Capítulo III. CONJUNTOS

G. Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu na cidade de St. Petersburgo o 03 de março de 1845 e faleceu no hospital de doenças mentais de Halle em 1918. Passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval.

Estudou em Zurich, Göttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática, possuindo grande imaginação, em 1867 obteve o grau de doutor em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números.

Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia do ``infinito'', que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática, mas sem se chegar a uma conclusão precisa.

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar. Havia reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind (1831-1916), percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável (enumerável) e que a potência ,do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.

Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: “Eu vejo isso, mas não acredito”, e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino.

Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita.

Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker (1823-1891).

O reconhecimento de suas realizações mereceram a exclamação de Hilbert (1862-1943):

“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”.

3.1 ESTUDO AXIOMÁTICO DA TEORIA DE CONJUNTOS

Uma definição matemática é uma convenção que consiste usar um nome, ou uma sentença breve, para designar um objeto ou uma propriedade cuja descrição normalmente exigiria o emprego de uma sentença mais longa; os padrões atuais são: de precisão e objetividade.

Axioma é um princípio básico que é assumido como regra de jogo no processo de inferência lógica, sem demonstração previa.

Na antiga Grécia é onde começo o uso de axiomas, enunciados ou afirmações, sempre condicionados pela sua aparência auto-evidente.

Exemplo 3.1

• “Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente”.

• “O todo é maior que qualquer de suas partes”.

A base da construção de qualquer disciplina matemática é o método axiomático, isto é; o estabelecimento de um conjunto de regras de raciocínio, de enunciados e axiomas (ou postulados) a partir dos quais, e por regras de inferência do sistema derivam-se outros enunciados ou proposições chamados teoremas.

Assim, em geral quando estudamos matemática, freqüentemente encontramos a seguinte terminologia: método axiomático; teorema; corolário; lema.

Método axiomático: Consiste em uma lista de conceitos primitivos, enunciados, axiomas ou postulados de uma teoria matemática todas as demais noções devem ser definidas e as afirmações seguintes devem ser demonstradas.

Teoremas: São proposições a serem demonstradas.

Corolários: São conseqüências imediatas dos teoremas.

Lema: É uma proposição auxiliar usada na demonstração de um teorema.

Um axioma é pois, um princípio que permite iniciar um processo lógico de dedução considerando-o como partida dos passos do raciocínio.

A coleção inicial de sinais, definições, enunciados, axiomas (ou postulados) e regras de derivação desde tais axiomas é o “sistema axiomático” da disciplina que se construa. Este grupo inicial de axiomas ou regras não pode ser qualquer dos enunciados, toda vez que devem cumprir certos requisitos necessários para o desenvolvimento lógico.

Com efeito, estas regras devem ter efeito indecidível, consistente e não contraditório, isto é, a partir de elas podem-se derivar qualquer enunciado da disciplina para o qual serve como fundamento. Justifica-se:

Indecidível: Nenhum axioma do “sistema” pode ser obtido como um teorema partindo dos outros axiomas.

Consistente internamente: Não poderemos ter como teorema do “sistema”, alguma contradição de um axioma.

Não contraditório: O afirmado por um axioma não contradiz o afirmado por qualquer dos restantes axiomas do sistema

Assim, pode-se observar que os teoremas desenvolvem-se apoiados fundamentalmente nos axiomas e definições.

Logo, no desenvolvimento de um “sistema axiomático” de uma teoria matemática, tem-se:

1. Termos não definidos.

2. Relações não definidas.

3. Axiomas que relacionam os termos não definidos e as relações não definidas.

Termos não definidos, são princípios ou regras que disciplinem sua utilização e estabeleçam suas propriedades, estes princípios são chamados axiomas ou postulados e, são proposições que não se demonstram; se aceitam.

Exemplo 3.2

No desenvolvimento axiomático da geometria plana:

• “Pontos” e “retas” são termos não definidos.

• “Ponto em uma reta” ou, o que é equivalente “reta que contem um ponto” é uma relação não definida.

• Dois dos axiomas são:

Axioma 1. Dois pontos distintos estão sobre uma mesma reta.

Axioma 2. Duas retas distintas não podem ter mais de um ponto em comum.

Exemplo 3.3

No desenvolvimento axiomático da teoria de conjuntos:

• “Elemento” e “conjunto” são termos não definidos.

• “Pertinência de um elemento a um conjunto” é uma relação não definida.

• Dois dos axiomas são:

Axioma 1. Dois conjuntos A e B que tem os mesmos elementos, representam o mesmo conjunto.

Axioma 2. Sejam p(x) uma proposição para x, e A um conjunto então existe um conjunto:

B = { a /. a  A, p(a) é verdadeira }

A teoria de conjuntos foi criada em uma situação semi-intuitiva, sua formalização como uma teoria axiomática resultou extremamente difícil, não obstante o simples e pouco problemática que aparentava a noção de conjunto. Seus primeiros desenvolvimentos fizeram aparecer os famosos paradoxos: de Burali-Forte, de Cantor, de Russell; as discussões respeito do axioma de escolha e a hipótese do continuo.

Em toda axiomatização da teoria de conjuntos, é necessário pelo menos, um axioma ou regra que permita discernir sob que condições vários conjuntos representam o mesmo conjunto, isto é, algo que permita nos estender, fazer uma extensão, do conceito de conjunto. Também precisamos de outro axioma que nos permita definir tipos de conjuntos; isto é, outro axioma que poderíamos chamar de “axioma formador de conjuntos”.

