Christian Q. Pinedo
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Existe um conjunto N chamado de �conjunto dos n�meros naturais�' para o qual os seguintes axiomas (chamados axiomas de Peano) s�o verificados:
Axioma 5.2
Ao conjunto N, dos n�meros naturais, pertence o zero 0.
Axioma 5.3
A todo n�mero natural n corresponde outro n�mero natural �nico, chamado o sucessor de n o qual representamos por n^* = n+1.
Axioma 5.4
Dois n�meros naturais distintos, tem sucessores distintos.
Axioma 5.5
O zero n�o � sucessor de nenhum n�mero natural.
Axioma 5.6
Se A � uma parte de N que tem por elementos o zero e o sucessor de todo n�mero natural n, ent�o A = N.
Assim, pelo Axioma (5.2) o conjunto de n�meros naturais N � n�o vazio e fica determinado pela seguinte cole��o:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n , . . . , }
Denotamos o conjunto dos n�meros naturais positivos por:
N+ = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n , . . . , }.
Exemplo 5.2
� O conjunto N de n�meros naturais � indutivo, pois 0 � um n�mero natural e n+1 tamb�m � natural para todo n natural.
� O conjunto de todos os n�meros inteiros � indutivo.
� O conjunto {0, , 1, , 2, , . . . } � indutivo
Observa��o 5.1
1. Denotamos o antecessor de qualquer n�mero natural n N^+ como *n; e este n�mero satisfaz a igualdade: *n +1 = n.
2. Denotamos o consecutivo de qualquer n�mero natural n N como n*; e este n�mero satisfaz a igualdade: n* = n +1.
Propriedade 5.2
Para qualquer n�meros naturais m, e n tem-se:
i)} m n m* n*.
ii) n n*.
iii) n 1 p N, tal que p*=n.
Demonstra��o. i)
Suponhamos que m n e m* n*, ent�o pelo Axioma (5.4) teremos m = n, contrariando a hip�tese.
Demonstra��o. ii)
Seja A ={ m N /. m m* } , pelo Axioma (5.2) temos que 0 N logo 0 A, e se m A, pela defini��o de A temos que m m* e conseq�entemente pela parte i), segue que m* (m*)* , logo m* A e pelo Axioma (5.6) vamos ter que A = N.
Portanto, para todo n N tem-se que n n*.
Demonstra��o. iii)
Seja A = {0} { n N /. m, n N tal que n = m* }.
Por defini��o de M, temos que 0 A. Por outro lado, se n M, com n 0, tem-se que n = m*, para algum m N.
De onde n* = (m*)* e n^* � o sucessor de m*, logo n* A e pelo Axioma (5.6) segue que A= N.
5.2.1 Indu��o matem�tica.
Em matem�tica, muitas defini��es e proposi��es se realizam utilizando o �princ�pio de indu��o matem�tica�. A generaliza��o de uma propriedade ap�s verifica��o de que a propriedade � v�lida em alguns casos particulares, pode conduzir a s�rios enganos como mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 5.3
Considere a rela��o f(n) = 2^{2n}+1 definida para todo n N.
Temos que, quando:
n = 0 ent�o f(0) = 2^{2^0} + 1 = 3
n = 1 ent�o f(1) = 2^{2^1} + 1 = 5
n = 2 ent�o f(2) = 2^{2^2} + 1 = 17
n = 3 ent�o f(3) = 2^{2^3} + 1 = 257
n = 4 ent�o f(4) = 2^{2^4} + 1 = 65537
Observe que todos aqueles n�meros encontrados s�o n�meros primos; P. Fermat (1601 - 1665) acreditou que a f�rmula f(n) representaria n�meros primos qualquer que fosse o valor positivo para n N, pois esta indu��o era falsa, Euler (1707 - 1783) mostrou que para n = 5 resulta f(5) = 4294967297 = 641 6700417, logo a afirma��o de P. Fermat foi precipitada.
Exemplo 5.4
Consideremos a rela��o f(n) = n^2 + n + 41 definida para todo n N, observe que, para valores menores que 40, f(n) � um n�mero primo.
Com efeito, se n = 1, f(1) = 43; se n = 2, f(2) = 47; se n = 3, f(3) = 53; . . . ; se n = 39 , f(39) = 1601. Por�m se n = 40 temos f(40) = 402 + 40 + 41 = (41)(41) n�o � primo, mostrando que a senten�a � falsa. Em 1772 Euler mostrou que f(n) = n2 + n + 41 assume valores primos para n = 0, 1, 2, 3, . . . , 39.
