4.2 CONJUNTO PRODUTO

4.2.1 Par ordenado.

Intuitivamente, um par ordenado é um objeto matemático que consta de dois elementos, por exemplo, a e b , de modo, que no par designa-se com o primeiro e segundo elemento respectivamente.

Logo, o conjunto { a, b } com a propriedade que a é o primeiro e b o segundo elemento, constitui um par ordenado.

Para não confundir par ordenado com conjunto de dois elementos, um par ordenado denota-se por (a, b) e é definido como u = (a, b) .

Como conjuntos, { a, b } = { b, a } , entanto como pares ordenados, em geral (a, b)  (b, a) . A operação de pares está sujeita á seguinte regra:

“Para que se cumpra que (a, b) = (c, d) tem que acontecer que a = c e b = d . Em particular (a, b) = (b, a) se, e somente se, a = b”

A igualdade entre pares verifica o axioma de extensão, e portanto, são objetos matemáticos que podem ser elementos de um conjunto.

O conceito de par podemos ampliar da seguinte maneira: Dados três objetos matemáticos a, b e c , definimos (a, b, c) = ((a, , b), c) e dizemos que (a, b, c) é uma terna ordenada.

Para que duas ternas ordenadas (a, b, c) e (m, n, p) sejam iguais, é necessário que a =m, b =n e c= p .

4.2.2 Produto cartesiano.

Definição 4.2 Produto cartesiano.

Dados dois conjuntos A e B , o produto cartesiano A  B (nessa ordem) é o conjunto constituído pelos pares ordenados { (x, y)  A  B /. x  A  y  B }

Dois elementos (a1, b1) e (a2, b2) do produto cartesiano A  B dizemos que são iguais se, e somente se, a1 = a2 e b1 = b2 .

Dados os conjuntos A e B , podemos construir os conjuntos A  B e B  A que, em geral são distintos. Para o caso de A = B o produto A  B cartesiano simbolizamos A2 .

Suponhamos temos o conjunto A , e consideremos o produto cartesiano A  A , mostra-se que se A é um conjunto finito com n elementos, então o conjunto A  A tem n2 elementos.

Exemplo 4.2

a) Considere os conjuntos A = {2, 3, 4 } e B = { 3, 5 } , o produto cartesiano A  B = {(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 5) }

b) Seja A = {1, 2, 3} e B = {a, b}, então B A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

c) Suponhamos os conjuntos A = { 2 } , B = { 3, 5 } e C = { a, b } , então (A  B)  C = { ((2, 3), a), ((2, 3), b), ((2, 5), a), ((2, 5), b), }

Propriedade 4.1

Para qualquer conjunto A, B e C tem-se:

1. A  B  B  A . . . não é comutativa

2. (A  B)  C  A  (B  C) . . . não é associativa.

3. A   = 

4. A  (B  C) = A  B  A  C

5. A  (B  C) = A  B  A  C

6. A  (B - C) = A  B - A  C

7. A  B =   A =   B = 

8. A  B  A  C  B  C

9. A  C = B  C  C    A = B

Demonstração ( 4 )

1. (x, y)  A  (B  C) . . .hipótese.

2. x  A  y  (B  C) . . . def. de  .

3. x  A  (y  B  y  C) . . . def. de  .

4. (x  A  y  B)  (x  A  y  C . . . tautologia.

5. (x, y)  (A  B)  (x, y)  (A  C) . . . def. de  .

6. (x, y)  ((A  B)  (A  C)) . . . def. de 

7. A  (B  C)  ((A  B)  (A  C)) . . . de ( 1 )-( 6 )

8. (x, y)  ((A  B)  (A  C)) . . . hipótese.

9. (x, y)  (A  B)  (x, y)  (A  C) . . . def. de 

10. (x  A  y  B)  (x  A  y  C) . . . def. de .

11. x  A  (y  B  y  C) . . . tautologia

12. x  A  y  (B  C) . . . def. de  .

13. (x, y)  A  (B  C) . . . def. de  .

14. ((A  B)  (A  C))  A  (B  C) . . . de ( 8 )-( 13 )

Portanto, de ( 7 ) e ( 14 ) segue que A  (B  C) = A  B  A  C.