A primeira axiomatização apareceu em 1908, com os sete axiomas de Zermelo (1871 -­1953).

1. Axioma de extensão.

2. Axioma de especificação.

3. Axioma do par não ordenado.

4. Axioma das potências.

5. Axioma das uniões.

6. Axioma de escolha.

7. Axioma de infinitude.

A existência de alguns conjuntos não ficava garantida com estes sete axiomas proposto por Zermelo, isto acontecia quando apareceram conceitos de “relações entre conjuntos”, devido a esta situação Fraenkel (1891­-1965) em 1922 propus adicionar um oitavo axioma:

8. Axioma de substituição.

Resultando conhecido como o “sistema axiomático” de Zermelo -­ Fraenkel (sistema Z­-F).

Ainda assim com estes 8 axiomas o sistema era incompleto, pois isto acontecia quando comparava-se conjuntos de infinitos elementos como mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 3.4 Paradoxo de Galileu.

Esse paradoxo afirma que há tantos números quadrados perfeitos quanto há números naturais e vice-versa. Isso é mostrado com a correspondência:

Ao número 1 2 3 4 5 6 . . .

Corresponde 1 4 9 16 25 36 . . .

No entanto, como é possível que isso aconteça se nem todo número é um quadrado?

Este paradoxo é explicado pela observação de que o fenômeno descrito é uma característica que distingue os conjuntos infinitos. Um conjunto infinito é simplesmente um conjunto que pode ser posto em correspondência um a um com um subconjunto próprio dele mesmo.

Von Neumann (1903-1957) em 1925 apresentou um sistema axiomático que representava um avanço sobre o sistema Z--F, pois admitia as classes universais (de todos os conjuntos: os ordinais, os cardinais, etc), no estudados no sistema Z--F.

O conceito primário utilizado por Von Neumann foi o de “aplicação” (função) e não o de conjunto ou classe. A ``tradução'' do sistema formulado por Von Neumann de modo que o conceito primário seja o de classe e elemento de classe, e não o de ``aplicação'', deve-se a Bernays (1898-1977).

Os trabalhos de Bernays deram o rigor à axiomatização da teoria de conjuntos, graças as contribuições de Gödel (1906-1978) e de Quine (1908-2000).

A intenção destas notas é estudar o sistema axiomático N-B-G-Q (Neumann-Bernays-Gödel- Quine). Expondo um sistema de 10 axiomas, estudando propriedades das classes e conjuntos que evidenciem a necessidade de formula-os.

9. Axioma de regularidade.

10. Axioma do conjunto vazio.

3.1.1 Conceitos primitivos.

Conceitos primitivos, são ações “in natura” que permitem formular uma idéia por meio de palavras e/ou caracterização. As seguintes noções são admitidas como conceitos primitivos, e portanto não serão definidas.

• Classe .

• Elemento de uma classe.

• A relação de pertinência.

• A relação de igualdade.

Chamaremos “conjunto” as classes que são elementos de outras classes, e chamaremos “classes últimas” (conjunto universal) as classes que não são elementos de outras classes.

Os conjuntos em geral são representados por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, D, E, . . . ; e seus elementos pelas letras minúsculas: a, b, c, d, e, . . . .

Símbolos

• Variáveis: a, b, c,. . . , são letras minúsculas de nosso alfabeto.

• Relações binárias: = `` . . . é igual a . . .'';  `` . . . é elemento de . . .'' ou `` . . . pertence a . . . '',  `` . . . está contido a . . . '' ou `` . . . é igual a . . . ''

• Conectivos:  “negação”;  “e”;  “ou”;  “se. . . então, . .” ou “ , , implica que, . . . “;  “. . . se e somente se, . . . “

• Quantificadores:  “para todo . . . “;  “existe ao menos um . . .” ou “para algum . . “; ! “existe um único . . “'

• Descritores: ! “o . . . tal que. . .”

Para indicar que um elemento a faz parte de um conjunto A, usaremos a notação a  A e dizemos “a é um elemento do conjunto A” ou “a pertence a A”. Se “a não é elemento do conjunto A”, denotamos a  A. Observe que a  A e a  A são proposições recíprocas.

Se dois símbolos a e b representam o mesmo elemento, escreveremos a = b e dizemos “a é igual a b”. A negação da igualdade a = b denotamos a  b e dizemos que “a é diferente de b”; isto é, os símbolos a e b não representam o mesmo elemento.

Denotamos a classe de um objeto x por C(x); logo dizer que y  C(x), significa que y tem todas as características comuns com x.

Admitiremos que a relação de igualdade entre elementos, é de equivalência isto é; satisfaz as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Logo quaisquer que sejam os símbolos a, b e c, temos:

• a = a . . . (reflexiva)

• a = b, então b = a . . . (simétrica)

• a = b e b = c então a = c . . . (transitiva)

Equivalências (  ).

São equivalentes as seguintes expressões de negação:

• a  b   (a = b )

• a  b   (a  b)

Variáveis dependentes e variáveis independentes.

Em uma sentença matemática, as variáveis que seguem a os quantificadores e ao descritor são as chamadas “variáveis dependentes”, e as outras variáveis são chamadas “variáveis independentes”.

Fórmulas.

Uma fórmula p(x) é geralmente uma proposição composta que depende da variável x. Aqui x é a variável independente.

O conceito de “conjunto” é fundamental em todos os ramos da matemática, nosso estudo axiomático será sob um ponto de vista intuitivo.