Euler observando que f(n-1) = f(-n) mostrou que n^2 + n + 41 assume valores primos para 80 n�meros inteiros consecutivos, sendo estes inteiros: n = -40, -39, -38, . . . 0 , 1, 2, 3, . . . 38, 39; substituindo a vari�vel n por n - 40 temos f(n-40) = g(n) = n2 - 79n + 1.601; logo g(n) = n2 - 79n + 1.601 assume valores primos para todos os n�meros naturais de 0 at� 79.
Exemplo 5.5
A senten�a:
�2n + 2 � a soma de dois n�meros primos�.
� uma senten�a verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, . . . e, como nos exemplos anteriores ap�s muitas tentativas, n�o achamos algum n�mero natural que a torne falsa.
Ningu�m at� hoje, achou um n�mero natural que tornasse a senten�a falsa e ningu�m, at� hoje, sabe demonstrar que a senten�a � sempre verdadeira. Esta famosa senten�a conhecida como conjetura de Goldbach feita em 1742, em uma carta dirigida a Euler diz:
�Todo inteiro par, maior do que 2, � a soma de dois n�meros primos�.
N�o sabemos at� hoje se esta senten�a � verdadeira ou falsa.
Em resumo, dada uma afirma��o sobre n�meros naturais, se encontramos um contra-exemplo, sabemos que a afirma��o n�o � sempre verdadeira.
E se n�o achamos um contra-exemplo? Nesta caso, suspeitando que a afirma��o seja verdadeira sempre, uma possibilidade � tentar demonstr�-la recorrendo ao princ�pio de indu��o; � necess�rio portanto, dispor de um m�todo com base l�gica que permita decidir sobre a validade ou n�o de uma determinada indu��o, isto esta garantido com a seguinte proposi��o:
Propriedade 5.3 1�. princ�pio de indu��o matem�tica.
Se P(n) � uma proposi��o enunciada em termos de n, para n N tal que:
1�. P(0) � verdadeiro
2�. Para todo h N P(h) � verdadeiro, implica P(h+1) � verdadeiro.
Ent�o P(n) � verdadeiro n N.
Demonstra��o.
Com efeito, seja A={ n N /. p(n) � verdadeira }. Conforme as hip�teses 1�. e 2�. acima temos que 0 A e se k A ent�o k+1 A ou seja as condi��es do Axioma (5.6) est�o satisfeitas.
Portanto A coincide com o conjunto de todos os n�meros naturais, isto � p(n) � verdadeira para todo n�mero natural n.
Os n�meros naturais s�o fechados respeito �s opera��es de adi��o e multiplica��o. As opera��es de subtra��o e divis�o para n�meros naturais, n�o se aplica; caso contrario ter�amos que subtra��o e divis�o de n�meros naturais � um natural; isto �ltimo � um absurdo.
5.2.2 Adi��o de n�meros naturais.
Defini��o 5.4 Adi��o.
Para todo m, n N, a adi��o em N, � uma aplica��o:
+ : N N N
(m, n) +(m, n)
simplesmente denotamos +(m, n) como a+b e satisfaz o seguinte axioma:
Axioma 5.7
� Para todo n N, n + 0 = n
� Para todo (m, n) N N, n + m* = (n+m)*
Propriedade 5.4
O n�mero zero � o elemento neutro para adi��o em N.
Demonstra��o.
A propriedade � verdadeira para n = 0, isto � 0 + 0 = 0, o zero � neutro � direita.
Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para todo n N; isto � 0 + n = n
Mostrarei que a propriedade � v�lida para o sucessor de n; isto � para n*.
Por defini��o de adi��o 0 + n* = (0+n)*, e pela hip�tese de indu��o 0 + n = n, logo 0 + n^* = (0+n)* = n*, e esta propriedade � verdadeira para n^*.
Portanto, pelo axioma de indu��o (Axioma (5.6)) a propriedade � verdadeira para todo n N.
Propriedade 5.5
Se o sucessor de zero � 1, ent�o para todo n N, n* = n+1.
Demonstra��o.
