2.4 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS

2.4.1 Função proposicional.

Definição 2.9 Função proposicional.

Dizemos função proposicional a todo enunciado aberto, e denotamos por p(x).

2.4.1.1 Campo da variável.

O conjunto de valores da variável, está formado por todos os valores conveniados para a variável x. O representaremos por D e dizemos que x pertence a D, o qual denotamos x  D.

Isto é, pela definição de enunciado aberto; função proposicional sobre D é toda expressão p(x) tal que p(a) é verdadeira ou falsa para todo a  D

Exemplo 2.56

a) p(x) : x +4 > 7, onde x  N .

É uma função proposicional, cujo domínio são os números naturais, observe que:

p(5) : 5 + 4 > 7 é verdadeiro ( v )

p(2) : 2 + 4 > 7 é falso ( f )

b) 2x + 9 = 12 , é uma função proposicional. O domínio poderá ser os números naturais, os inteiros ou os reais.

Porém o domínio, não poderá ser “seres humanos” pois não terá sentido escrever.

q(mulher) : 2(mulher) + 9 = 12 não é verdadeiro ( v ) nem falso ( f )

p(2) : 2 + 4 > 7 é falso ( f )

c) r(x) : x é humano

É função proposicional e seu domínio pode ser todo ser animado ou inanimado , e assim teríamos por exemplo as proposições:

r(mulher) : Mulher é humano é verdadeiro ( v )

r(gato) : O gato é humano é falso ( f )

r(caneta) : A caneta é humano é falso ( f )

2.4.2 Raíz de uma função proposicional.

Quando ao substituir o valor da variável x por um valor específico a de seu domínio, obtemos uma proposição verdadeira, então o valor específico de a é uma solução ou raíz da função proposicional.

Exemplo 2.57

Suponhamos p(x) : 7 x - 5 = 9 ao substituirmos x = 2 obtemos:

p(2) : 7(2) - 5 = 9 verdadeiro ( v )

Logo x = 2 é raíz de p(x) : 7 x - 5 = 9.

Ao substituirmos x = 3 obtemos: p(3) : 7(3) - 5 = 9 falso ( f )

Logo x = 3 não é raiz de p(x).

Definição 2.10 Conjunto verdade.

Chama-se conjunto verdade de uma função proposicional p(x) no domínio D, ao conjunto de todos os elementos em a  D tais que a proposição p(a) seja verdadeira. Denotamos o conjunto verdade para a proposição p, como Vp.

Exemplo 2.59

Seja o conjunto de números A= { 1, 2, 3, 4, 5 } e p(x) : x < 4; então Vp = { 1, 2, 3 }