Tem-se que um conjunto é uma classe, bem definido de elementos, sendo que este podem ser números, pessoas, rios, etc.

Exemplo 3.5

1. Os números 1, 2, 3, 8, 10.

2. A solução da equação x2+6x-5=0

3. As vogais do alfabeto Português.

4. As pessoas que habitam Pato Branco.

5. Estudantes Pedro, Maria e Fredy.

6. Os rios de Pato Branco.

7. Os números 3, 6, 9, 12, 15.

8. Alunos de Cálculo I.

Note que os conjuntos (1), (3), (5), (7) estão bem definidos, entanto os conjuntos (2), (4), (6), (8) estão definidos enunciando características do seus elementos.

Da mesma maneira, a idéia de “elemento” corresponde à de membro, componente, etc.

O conceito conjunto, está regido pelas seguintes regras:

1. Um conjunto está bem definido se possuí um critério que permita afirmar se um objeto pertence ou não ao conjunto.

2. Nenhum objeto poderá ser, ao mesmo tempo, conjunto e elemento de se mesmo; isto é não deve dar-se o caso a  a.

Exemplo 3.6

O conjunto dos alunos mais elegantes do Curso de Agronomia da UTFPR, não é um conjunto no sentido matemático; “ser mais elegante” não constitui um critério que permite afirmar se uma determinada pessoa é ou não elemento do conjunto, a escolha estará sempre sujeita aos gostos e preferências.

Exemplo 3.7

O conjunto de todos os conjuntos não está bem definido em nossa teoria. Se supormos que ele exista, seria um elemento de se mesmo e assim estaria transgredindo a segunda regra.

Observação 3.1

Um símbolo pode estar representando um elemento determinado (específico) ou um elemento qualquer (genérico) de um conjunto. A diferença entre um e outro poderá obter-se do mesmo texto.

Assim, por exemplo, se A representa o conjunto das vogais, a expressão:

“Seja a um elemento do conjunto A”

não está afirmando que a letra a seja uma vogal, somente o símbolo a está representando no enunciado a qualquer das vogais; neste caso a é um elemento genérico (chama-se também variável) do conjunto.

Por outro lado, a expressão a  A dá a entender que o símbolo a está representando um elemento específico do conjunto A, em particular a letra a.

Observação 3.2

Podemos escrever os elementos de um conjunto de duas maneiras:

a) Por extensão: quando escrevemos cada um de seus elementos separados por vírgulas e colocando-os entre chaves; assim, se A é o conjunto de números naturais pares compreendidos entre 2 e 10, temos: A= { 4, 6, 8}. Esta escrita também é chamada de forma tabular ou enumeração.

b) Por compreensão: quando escrevemos as propriedades que devem ter todos seus elementos, colocando-os entre chaves ; assim se B é o conjunto de números naturais pares. Escrevemos B = { x  N /. x é par}. Esta escrita também é chamada de forma construtiva ou caracterização.

O símbolo / .se lê tais que. Outro modo de representar conjuntos é com letras maiúsculas e sub-índice, A1, A2, . . . , An sendo n  N..

Exemplo 3.8

Os conjuntos do Ejemplo (3.5), podemos denotar como segue:

1. A1 = { 1, 2, 3, 8, 10 }.

2. A2 = { x /. x2+6x-5=0 }

3. A3 = { x /. x é vogal do alfabeto Português }.

4. A4 = { x /. x pessoa que habita Pato Branco }.

5. A5 = { Estudantes Pedro, Maria e Fredy }.

6. A6 = { x /. x é rio de Pato Branco }.

7. A7 = { 3, 6, 9, 12, 15 }.

8. A8 = { Alunos de Cálculo I }.

Conjuntos numéricos.

No que segue indicaremos a notação a utilizar para a designação de alguns conjuntos numéricos.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n } . . . naturais.

Z = { -  . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . + } . . . inteiros.

Q = { /. a, b  Z, b  0 } . . . racionais.

Q = { - . . . , -2, . . . - , . . . , -1, 0, 1, , 3, , . . . + }

I = {± , ± , ± e, ± , , . . . , } . . . irracionais.

O conjunto de números reais denotamos R, é aquele que tem como elementos todos os números racionais Q assim como todos os números irracionais I.

C = { a+bi; a, b  R onde i = } . . . complexos

C = { 1+2i, 3+2i, 5-4i, -1-i, i, 2, 8i, 7, . . . } . . . complexos

Observação 3.3

É importante mencionar que o número zero é considerado número natural, segundo as circunstâncias ou o tema em estudo a ser tratado.

3.1.2 Axioma de extensão.

A idéia de igualdade de dois conjuntos traduz a idéia intuitiva que um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos.

O seguinte axioma estabelece uma simples condição para que duas classes sejam a mesma classe

Axioma 3.1 De Extensão ( 1º. axioma de Zermelo).

Dois conjuntos A, B, que têm os mesmos elementos, representam o mesmo conjunto.

Em notação simbólica:

 A, B; ( a /. a  A  a  B)  A = B

Este axioma assegura que o símbolo lógico = para a igualdade de objetos desta teoria coincide com a intuição de que dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Isto é, todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B, e todo elemento de B pertence ao conjunto A. Denotamos a igualdade entre os conjuntos A e B como A= B.