Com efeito, pela hip�tese temos que 0* = 1
Como n + 1 = n + 0^* = (n + 0)*, isto implica pela Propriedade (5.4) que n + 1 = n*.
Propriedade 5.6 Associativa.
A opera��o de adi��o + em N, � associativa; isto �:
Para todo m, n, p N, (m+n)+p = m+ (n+p).
Demonstra��o.
Por indu��o sobre p.
Esta propriedade � verdadeira para p = 0.
(m + n ) + 0 = m + (n + 0) . . . def. de adi��o.
Suponhamos para todo p, seja verdadeira. . . . hip�tese de indu��o.
Mostrarei que a propriedade � v�lida para p*.
(m+n)+p* = ((m+n)+p)* . . . def. de adi��o.
= (m+(n+p))* . . . hip�teses de indu��o.
= m + (n+p)* . . . defini��o de adi��o.
= m + (n+p*) . . . defini��o de adi��o.
Pelo axioma de indu��o conclu�mos que esta propriedade � v�lida para todo n�mero n N.
Propriedade 5.7 Comutativa.
A lei + � comutativa; isto � para todo m, n N temos que m + n = n + m.
Demonstra��o.
Exerc�cio para o leitor.
Propriedade 5.8
Em N, nenhum elemento distinto de zero tem sim�trico para a adi��o; isto � m + n = 0 ent�o m = 0 e n = 0.
Demonstra��o.
Seja m + n = 0. . . . hip�tese.
Suponhamos que n 0 . . . hip�tese auxiliar.
Logo n tem um antecessor ^*n . . . def. de antecessor.
Assim, n= *n+1.
Por conseguinte, m + n = m + (*n+1) . . . substitui��o.
m + n = (m + *n) + 1 . . . associatividade
m + n = (m+*n)* . . . def. de sucessor.
Ent�o m + n = 0 = (m+*n)*, isto implica que zero � o sucessor de algum n�mero. Isto � absurdo ao Axioma (5.5).
Portanto supor n 0 � errado; n tem que ser zero, e pelo Axioma (5.6) resulta m = 0.
Propriedade 5.9 Cancelamento.
Todo n�mero natural � regular para a adi��o, isto �: n N se, a + n = b + n, ent�o a = b.
Demonstra��o.
A demonstra��o � por indu��o sobre n, e utilizamos o fato da aplica��o f de N em N definida por f(n) = n+1 ser injetiva.
A propriedade � verdadeira para n = 0: a+0 = b + 0 ent�o a = b.
Suponhamos que seja verdadeira para n N, a + n = b + n , ent�o a = b.
Mostrarei que a propriedade � v�lida para n*
Seja a+n* = b + n*, ou (a+n)* = (b+n)* . . . def. de adi��o.
Como f � injetiva segue de f(a+n) = f(b+n), ent�o a + n = b + n implica a = b, segundo a hip�tese de indu��o.
5.2.3 Rela��o de ordem em N.
Defini��o 5.5
1. Sejam os n�meros m, n N, dizemos que ``m � maior que n'' e escrevemos m > n, se existe x N tal que m = n+x.
2. Sejam os n�meros a, b N, dizemos que ``a � menor que b'' e escrevemos a < b, se existe y N tal que a+y = b.
Propriedade 5.10
Sejam m, n N ent�o:
i) m<n e n < p, ent�o m < p. . . . transitividade
ii) m<n se, e somente se m+p<n+p . . . monotonicidade
Demonstra��o. i)
Por hip�tese m<n e n < p, logo existem n�meros naturais r e t, tais que n=m+r e p=n+t.
Assim, p=n+t = (m+r)+t = m+(r+t) de onde p > m.
Portanto, m < p.
Demonstra��o. ii)
Se m<n, ent�o existe r N tal que n = m+r, logo n+p=(m+r)+p = m+(r+p) = m+(p+r)=(m+p)+r e portanto, m+p < n+p.
Inversamente.
Se m+p < n+p, ent�o existe t N tal que n+p = (m+p)+t = m+(t+p) = (m+t)+p , assim n = m+t, de onde m < n.
Observa��o 5.2
A rela��o < � transitiva, por�m n�o � reflexiva e nem sim�trica.
Propriedade 5.11 Lei de tricotomia.
Se m, n N uma e somente uma das seguintes alternativas � verdadeira:
i) m = n ii) m < n iii) m > n
A demonstra��o desta propriedade � exerc�cio para o leitor.
