domínio I (números irracionais), determine o valor verdade para os seguintes enunciados:

1.  ( a  I,  b  I /. a2+b2 > 12 ).

2.  (  a  I,  b  I  c  I /.a2+b2 <c2 ).

3. Demonstre que, se p e p  q são proposições verdadeiras, então q também é proposição verdadeira. Sugestão: Supor que q não seja verdadeira.

4. Simbolize, no nível proposicional, os seguintes argumentos:

1. Karyn ou é boa aluna ou é boa violinista. Karyn é boa violinista. Portanto Karyn não é boa aluna.

2. Só pago aos credores se ganhar a supersena. Os credores não ficam satisfeitos exceto se eu lhes pagar.

Portanto, ganho a supersena ou os credores não ficam satisfeitos.

5. Quais dos argumentos do exemplo anterior são verdadeiros e quais são falsos?

6. Determine premissas e conclusão para cada um dos seguintes argumentos.

1. As diagonais de um paralelogramo dividem-se mutuamente ao meio.

2. Enunciar a recíproca do Exercício anterior.

3. As diagonais de um losango cortam-se mutuamente ao meio e sob ângulo reto.

4. O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados quaisquer de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual á metade de seu comprimento.

5. O ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante dos três vértices.

6. Os ângulos opostos aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais.

7. Enunciar a recíproca do Exercício anterior.

8. Se as diagonais de um paralelogramo são iguais, a figura é um retângulo.

9. As medianas relativas aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais.

10, Enunciar a recíproca do Exercício anterior.

11. Os dois segmentos retilíneos formados pela união de um par de vértices opostos de um paralelogramo aos pontos médios dos lados opostos são iguais em comprimento e paralelos.

12. O segmento retilíneo determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual á semi-soma de seus comprimentos.

13. O segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é de comprimento igual á semi-diferença dos comprimentos dos lados paralelos.

14. A soma dos quadrados dos comprimentos dos lados de qualquer paralelogramo é igual á soma dos quadrados dos cumprimentos de suas diagonais.

15. Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios de lados opostos de qualquer quadrilátero cortam-se mutuamente ao meio.

16. Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios dos lados sucessivos de um retângulo formam um losango.

17. Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios dos lados sucessivos de um losango formam um retângulo.

18. Os ângulos das bases de um trapézio isósceles são iguais.

19. Os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e os pontos médios das diagonais são os vértices de um paralelogramo.

20. Enunciar a recíproca do Teorema de Pitágoras.

21. O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero cortam-se mutuamente ao meio.

22.O segmento retilíneo que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio cortam ao meio cada uma de suas diagonais.

23. A soma dos quadrados das distâncias de qualquer ponto do plano a dois vértices opostos de qualquer retângulo é igual á soma dos quadrados de suas distâncias aos outros dois vértices.

24. Enunciar a recíproca do Exercício anterior.

25. Sejam O, A, B e C os vértices sucessivos de um paralelogramo e sejam D e E os pontos médios dos lados e , respectivamente. Então os segmentos retilíneos e trissectam a diagonal .