Exemplo 3.9

Temos a seguinte igualdade entre conjuntos:

a) Sejam A = { 1, 3, 5, 7 } e B = { 7, 5, 3, 1 }, então A= B, isto é { 1, 3, 5, 7 } = { 7, 5, 3, 1 }.

b) Sejam M = { 2, 4, 2, 6 } e N = { 4, 2, 2, 6 }, então M = N, isto é { 2, 4, 6 } = { 4, 2, 6 }.

c) E = { x  R /. x2-3x+2=0 }, F = { 2, 1 }, e G = { 1, 2, 2, 1 }. Aqui resulta E = F = G

Ejemplo 3.10

• Seja A o conjunto de números naturais que são múltiplos de 10 e B o conjunto de números naturais que terminam em zero. Logo A = B.

• Seja B o conjunto de todos os números reais que não são racionais nem irracionais e M o conjunto de todos os números que não são complexos. Aqui B = M.

• Seja L o conjunto de todas as retas do plano que passam por um ponto . S o plano que contém L e ; logo S = L.

3.1.3 Axioma de especificação.

Este axioma garante que, para cada proposição p(x) existe ao menos uma classe formada por todos os conjuntos que satisfazem esta propriedade p(x).

Axioma 3.2 De especificação (2º. axioma de Zermelo)

Para todo conjunto A e toda proposição p(x), corresponde um conjunto B cujos elementos são exatamente os elementos de A para os quais p(x) é verdadeira.

Em símbolos podemos escrever:

 A,  B /. B = { x /. x  A  p(x) } aqui B depende também de} p(x)

Este axioma expressa que se p(x) é uma proposição na linguagem da teoria de conjuntos sendo a variável x livre e A um conjunto, então a classe (coleção) { x /. x  A  p(x) } é um conjunto. Este axioma obriga que os conjuntos estejam formados por elementos de conjuntos já constituídos.

Mostra-se a seguir, que existe exatamente um único conjunto que satisfaz o Axioma (3.2).

Propriedade 3.1

O conjunto B do Axioma (3.2) é único.

Demonstração.

Isto é, temos a mostrar que:

 B /. B = { x /. x  A  p(x) } aqui B depende também de p(x)

Com efeito, suponhamos que exista outro conjunto C com a mesma propriedade, isto é, suponha que:

 C /. C = { x /. x  A  p(x) } aqui C depende também de p(x)

Pelo Axioma (3.2) sabe-se que:

 B /. B = { x /. x  A  p(x) } aqui B depende também de p(x)

Aplicando o Axioma (3.1) segue que:

 B , C /. { x /. x  A  p(x) }

Como B e C dependem da mesma proposição p(x), tem-se que A = B.

Portanto, A = B.

3.1.4 Definições de classes.

Lembre que quando falamos de classe, seus elementos podem ser conjuntos ou elementos de um determinado conjunto.

Assim, para cada fórmula p(x) onde o conjunto A depende da proposição p(x), existe somente um tipo de conjuntos que verificam p(x). Esta classe podemos representar por: C(x) = { x /. p(x) }; a classe dos elementos x tais que verificam a propriedade p(x).

E, a podemos definir por:

{ x /. p(x) } =  ! A /.  x, (x  A  C(x)  p(x))

O fato de que para cada fórmula p(x) exista uma única classe que a verifica, permite definir classes mediante fórmulas. Mostremos uma lista das principais:

1. A classe unitária: { a } = { a /. a = b   C(b) }

2. A classe vazia:  = { x /. x  x }

3. A classe universal: U = { x /. x = x }

4. A inclusão de classes: A  B   x, /. x  A  x  B)

5. A classe união de classes: A  B = { x /. p(x)  x  A  x  B }

6. A classe interseção de classes: A  B = { x /. p(x)  x  A  x  B }

7. A classe diferença de classes: A - B = { x /. x  A  x  B }

8. A classe par ordenado: { a, b } = { a }  { b }

9. A classe da união generalizada: = { x /.  i  J  x  Ai }

10. A classe da interseção generalizada: = { x /.  i  J  x  Ai }

De estas e outras definições obtém-se diversos resultados que determinam toda a Teoria de Conjuntos. Estudemos alguns resultados imediatos da definição de conjunto finito, infinito, vazio, universal, potência. Assim como união, interseção e inclusão de classes.

3.1.5 Conjunto Infinito.

Pelo número de elementos de um conjunto, podemos classificar em:

• Conjuntos infinitos: Intuitivamente, quando no processo da contagem do número de seus elementos, este processo nunca termina.

• Conjuntos finitos: Quando no processo da contagem do número de elementos, este processo termina. Logo, um conjunto é finito se consta de n elementos; sendo n um número natural fixo. Assim, dizemos que um conjunto é finito se não for conjunto infinito.

Exemplo 3.11

São exemplos de conjuntos infinitos:

• A, o conjunto de números naturais maiores que 7.

• B, o conjunto de números reais maiores que 7, e menores que 7,0001.

• C, o conjunto de pontos de uma reta.

• L, o conjunto de todas as retas do plano que pasma por um ponto .

Exemplo 3.12

São exemplos de conjuntos finitos:

• Seja A o conjunto dos dias da semana.

• Seja B o conjunto dos vértices de um polígono regular de n lados.

• Seja L o conjunto de retas que passam por dois pontos fixos num plano.

Exemplo 3.13

a) São conjuntos infinitos:

• A4 = { x  R /. x é par. }

• A5 = { As estrelas do Universo. }

• A6 = { x  N /. x é ímpar. }

b) São conjuntos finitos:

• A1 = {O conjunto de dias do mês. }

• A2 = {Os alunos de Matemática da UFT-Araguaina}

• B, o conjunto de números naturais maiores que 7, e menores que 7,0001.