Defini��o 5.6
Dados m n N, diz-se que m � menor ou igual que n e escrevemos m n se, m<n ou m=n.
Analogamente define-se a rela��o m n (maior ou igual).
Defini��o 5.7
Seja A um subconjunto de N. Dizemos que m N � o menor elemento de A se:
i) m A.
ii) m n para todo n A.
Propriedade 5.12 Princ�pio da boa ordem.
Se A � um subconjunto n�o vazio de n�meros naturais, ent�o A possui um menor elemento.
Demonstra��o.
Seja A N, A . Se 0 A, ent�o 0 � o menor elemento de A.
Suponhamos ent�o que 0 A e que A n�o tenha menor elemento m N. Isto vai levar a uma contradi��o.
Como m n�o � o menor elemento de A, segue-se que m A ou existe n A tal que n < m.
Seja B = { n N /. m n onde m A }, � imediato que A B = , caso contrario, se existe p A B, ent�o p A e p B implica p p onde p A . Isto � contradi��o; logo A B= .
Por outro lado, 0 B, pois por hip�tese 0 A .
Suponhamos ent�o que n B, como m A, se m n ent�o n* A caso contrario n* seria um menor elemento para A. Assim, se m n^* tem-se que m A e n* B.
Mostramos que 0 B e que n B implica n* B, podemos concluir pelo princ�pio de indu��o generalizada para segue que B = N, mas A B = e como B = N segue que A = .
Por redu��o ao absurdo segue que todo subconjunto n�o vazio A N possui um menor elemento.
Propriedade 5.13
Seja A subconjunto de n�meros naturais tais que k A e m* A, para todo m k em A. Ent�o, A cont�m todos os n�meros naturais n k.
Demonstra��o.
Seja B = { 0, 1, 2, . . . , s } A onde s � tal que s*=k.
Tem-se que 0 B, suponhamos que n B, ent�o n* B; logo pelo princ�pio de indu��o (Propriedade (5.3)) segue que B = N.
Portanto, A cont�m todos os n�meros naturais n k.
Assumindo o princ�pio da boa ordem como axioma, podemos enunciar o princ�pio de indu��o generalizada.
Propriedade 5.14 2�. princ�pio de indu��o matem�tica.
Seja P(n) � uma proposi��o enunciada para n N tal que:
1�. Para n_0 0 tem-se que P(n_0) � verdadeira.
2�. Se P(h) � verdadeiro para h > n_0, implica P(h+1) � verdadeiro.
Ent�o P(n) � verdadeiro n N, tal que n n0.
Demonstra��o.
Consideremos A = { n N /. P(n) � proposi��o falsa }, ent�o A N e CN (A) N, onde CN (A) = { n N /. P(n) � proposi��o verdadeira }.
Pelo princ�pio da boa ordem (Propriedade (5.12)) o conjunto CN (A) possui um menor elemento n0, como n0 A ent�o a proposi��o P(n_0) � verdadeira, logo em virtude da 1�. hip�tese n0 0.
Para h > n_0 se P(h) � verdadeira, implica que tamb�m P(h*) � verdadeira, logo h* CN (A) de onde h* n_0 em CN (A).
Em virtude da Propriedade (5.13) segue que CN (A) cont�m todos os naturais n n0.
Portanto, P(n) � verdadeiro n N, tal que n n0.
Exemplo 5.6
Utilizando o princ�pio de indu��o matem�tica, mostre que:
3[12+32+52+ . . . + (2n-1)2] = n(4n2-1) n N, n 0
Solu��o.
Seja S o conjunto dos n�meros naturais que satisfazem:
3[12+32+52+ . . . + (2n-1)2] = n(4n2-1) (5.2)
Se n = 2 tem-se de (5.2) que, 3[12+32] = (2)(3)(5) = 30, logo a proposi��o � verdadeira.
Suponhamos para h S em (5.2) a seguinte igualdade seja verdadeira.
3[1^2+3^2+5^2+ . . . p + (2h-1)^2] = h(4h^2-1) (5.3)
Para h+1 S tem-se pela hip�tese auxiliar (5.3) que:
3[12+32+52+ . . . + (2h-1)2 + (2h+1)2] =
h(4h2-1)+ 3(2h+1)2= (h+1)(2h+1)(2h+3)
Portanto, S = N e a f�rmula (5.2) � v�lida n N, n 0.