Demonstração ( 74 )

Suponhamos que não seja verdade A =   B = , isto é

1.  (A =   B = ) . . . hipótese auxiliar.

2. A    B   . . .lei de Morgan

3.  a  A,  b  B . . . def. de 

4.  (a, b)  A  B . . .def. de 

5. A  B   . . . def. de , def. de 

6. A    B    A  B   . . . ( 1 )-( 6 )

7. A  B =   A =   B =  . . . tautologia.

Portanto, de ( 7 ) A  B =  ==> A =   B = 

A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor.

4.2.3 Diagonal de um produto cartesiano.

Definição 4.3 Diagonal do produto.

Dado o conjunto A, a diagonal do produto cartesiano A  A é o conjunto  A definido por:  A = { (x, y) /.x = y }

Logo, se A = { a_i /. i = 1, 2, 3, . . . } , então o conjunto:  A ={ (a_i, a_i)  A  A /. i = 1, 2, 3, . . . , n } é a diagonal de A  A

Exemplo 4.3

Se A= { 3, 5, 9 } então  A = { (3, 3), (5, 5), (9, 9) }

4.2.4 Relações.

Definição 4.4 Relações.

Dados os conjuntos A e B , dizemos relação de A em B a todo subconjunto de A  B .

Isto é, R é relação de A em B se, e somente se, R  A  B .

Exemplo 4.4

Sejam os conjuntos A = { alunos do 1º. ano de Fundamentos da Matemática } e B = N , então entre A e B podemos formar algumas relações como:

S1 = {(x, y)  A  B /. x tem y anos }

S2 = {(x, y)  A  B /. x tem y reais }

S3 = {(x, y)  A  B /. x tem y de nota na primeira prova }

Observação 4.2

• Se o conjunto A tiver n elementos, o conjunto B tiver m elementos, então A  B têm n.m elementos; e assim podemos obter 2nm subconjuntos diferentes (relações binárias).

• Sendo a relação um conjunto, ela é determinada por extensão nomeando todos seus elementos, ou por compreensão expressando um enunciado aberto p(a, b) tal que para todo (a, b)  A  B , a sentença p(a, b) seja uma proposição.

Exemplo 4.5

Sejam A= { a, b } e B = { 2, 5 } , sabe-se que A  B = { (a, 2), (a, 5), (b, 2), (b, 5) } , e aqui podemos obter 2^4 = 16 relações diferentes a saber:

R1 = { } = 

R2 = { (a, 2) }

R3 = { (a, 2), (a, 5) }

R4 = { (b, 2), (b, 5) }

R5 = { (a, 5), (b, 2), (b, 5) }

.

.

.

R15 = { (a, 2), (a, 5), (b, 5) }

R16 = { (a, 2), (a, 5), (b, 2), (b, 5) }= A  B

Exemplo 4.6

Seja S = { 7, 4, 9, 6, 2 } e T = {5, 1, 4, 3, 2 } e considere a relação R que diz: ”. . . é dobro de . . . “, então podemos escrever:

R = { (x, y)  S  T /. x é dobro de y } . . . por compreensão.

R = { (4, 2), (6, 3), (2, 1), } . . . por extensão.

Observação 4.3

1. Se x  A e y  B e satisfaz que, (x, y)  R , então diz-se que x está em relação com y mediante R e denotamos com o símbolo x R y .

2. Se R é uma relação de A em B , o conjunto A é chamado de “conjunto de partida” e o conjunto B é chamado de “conjunto de chegada”.

3. Dado que o conjunto vazio   A  B , então  é uma relação de A em B e é chamada de ``relação nula ou vazia''.

4. Temos que R é uma relação de A em B se, e somente se, R  A  B .

Propriedade 4.2

Quaisquer que seja uma relação R , tem-se que R  U  U .

Demonstração.

Para todo x  R tem-se que  a, b  U tal que (a, b) = x .

Assim, x  R implica que C(x)  C(a, b) , então C(a)  C(b)  (a, b)  U  U .

Portanto, R  U  U.

4.2. 5 Domínio e Imagem de uma relação.