• A3 = {Os rios da Terra. }

• A4 = { a } chamado conjunto unitário (classe unitária)

3.1.6 Classe: Vazia. Universal

3.1.6.1 A Classe vazia.

O Axioma de especificação permite definir a classe vazia  = {x /. x  x }, que também pode ser denotada por { }.

Esta classe não possui nenhum elemento; em conseqüência à proposição: a   sempre é falsa.

Exemplo 3.14

a) A classe das pessoas vivas com mais de 300 anos.

b) A = { x  R /. x2 + 4 = 0 }

c) O conjunto de números ímpares compreendidos entre 2 e 2,5.

3.1.6.2 A Classe universal.

Na teoria de conjuntos, todos as classes que se consideram serão provavelmente subclasses de uma determinada classe; esta última classe é chamada de classe universal e denotamos por U. Pelo Axioma de especificação a classe universal é: U = { x /. x = x }

Exemplo 3.15

a) A classe U = { x /. x é um número }.

b) A geometria plana é a classe universal de todos os pontos do plano.

3.1.7 Axioma do par não ordenado.

Verificam-se as seguintes propriedades para pares não ordenados:

Propriedade 3.2

i)  a, b ; (C(a)  a  { a, b })

ii)  a, b ; (C(b)  C(c)   a  { b, c }  a = b  a = c )

iii)  a ; ({ a, a } = { a })

iv)  a, b ; ({ a, b } = { b, a })

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

É imediato que se ao menos um dos elementos do par é uma classe última, (classe universal) então o par também o é, pela parte (ii) da Propriedade (3.2); isto é: { b } = U  { a, b } = { a }  U = U.

O problema se apresenta quando os dois elementos do par são conjuntos.

Será que o conjunto também é um par?

Para dar resposta a esta questão precisamos do axioma do par não ordenado: “O par formado por dois conjuntos também é um conjunto”.

Axioma 3.3 Do par não ordenado (3º axioma de Zermelo).

Para todo par de elementos a, b, tem-se que a classe C(a) e, a classe C(b) determinam a classe C{ a, b }.

Isto é:  a, b ; (C(a)  C(b)  C{ a, b }).

Conseqüência imediata deste axioma, é o caráter de conjunto para a classe unitária.

Propriedade 3.3

A classe unitária { a } é o conjunto C{a}.

Demonstração.

Com efeito, pela Propriedade (3.2) para todo a, tem-se que { a } = { a, a }, então C{ a, a } implica C{a}.

Observação 3.4

• Um conjunto não muda se reordenarmos seus elementos.

• Um conjunto não muda se repetimos seus elementos.

• Logo A = B se, e somente se, as proposições a  A e a  B são equivalentes.

Estes enunciados mostram que um conjunto fica determinado pelos seus elementos, e ao mesmo tempo nos dão uma regra sobre o uso do símbolo pertence (). É evidente que a relação de igualdade entre conjuntos é reflexiva, simétrica e transitiva.

3.1.8 Inclusão de conjuntos.

Observação 3.5

É importante diferenciar entre um objeto a qualquer e o conjunto que possui o objeto a como seu único elemento; isto é: entre a e { a }. Pela definição de conjunto, cumpre-se que: a  { a } e b  { a }  a = b.

Definição 3.1 Subconjunto.

Sejam A e B dois conjuntos tais que todo elemento de A também é elemento de B; logo dizemos que A é subconjunto de B e denotamos A  B.

Quando todos os elementos de A também sejam todos os elementos de B, tem-se a inclusão de classes: A  B   x ; (x  A  x  B).

Para o caso do conjunto B ter além dos elementos de A outros elementos, tem-se a inclusão de classes: A  B   x ; (x  A  x  B).

Se um conjunto A é subconjunto de B, também dizemos que A é uma parte de B, ou que B contém A. Se A  B podemos escrever B  A (o conjunto B contém o conjunto A); o símbolo  é denominado símbolo de inclusão.

Exemplo 3.16

a) O conjunto C= { 1, 3, 5 } é subconjunto do conjunto D= { 1, 3, 5 , 7, 9 }

b) Sejam M = { x  N /. x é par } e N = { a  N /. a é múltiplo de 10 }. Logo N é subconjunto de M

c) Da Definição (3.1) podemos afirmar que qualquer que seja o conjunto A cumpre-se:   A e A  A.

Definição 3.2 Subconjunto próprio.

Se A  B, e o conjunto A é diferente do conjunto B, dizemos que A é “subconjunto próprio de B”, ou que A é uma parte própria de B, ou ainda, A está contido propriamente em B e denotamos A B ou A  B.

Logo o conjunto A é uma parte própria de B se, e somente se, todo elemento de A é um elemento de B e existe pelo menos um elemento de B que não pertence ao conjunto A.

Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais e escrevemos A = B se, e somente se, A  B e B  A.

Propriedade 3.4

Observe que a relação de inclusão é reflexiva e transitiva, isto é, se A, B e C são conjuntos, tem-se:

a) A  A . . . reflexiva.

b) A  B e B  C, então A  C . . . transitiva

Demonstração a)

A mostrar que se x  A  x  A .