Exemplo 5.7
Mostre que, para todo n�mero real (1+x)n -1 e para qualquer natural n N ent�o tem-se a desigualdade (1+x)n 1 + nx.
Demonstra��o.
Seja S o conjunto de n�meros naturais para os quais (1+x)^n 1 + nx.
1�. 1 S pois, (1+x)^1 1 + (1)x.
2�. Se h S, temos que (1+x)^h 1 + hx, ent�o (1+x)^{h+1} = (1+x)(1+x)^h (1+x)(1+hx) 1 + x + hx + hx^2 1 + (h+1)x.
Logo, se h S ent�o (h+1) S.
Aplicando o princ�pio de indu��o matem�tica temos que S = N.
5.2.4 Multiplica��o de n�meros naturais.
Defini��o 5.8 Multiplica��o em N.
Para todo m, n N, a multiplica��o em N, � uma aplica��o:
� : N N N
(m, n) �(m, n) =m n
simplesmente denotamos � (m, n) como m n e satisfaz o seguinte axioma:
Axioma 5..8
1. Para todo n N, n 1 =n.
2. Para todo (m, n) N N, m n* = m n + m.
Propriedade 5.15
O n�mero zero satisfaz 0 n = n 0 = 0.
Demonstra��o.
Por indu��o sobre n.
Esta propriedade � verdadeira para n = 0, portanto 0.0 = 0 por defini��o de multiplica��o.
Suponhamos seja verdadeira para n, logo:
0 n = 0 . . . hip�tese auxiliar.
Mostrarei que � v�lida para n*.
0 n* = 0 n + 0 . . . def. de multiplica��o.
= 0+ 0 . . . hip�tese de indu��o.
Segundo o axioma de indu��o, a propriedade � verdadeira para todo n N.
Propriedade 5.16 Elemento neutro multiplicativo.
O n�mero 1 � o elemento neutro para a multiplica��o, isto �, n N, 1 n = n 1 = n.
Demonstra��o.
� suficiente mostrar que 1 � elemento neutro � direita.
Com efeito, se n=1 tem-se que 1 1 = 1 o qual � verdadeiro.
Suponhamos para h > 1, que 1 h = h . Mostrarei que 1 h* = h*.
Aplicando a hip�tese indutiva, observe que 1 h* = 1 h + 1 = h+1 = h^*.
Portanto, o n�mero 1 � o elemento neutro para a multiplica��o.
Propriedade 5.17
O conjunto dos n�meros naturais � fechado respeito da multiplica��o; isto �, para todo m, n N tem-se m n N.
Demonstra��o.
Suponhamos n seja n�mero natural arbitr�rio fixo, e consideremos a proposi��o: P(m) : n m N, para todo m N.
Assim, P(1) : n 1 = n N � verdadeira, pois n 1 = n.
Suponhamos que para algum h N a proposi��o P(h) : n h N seja verdadeira.
Logo, pelo Axioma (5.8) e hip�tese indutiva, segue que n h* = n h + n � verdadeira. Isto � n h* N.
Portanto, o conjunto dos n�meros naturais � fechado respeito da multiplica��o.
Propriedade 5.18
Quaisquer que sejam os n�meros naturais m e n, tem-se que m* n = mn + n.
Demonstra��o.
Exerc�cio para o leitor.
Propriedade 5.19 Comutativa.
A multiplica��o � comutativa; isto � para todo (m, n) N N, temos mn = n m.
Demonstra��o.
Esta propriedade � verdadeira para n = 0
m. 0 = 0. m . . . Propriedade (5.5)
Suponhamos verdadeira para n, ent�o m n = n m . . . hip�tese auxiliar.
Mostrarei que � v�lida para n*
m n* = m n + m . . . def. de multiplica��o.
= n m+m . . . hip�tese de indu��o.
= n* m . . . Propriedade (5.18)
Pelo axioma de indu��o, segue que a propriedade � v�lida n N.
Existe uma propriedade em N que relaciona ambas as opera��es de adi��o e multiplica��o, chamada propriedade distributiva.
Propriedade 5.20 Distributiva.
A multiplica��o � distributiva respeito � adi��o; isto � para todo (m, n, p) N N N tem-se que: (m+n) p = m p + n p.
Demonstra��o.
� suficiente mostrar a distributividade pela direita por indu��o sobre p.