Seja R uma relação não vazia de A em B , isto é: R = {(x, y)  A  B /. x R y }

Definição 4.5 Domínio de uma relação.

O domínio da relação R é o conjunto dos elementos x  A para os quais existe um elemento y  B tal que (x, y)  R , e denotamos:

D( R) = { x  A /.  y  B  (x, y)  R }

Isto é, o domínio de R é o subconjunto de elementos de A formado pelas primeiras componentes dos pares ordenados que pertencem à relação.

Definição 4.6 Imagem de uma relação.

A imagem ou contradomínio de uma relação R é o conjunto dos elementos y  B para os quais existe um elemento x  A tal que (x, y)  A  B ; e denotamos: Im( R) = { y  B /.  x  A  (x, y) R }

Isto é, a imagem de R é o subconjunto de B formado pelas segundas componentes dos pares ordenados que pertencem à relação.

Exemplo 4.7

No Exemplo (4.5) temos que:

D( R1) = , Im( R1) =  ;

D( R2) = {a} , Im( R2) = {2} ;

D( R3) = {a} , Im( R3) = {2, 5} ;

D(R4) = {b} , Im( R4)={2, 5} e

D( R5) = {a, b} , Im(R5) ={2, 5}

Exemplo 4.8

No Exemplo (4.6) temos que:

D( R) = { 4, 6, 2 } e Im( R) = { 2, 3, 1 }

4.2.6 Diagramas de coordenadas.

Figura 4.1: Figura 4.2:

Estamos familiarizados com o plano cartesiano R  R como mostra a Figura (4.1), cada ponto P  R2 representa um par ordenado (a, b) de números reais. Uma reta imaginária vertical que passa por P corta o eixo horizontal em a e outra reta horizontal corta o eixo vertical em b .

Quando o produto cartesiano de dois conjuntos não tiver muitos elementos, podemos representar em um diagrama de coordenadas diferente. Por exemplo se A = { 1, 2 } e B= { a, b, c } , o produto cartesiano A  B podemos representar mediante o diagrama da Figura (4.2); o ponto Q é o par (2, c) .

Exemplo 9

Figura 4.3:

Sejam os conjuntos A = { x1, x2, x3, x4 } e B = { y1, y2, y3, y4 } , e a relação: R = { (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)}

O diagrama da relação R mostra-se na Figura (4.3).

4.2.7 Gráfico de uma relação.

Definição 4.7 Gráfico de uma relação.

Dados os conjuntos A, B , seu produto cartesiano A  B e uma relação R  A  B . Chamamos de gráfico G_ R de R ao conjunto:

GR = { (a, b)  A  B /. (a, b)  R }

Se um par ordenado (a, b)  GR , dizemos que “b corresponde a segundo R ''.

Exemplo 4.10

Seja B = { 1, 2, 3, 4 } e a relação T  B  R definida por T = { (x, x+3) } , então T tem por gráfico o conjunto GT = { (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7) }

Exemplo 4.11

Se A = {1 , 2 , 3} e B = {a, b} , então GR = {(1, a), (2, a), (3, a), (3, b)} é um gráfico, observe que GR  A  B .

Figura 4.4:

Exemplo 4.12

Seja N e a relação S  N  N definida por S = { (x, x3) } . Então o gráfico GS de S é o conjunto: GS = { (1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64), (5, 125), . . . , (n, n3), . . . }

Exemplo 4.13

Sejam os conjuntos: A = { 3, 4, 5, 6 } , B = {1, 2, 3, 4 } e a relação: S = {(x, y)  A  B /. x = y+2 } . Podemos escrever: S = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4) }

A Figura (4.4) representa o diagrama da relação de S .

O domínio e imagem da relação S é: D(S) = {3, 4, 5, 6 } e Im(S) = {1, 2, 3, 4 } respectivamente.

Exemplo 4.14

Para os conjuntos do Exemplo (4.13) seja: T = {(x, y)  A  B /. x > y } , logo

T = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2),

(6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (5, 4), (6, 4) } .

O domínio da relação T é: D(T) = {3, 4, 5, 6 } ; é a imagem da relação T é: Im(T) = {1, 2, 3, 4 } .