1. Seja x  A . . . hipótese auxiliar

2. x  A e x  A então x  A . . . tautologia p  p  p

3. x  A  x  A . . .(1 - 2)

4. A  A . . . def. de inclusão.

Portanto, A  A

Demonstração b)

1. A  B . . . hipótese.

2. Seja x  A . . . hipótese auxiliar.

3. x  A  x  B . . .(1), def. 

4. B  C . . . hipótese.

5. x  B  x  C . . .(3) def. 

6. x  A  x  C . . .(3), (5), tautologia (silog. hipot. )

7. A  C . . . def. de 

Portanto, A  C

A negação de A  B denotamos A B isto quer dizer que o conjunto A não está contido no conjunto B; ou que existe um elemento a  A tal que a  B.

Quando dizemos que A  B e B A estamos indicando que A é parte própria de B.

Se o conjunto A é parte própria do conjunto B denotamos A  B

Exemplo 3.17

Seja Z o conjunto de todos os inteiros, e Q o conjunto de todos os números racionais; então temos que Z  Q e Z  Q, lembrar que cada elemento do conjunto de todos os números racionais podemos escrever na forma a/b onde a e b são números inteiros com b  0; em particular quando b = 1 temos que a  Z, assim Z é uma parte própria de Q.

Definição 3.3 Conjuntos comparáveis.

Dois conjuntos A e B são comparáveis, se: A  B ou B  A.

Definição 3.4 Conjuntos não comparáveis.

Diz-se que dois conjuntos A e B são não comparáveis, se A B e B A.

Logo, se dois conjuntos são comparáveis, então A  B ou B  A.

Exemplo 3.18

a) Sejam A= { m, n } e B = { m, n, p }. Logo A é comparável com B, pois A  B

b) Sejam M= { m, n ,o } e N = { m, n, p }. Logo M é não comparável com N, pois M N e N M

Propriedade 3.5

Suponha A   e B  , mostre que se A e B não tem elementos em comum, então A e B são não comparáveis.

Isto é, dados os conjuntos A e B, se A B e B A então A e B são não comparáveis.

Demonstração.

Sendo A   e B   , então existem elementos a  A e b  B. Como A e B não tem elementos em comum, então a  B e b  A.

Portanto A B e B A, isto é A e B são não comparáveis.

3.1.9 Axioma das potências.

Ocorre algumas vezes que os elementos de um conjunto estão determinados por outros conjuntos; por exemplo o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A. Neste caso diz-se que temos uma família de conjuntos ou classe de conjuntos. Em tais casos para evitar confusão se indicam estes conjuntos com as letras inglesas A, B, etc.

Exemplo 3.19

a) O conjunto { {2, 3 }, {2}, {3, 4 } } é uma família de conjuntos

b) O conjunto { {a, b }, a, {b, c }, c } não é uma família de conjuntos, alguns elementos são conjuntos, e outros não.

3.1.10 Conjunto: Potência. Disjunto.

3.1.10.1 Conjunto potência.

A família de todos os subconjuntos de um determinado conjunto dado A, é chamado de conjunto potência de A} e, é denotado por P(A) ou 2A.

Define-se a classe das partes de um conjunto A, ou classe potência de um conjunto A como o conjunto P(A) que satisfaz:

P(A) = { X /. X  A }

Axioma 3.4 Das potências ( 4º. axioma de Zermelo).

Para cada conjunto existe uma coleção de conjuntos os quais contêm entre seus elementos todos os subconjuntos do dado conjunto.

Isto é, para cada conjunto A, a classe C(A) está contida na classe C(P(A)). Onde C(x) indica todos os elementos que pertencem, a uma mesma classe x.

Se um conjunto A tiver n elementos, então o número de elementos do conjunto P(A) tem 2n elementos.

Exemplo 3.20

a) Seja A = { 5, 4 }, então P(A) = { {a}, {b}, {a, b},  }

b) Seja B = { a, b, c }, então P(B) = { {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, B,  }

Exemplo 3.21

• Seja A = {  }, então A é um conjunto unitário; P(A) = { , A } ou P(A) = {  , {  } }

• Seja B= { 0, { 0 }}, então temos que P(B) = {  , {0}, {{0}}, B }

Observação 3.6

Para o Exemplo (3.21) temos:

a)  e A são elementos de P(A) e não são subconjuntos de P(A).

b) Logo   P(A) e A  P(A) e não   P(A) e A  P(A)

c) 0  B e 0  P(B).

Propriedade 3.6

Suponhamos A e B dois conjuntos: A  B se, e somente se, P(A)  P(B).

Demonstração

1. Suponhamos que A  B . . . hipótese.

2. Seja X  P(A) . . . hipótese auxiliar.

3. X é subconjunto de A . . . def. de P(A)

4. X  B . . . (1), def. de 

5. X  P(B) . . . def. de P(B)

6. P(A)  P(B) . . . (2) - (5)

Inversamente (  ).

Suponhamos que P(A)  P(B) . . . hipótese.

Em particular, A  P(A) . . . def. de P(A)

A  P(B) . . . (7), def. de 

Logo, A  B . . . def. de P(B)

Portanto, de (6) e (10) temos que A  B se, e somente se, P(A)  P(B)

3.1.10.2 Conjuntos disjuntos.

Se dois conjuntos, por exemplo, A e B, não tem elementos em comum, dizemos que os conjuntos são disjuntos.

Exemplo 3.22-

Os conjuntos A = { 5, 4 } e B = { 3, 2 }, são conjuntos disjuntos.

Os conjuntos N = { a, b, c } e M = { c, m }, estes conjuntos não são disjuntos.