A propriedade � verdadeira para p = 0, ent�o (m+n).0 = m 0+n 0
Suponhamos seja verdade para p, (m+n)p = m p + n p
Mostrarei para p*.
(m+n)p* = (m+n)p + (m+n) . . . def. de multiplica��o.
= m p + n p + m + n . . . hip�tese de indu��o.
= (m p + m) + (n p + n) . . . comutativa da adi��o.
= m p* + n p* . . . def. de multiplica��o.
Pelo axioma de indu��o, a propriedade � verdadeira n N.
Propriedade 5.21 Associativa.
A multiplica��o � associativa, isto �, para todo m, n, p N, (m n) p = m (n p).
Demonstra��o.
Mostra-se por indu��o sobre p, usando a Propriedade (5.20)
Propriedade 5.22
Em N, se um produto � nulo, ent�o ao menos um dos elementos � nulo; isto �: se m.n = 0, ent�o m = 0 ou n = 0.
Demonstra��o.
1) Suponhamos m n = 0 e m 0. . . . hip�tese.
2) m n* = m n + m . Axioma da multiplica��o
3) m n* = 0 + m . . (2) e (1)
4) m n* = m 1 . . (3) e Axioma da multiplica��o
5) n* = 1 . . . (4) e Propriedade
6) n=0 . . .. (0^* = 1)
Portanto, m.n = 0 implica m = 0 ou n = 0.
Propriedade 5.23
Em N, nenhum elemento distinto de 1 tem sim�trico para a multiplica��o, isto � m n = 1, ent�o m = 1 e n = 1.
Demonstra��o.
Suponhamos que m n = 1, se n 0 pela Propriedade (5.20), existe *n N tal que m n = m(*n) + m.
Do mesmo modo, se m 0, existe *m tal que m = *m+1, logo m n = *m n + n = 1, ent�o m (*n) + *n = 0, logo *n = 0 e n = 1.
De onde pela hip�teses temos que 1 m = 1 implica que m = 1.
Propriedade 5.24
Em N+= N - {0} todo elemento � regular, isto � a, b N+, a n = b n e n 0 ent�o a = b.
Demonstra��o.
Demonstra-se por indu��o sobre n, considerando como primeiro elemento n = 1.
Conseq��ncia desta propriedade � que, a N* definimos a aplica��o ga : N N por ga(n) = a.n. Observe que esta aplica��o � injetiva e que a b implica ga gb.
5.2.5 Pot�ncia inteira de um n�mero natural.
Para todo a, n N tem-se que a n-�sima pot�ncia do n�mero a � outro natural denotado por an, e se l� �a elevado � n�
Defini��o 5.9
Seja a N, a 0, para todo n N definimos a0 = 1 e an+1 = an a
Desta defini��o resulta que, para o caso a = 0, a express�o 00 n�o est� definida. Propriedade 5.25
As propriedades das pot�ncias inteiras resultam da defini��o, em particular.
� a, m, n N, am an = am+n, se a 0.
� a, n, p N, (an)p = anp, se a 0.
A demonstra��o desta propriedade � exerc�cio para o leitor.
Exemplo 5.8
Considere h: N N N definida como segue: h(a, b) = a * b = a . Determine se h � comutativa, associativa. Determine o elemento neutro de h caso exista. Que elementos em N tem sim�trico?
Solu��o.
Como a * b = a e b * a = b, logo h n�o � comutativa, a * (b * c) = a * b = a e (a * b) * c = a * c = a logo � associativa.
Se h tem elemento neutro e, ent�o e * a = a para todo a N por�m a * e = a, assim n�o existe elemento neutro.
No tem sentido calcular o elemento sim�trico se, n�o tem elemento neutro.
Exemplo 5.9
Seja ( ) uma opera��o em R2 definida por (x, y) (x', y') = (xx'-yy', yx' + xy'). Demonstre que � comutativa e associativa.
Demonstra��o.
a) Comutativa?
(x, y) (x', y') = (xx'-yy', yx' + xy') =(x'x-y'y, y'x + x'y)=(x', y') (x, y)
b) Associativa?
