6.2 LIMITES: Superior. Inferior.

Definição 6.6 Limite inferior.

Seja A um conjunto ordenado, dizemos que a  A é limite inferior de A se para todo x  A temos que a x ; isto é o elemento a, é anterior a todos os elementos de A.

Definição 6.7 Limite Superior.

Dizemos que b  A é limite superior de A , se para todo x  A temos que x b ; isto é b é posterior a todos os elementos de A.

6.2.1 Supremo. Ínfimo.

Seja B um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A .

Definição 6.8. Minorante.

Um elemento m de A é chamado de minorante de B , se para todo x  B tem-se que m x ; isto é, m é anterior ou inferior a todo elemento de B.

Exemplo 6.7

Seja A  R , o conjunto (intervalo ) A = (-4, 6) tem como limite inferior qualquer número x  R sempre que x  -4; e como limite superior qualquer número y  R sempre que 6  y .

Definição 6.9 Ínfimo de um conjunto.

Se um minorante de B é posterior ou superior a todos os minorantes de B , dizemos que é o ínfimo de B e denotamos por inf.(B) .

Em geral B pode não ter minorantes ou ter muitos, porém caso exista somente pode ter um inf.(B) .

Analogamente, um elemento M de A é chamado de maiorante de B , se para todo x  B tem-se que x M ; isto é, M é superior ou posterior a todos os elementos de B .

Definição 6.10 Supremo de um conjunto.

Se um maiorante de B é anterior ou inferior a todos os maiorantes de B , dizemos que M é o supremo de B e denotamos por sup.(B) .

Em geral B pode não ter maiorantes ou ter muitos, porém caso exista somente pode ter um sup.(B).

Exemplo 6.8

No Exemplo (6.7), temos que inf.(B) = -4 e sup.(B) = 6

6.2.2 Elementos: Maximal. Minimal.

Definição 6.11 Elemento maximal.

Seja A um conjunto ordenado, dizemos que a  A é maximal se a x implica a = x ; isto é a  A é elemento maximal, se em A não existe nenhum elemento posterior a a no sentido estrito.

Definição 6.12 Elemento minimal.

De modo análogo, dizemos que b é elemento minimal se, x b implica b = x ; isto é b  A é elemento minimal, se em A não existe nenhum elemento anterior ao elemento b no sentido estrito.

Exemplo 6.9

• O conjunto do Exemplo (6.8), não tem elemento maximal, nem elemento minimal.

• O conjunto A = [-4, 6)  R tem como elemento minimal o -4 , não tem elemento maximal.

Figura 6.2:

• O conjunto A = (-4, 6]  R tem como elemento maximal o 6 , não tem elemento minimal.

Exemplo 6.10

Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5} um conjunto ordenado pelo diagrama da Figura (6.2).

Observe que:

2 1, 4 1, 5 3, 4 3, 5 1.

Aqui, 4 e 5 são elementos minimais, o elemento maximal é o 1 .