3.1.11 Diagramas: De Venn-Euler. Linear.

Figura 3.1:

De modo simples e ilustra-se as relações entre conjuntos mediante os chamados “diagramas de Venn-Euler” ou simplesmente “diagramas de Venn”, que representam um conjunto em uma região plana, limitada geralmente por círculos, quadrados, retângulos, losangos.

Exemplo 3.23

Suponha A  B , então cada um dos diagramas da Figura (3.1) ilustra esses conjuntos.

Figura 3.2: Figura 3.3:

Exemplo 3.24

Figura 3.4:

Se os conjuntos C e D são não comparáveis, podemos representa-los mediante os seguintes diagramas das Figuras (3.2) e (3.3).

Outro modo de representar as relações entre conjuntos é a utilização de diagramas lineares. Se A  B, escreve-se então B acima de A e assinalamos estes dois conjuntos mediante uma linha reta, como mostra a Figura (3.4).

Exemplo 3.25

a) Sejam A={ a }, B = { b } e C={ a, b }. Determine seu diagrama linear.

b) Sejam M={ 1 }, N = { 1, 2 }, P={ 1, 2, 3 } e Q = { 1, 2, 4 }. Determine seu diagrama linear.

Solução

Figura 3.5

Figura 3.6

O diagrama do exemplo (a) mostra-se na Figura (3.5); e, o diagrama do exemplo (b) mostra-se na Figura (3.6)

3.1.12 Complemento de um conjunto.

Seja A subconjunto de um conjunto universal U.

Definição 3.5 Complemento de um conjunto.

O subconjunto A' de U, formado por todos os elementos a tais que a  A; isto é A' = {a  U /. a  A }, é denominado conjunto complemento de A com respeito a U ou complementar de A em U.

O conjunto A' também é denotado por CUA.

Exemplo 3.26

Seja A o conjunto de todos os números naturais pares, logo o complemento de A é dado por: CUA = { a  N /. a é ímpar }. Note que estamos considerando U = N.

Exemplo 3.27

Considerando o conjunto U = R, temos que CUQ = { a  R /. a  Q} } = I; logo o complementar do conjunto dos números racionais em R é o conjunto de números irracionais.

Exemplo 3.28

Esquematizar o princípio lógico da propriedade: Se A  B, tem-se que CUB  CUA.

Solução

Sejam p: x  A

q: x  B

Logo,  p: x  A, isto é  p: x  CUA

 q: x  B isto é  q: x  CUB

Logo, o esquema lógico de A  B  CUB  CUA é (p  q)  ( q   p), como podemos verificar representa um princípio lógico (tautologia)

Propriedade 3.7

Sejam A e B dos subconjuntos de um conjunto U, então:

1º. Se A  B, tem-se que CUB  CUA.

2o. CU[CUA] = A.

Demonstração. 1º.

Demonstração por contradição.

1. Seja a  CUB . . . hipótese auxiliar.

2. a  B e a  U . . . def. de conjunto complementar

3. a  A e a  U . . . da hipótese A  B.

4. a  CUA . . . def. de conjunto complementar

5. a  CUB  a  CUA . . . (1)-(4)

Portanto, CUB  CUA.

Demonstração. 2º.

É suficiente mostrar que CU[CUA]  A e A  CU[CUA].

Seja a um elemento quaisquer do conjunto U, e suponhamos que a  CU[CUA], então a  CUA e a  U, como o conjunto CUA é o complementar de A, então a  A; logo da definição de inclusão CU[CUA]  A.

Por outro lado, seja x um elemento quaisquer do conjunto A, então x  CUA e x  U; como CUA é subconjunto de U, da definição de conjunto complementar segue que x  CU[CUA] e x  U; portanto A  CU[CUA].