((x, y) (x', y')) (c, d) =(xx'-yy', yx' + xy') (c, d) =
=(c(xx'-yy')-d(yx' + xy'), c(yx' + xy')+ d(xx'-yy')) =
= (cxx'-cyy'- dyx'-dxy', cyx' + cxy'+ dxx'-dyy') (5.4)
Por outro lado
(x, y) ((x', y') (c, d)) = (x, y) (x'c-y'd, y'c + x'd) =
=(cxx'-cyy'- dyx'-dxy', cyx' + cxy'+ dxx'-dyy') (5.5)
Observando (5.4) e (.55) tem-se que ((x, y) (x', y')) (c, d) = (x, y) ((x', y') (c, d))
Portanto � associativa.
Exerc�cios 5-1
1. Mostre que, para todo n N tem-se n+1=1+n.
2. Mostre que a rela��o + : N N N � comutativa; isto � para todo m, n N temos que m + n = n + m.
3. Mostre que m + n m para todo m, n N+.
4. Mostre que, dados m, n N tais que m=n, ent�o m+r=n+r para todo r N.
5. Mostre que < em N ^+ � uma rela��o transitiva, mas n�o � reflexiva nem sim�trica.
6. Mostre que n 0, para todo n N.
7. Demonstre que para qualquer m, n N, uma e somente uma das proposi��es:
(a) m = n, (b) n > m, (c) m > n
� verdadeira. (Lei de tricotomia)
8. Demonstre que se, m, n N e n>m, ent�o, para cada p N, n+p > m+p e reciprocamente.
9. Mostre que:
a) (m + n) (p + q) =(m p+ m q)+(n p+n q)
b) m (n+p) q=(m n) q+m(p q)
c) m* + n* = (m+n)*+1
d) m* n* = (mt n)*+m + n
10. Sejam m, n, p, q N e defina m n pq = (m n p) q: (a) Mostre que nesta igualdade, podemos inserir par�nteses � vontade. (b) Prove que m(npq) = m n + m p + m q.
11. Identifique S = { x /. x N, n^* > x > n para todo n N }.
12. Se m, n, p, q N e se n > m e q > p, mostre: (a) n+q > m+p, (b) q n > m p.
13. Sejam m, n N. Mostre que (a) Se m = n, ent�o n < h^* m para todo h N. (b) Se h* + m = n para algum h N, ent�o n > m.
14. Para m, n N mostre que: (a) n2 > m n > m2, (b) m2+n2 > 2m n
15. Mostre que, se o produto de n n�meros positivos � igual a 1 (um), a soma dos mesmos n�o � menor que n.
16. Para todo m N, defina m1= m e mp+1 = mp m desde que mp esteja definido. Se m, n, p, q N prove que:
a) mp mq = mp+q b) (mp)q = m^{p q} c) (m n)p = mp np
17. Utilizando o princ�pio de indu��o matem�tica, mostre cada um dos seguintes enunciados:
1.} 6 (1^2+2^2+3^2+ . . . + n^2 ) = n(n+1)(2n+1) n N, n 0
2.} 4[1^3+2^3+3^3+ . . . + n^3] = n^2(n+1)^2 n N, n 0
3.} 2[1+4+7+ . . . + (3n-2)] = n(3n-1) n N, n 0
4.} 3 [12+32+52+ . . . + (2n-1) 2] = n(4n2-1) n N, n 0
5.} 2 [2 + 5 + 8 + . . . + (3n-1)] = n(1+3n) n N, n 1
6.} 20 + 21 + 22 + . . . + 2n-1 = 2n � 1 n N, n > 1
7.} 3 [1 2 + 2 3 + 3 4 + . . . + n(n+1)] = n(n+1)(n+2) n N, n 0.
18. Mostre que, se a, b N tais que b a e a 0, ent�o uma das seguintes igualdades cumpre: 1. a = qb 2. a = qb + r, r < b, onde q, r N.
19. Se n N, o fatorial do n�mero n � denotado n!, e definido do modo seguinte:
0! = 1 , 1! = 1 e quando n > 1 define-se n! = 1 2 3 4 5 . . . (n-1) n ou n! = n(n-1)(n-2)(n-3) . . . 4 3 2 1. Mostre que:
1. 2^{n-1} n! n N.
2. 2^n < n! < n^n para n N n 4.
20. Mostre a desigualdade: (n+1)2 > 22 n ! para n N sendo n 2.
21. Mostre que todo subconjunto n�o vazio A N possui um primeiro elemento, isto �, um elemento n0 A tal que n0 n para todo n A.