Exercícios 3-1

1. Quais dos seguintes conjuntos são bem determinados? Justifique sua resposta.

1. { x, {x} } 2. { x, {x, y}, A}

3. X = {a, b, x } 4. {{1}, {  }}

5. Os alunos mais inteligentes do 1^o ano.

6. O conjunto A cujos elementos são: a, {a}, , {b} e B

7. O conjunto de todos os alunos da UFT.

8. O conjunto de todos os números naturais menores que zero.

9. O conjunto de alunos altos da Licenciatura em Matemática em Pato Branco.

10. O conjunto das ruas limpas de Pato Branco.

11. O conjunto de números naturais compreendidos entre a e u.

2. Escrever em notação de conjunto o seguinte:

1. A é superconjunto de B 2. x é elemento de A

3. M não é subconjunto de P 4. a não pertence a A.

5. O conjunto potência de B 6. A classe vazia.

7. A pertence a P(A) 8. M está incluído em N.

9. A constituído pelos números 5, 8, 15, 13.

10. B tem como elementos os números naturais menores que 9.

11. C formado pelos números naturais múltiplos de 7.

12. D constituído pelos inteiros negativos maiores que 3.

3. Traduzir à linguagem oral os seguintes conjuntos:

1. A = { x /. x mora em Lima } 2. B = { x /. x fala espanhol}

3. C = { a /. a é maior de 18 anos } 4. D = {b /. b é cidadão inglês}

4. Escrever por extensão os seguintes conjuntos:

1. A1 = { x /. x2-5x+6=0 }

2. A2 = { x /. x é uma vogal da palavra Fundamentos }

3. A3 = { a /. a2=16, a + 6 = 9 }

4. A4 = { b /. b é algarismo do número 2002 }

5. A5 = { a  N /. a  3  5 < x < 7 }

6. A6 = { (a2-1) /. a  Z  -1  a  3 }

7. A7 = { a3  N /. x = 2  x = 4  x = 3 }

8. A8 = { /. A  N, a < 10  a  {1, 5, 9 } }

9. A9 = { x  Z /. x2 - 5x + 6 = 0 }

10. A10 = { x /. x = (-1)n, x  N }

11. A11 = { /. x  N, 2  x  10, x ímpar }

12. A12 = { (3-5x) /. x  Z , -2  x < 5  3 < x  8 }

5. Determine se os seguintes conjuntos são iguais:

1. { } e { 1} 2. { } e 

3. {a } e {{a} } 4. {  } e {{0}}

6. Poderá se cumprir para algum objeto A que A  B e ao mesmo tempo A  B. Justificar sua resposta com um exemplo.

7. Seja o conjunto A = {a, {a},  }. Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:

1. a  A 2. {a}  A 3. {a}  A 4.   A

5.   A 6.   { a} 7.    8. A t { a }

9. a   10.   { } 11.   { } 12. {a}  

13. { }  A 14. {{a}}  A 15. A  {A }

8. Considere os seguintes conjuntos:

A = {x  Z /. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 0 } C = {x  Z /. 3x=5 }

B = {x  Z /. x positivo menor que 7 } D = {x  Z /. x2-3x+2=0}

Verifique se as seguintes inclusões são verdadeiras:

1. A  B 2. D  A 3. D  C

4. B  A 5. C  A  C  B

9. Sejam A, B e C três subconjuntos de um conjunto universal U e suponhamos que A  B e B  C. Mostre que:

1. Se x  B então x  A.

2. Se x  B e x A então x  C.

3. Se A é parte própria de B, então A é parte própria de C.

4. Se B é parte própria de C, então A é parte própria de C.

10. Seja A = {k  Z /. k é múltiplo de -1 }. Mostre que Z  A, logo concluímos que Z e A são conjuntos iguais.

11. Seja L uma reta no plano P e A um ponto em L. Verificar quais das seguintes afirmações são verdadeiras:

1. L  P 2. { A }  P 3. A  P

4. A  L 5. A P 6. { A }  P

7. A é subconjunto de P.

8. A é subconjunto próprio de P

9. A não é subconjunto próprio de P

12. Dados os conjuntos A e B não comparáveis, então A e B são disjuntos ?

13. Sejam os conjuntos A = {{5}} e B = {5}. Justificar o seguinte:

1. É verdade que A = B ? 2. É verdade que : B  A ?

3. É verdade que A  B ?

14. Seja A = { {3, 4 }, {5}} e temos que 4  {3, 4}, então 4  A? Justificar sua resposta.

15. Verificar quais das seguintes proposições são verdadeiras:

1.Se P(A)  P(B) e P(B)  P(A) então P(A) = P(B)

2. { m, n, p } P ({ m, n})

3. Qualquer que seja o conjunto A, nunca P(A) é a classe vazia.

4. Se A é um conjunto com um número ímpar de elementos, então P(A) também tem um número ímpar de elementos.

16. Mostre que: P ({a, b}) = P ({a})se, e somente se, a = b.

17. Determine o erro se houver, nas seguintes deduções:

1. Seja A= {a, b} e U = {a, c, d}; logo CU A = {c, d}.

2. CBA =   A =  , onde B = 

3. a  A e A  B  a  B

4. a  A e A  B  a  B

5. A  B e a  B  a  A

18. Seja A = { 2n+1 /. n  N}. Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas; justifique sua resposta.

1. Caso a = (2n + 1)2 para algum n  N, então a  A.

2. Se a  A, então a = (2n + 1)2 para algum n  N.

3.Se existem a, b  A tais que c = a.b, então c  A

4. Se a  A, então existem b, c  A tais que a = b.c

19. Mostre que { a } = { b, c } se, e somente se a = b = c.

20. Mostre que {{a } { a, b }} = {{c }, { c, d }} se e somente se a = c e b = d.

21. Quais dos conjuntos A = { x  R /. x2 = 1 }, B = { x  R /. x4 = 1 }, C = { x  C /. x2 = 1 } , D = { x  C /. x4 = 1 } são iguais, e quais distintos. Quais são subconjuntos um dos outros. Justifique.

22. Demonstrar as seguintes igualdades entre conjuntos:

1. { x  R /. x3 - x > 0 } = { x  R /. - 1 < x < 0  x > 1 } .

2. { (x, y, z)  R3 /. x = y, x + y + z = 1 } =

= { (x, y, z)  R3 /. x = t/2, y= t/2, z = 1 - t para algum t  R } .

23. É verdade que A  B se e somente se P(A)  P(B)? Justifique.

24. Seja A0 =  , An = P(An-1), n  N. Descrever explicitamente A1, A2, A3, A4.

1. Quantos elementos tem cada um destes conjuntos?

2. Quantos elementos tem A_n sendo n arbitrário?

25. Da turma do 1º. ano da Licenciatura em Matemática, sabe-se que:

Pelo menos o 70% estuda Geometria, ao menos o 75% estuda Cálculo I, ao menos o 80% estuda Tópicos da Matemática e pelo menos o 85% estuda Fundamentos da Matemática. Qual a porcentagem (pelo menos) que estudam as quatro disciplinas?

Sugestão: Para dois conjuntos quaisquer temos:

o(A  B) = o(A) + o(B) - o(A  B)