4.5 APLICAÇÃO

O conceito básico de aplicação é o seguinte:

“Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma aplicação”.

De outro modo, dados os conjuntos A e B , existem diversas relações de A em B , entre estas tem particular importância aquelas que satisfazem a seguinte definição:

Definição 4.17 Aplicação.

Uma relação f de A em B denotado f: A  B, é uma “aplicação” se, e somente se a todo elemento a  A , corresponde um único elemento b  B .

A definição é conhecida como, “conceito intuitivo de aplicação”. Se (a, b)  f , observe que ao elemento a  A corresponde o elemento b  B , logo dizemos que “a imagem de a mediante a aplicação f é o elemento b”, este elemento a é denominado “pré-imagem do elemento b pela aplicação f” e denotamos b = f(a) .

Logo, as duas condições que deve cumprir toda relação f de A em B para que seja aplicação são:

Existência:  a  A , existe um elemento b  B , tal que (a, b)  f .

Unicidade:  a  A , existe um único elemento b  B tal que (a, b)  f .

Isto é, se (a, b1)  f  (a, b2)  f  b_1 = b_2

Observe os diagramas das relações das Figuras (4.7) e (4.8).

Figura 4.7: Figura 4.8:

A relação da Figura (4.7) acima não é uma aplicação, pois existe o elemento 1 no conjunto A , que não está associado a nenhum elemento do conjunto B .

Figura 4.9:

A relação da Figura (4.8) também não é uma aplicação, pois existe o elemento 4 no conjunto A , que está associado a mais de um elemento do conjunto B . Preste muita atenção no diagrama da Figura (4.9).

A relação da Figura (4.9) é uma aplicação, pois todo elemento do conjunto A , está associado a somente um único elemento do conjunto B .

De um modo geral, dados dois conjuntos A, B e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma aplicação de A em B se, e somente se, para todo a  A existe um único b  B de modo que a se relacione com b .

Com base nos diagramas da Figura (4.7) - (4.9) acima, concluímos que existem duas condições para que uma relação f seja uma aplicação:

1º. O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de uma “flecha”. Se tivermos um elemento de A do qual não parta uma flecha, a relação não é aplicação.

2º. De cada elemento de A deve partir uma única “flecha”. Se de um elemento de A partir mais de uma “flecha”, a relação não é aplicação.

Logo, dados dois conjuntos não vazios A e B , dizemos aplicação f de A em B a qualquer relação binária que vincula a cada elemento a  A um único elemento b  B , e denotamos f:A  B e se lê “a aplicação f de A em B”.

Quando o domínio e imagem de uma aplicação são o mesmo conjunto; isto é f:A  A é freqüente chamar f de “operador ou transformação sobre A”. Os operadores são casos especiais importantes de aplicações.

4.5.1 Domínio e Imagem de uma aplicação.

Da definição de aplicação temos que toda aplicação é uma relação, porém nem toda relação é uma aplicação, o domínio e imagem de uma aplicação são respectivamente o domínio e imagem da relação que ela representa.

Seja f :A  B , definimos o domínio de f como o conjunto A e denotamos D(f) ; e a imagem de f como sendo o conjunto Im(f) = { b  B /.  a  A  b = f(a) } .

Observação 4.5

1. Alguns autores definem aplicação com a possibilidade do domínio D(f) ser um subconjunto próprio de A , isto é D(f)  A , e quando cumpre que D(f)= A eles chamam “aplicação totalmente definida”.

2. Segundo nossa definição de aplicação, tem-se que o domínio de uma aplicação f : A  B é o conjunto D(f)= A .

4.5.2 Axioma de substituição.

O que interessa saber é se uma subclasse de conjunto também é um conjunto e se uma aplicação realmente é um conjunto. Para saber isto é necessário o axioma de substituição.

Axioma 4.1 De substituição ( 8º. axioma de Fraenkel).

Dado um conjunto A e p(a, b) uma proposição de modo que para cada a  A o conjunto { b /. p(a, b) } pode ser formado, então existe uma aplicação f com domínio D(f) = A tal que f(a) = { b /. p(a, b) } para cada a  A .

Dizer que { b /. p(a, b) } pode ser formado significa, naturalmente que um conjunto f(a) tal que b  f(a) se e somente se p(a, b) é verdade.

A razão para o nome deste axioma é que ele capacita-nos a construir um novo conjunto a partir de um velho pela substituição de cada elemento do velho por uma coisa nova.

A mais importante aplicação deste axioma está em estender o processo de contagem para além dois números naturais.

Propriedade 4.5

 (A, B) (CB  A  B  CA) .

Demonstração. a)

Suponhamos os conjuntos X  Y.

Se X =  tem-se que CY  X  Y implicam de imediato a CX = C  .

Suponhamos que X  , então existe a  X .

Definimos: g = { (m, n) /. (m  X  m=n)  (m  Y-X  n=a) } então para aplicação g(Y) tem-se que D1(g) = X  (Y - X) = Y  D2(g) = X  {a} = X , isto implica que D1(g) = Y  D2(g) = X então D1(g) = Y  D2(g) = X  CY , isto é CD1(g)=Y  CD2(g)=X) . Assim, CD2(g)=Y implica CX .

Definição 4.18 Aplicações iguais.

Se f e g são aplicações definidas num mesmo domínio A e se f(a) = g(a)  a  D(f) , então as aplicações são iguais e escrevemos f = g .

Exemplo 4.45

Sejam os conjuntos A = { 2, 3, 5 } e B = { a, b, c }

• A relação f1 = { (2, a), (3, b) } não é aplicação de A em B , isto pelo fato de 5 não ser pré-imagem de elemento algum.

• A relação f2 = { (2, a), (2, b), (3, b), (5, c) } não é aplicação, isto pelo fato de existirem dois pares diferentes com a mesma primeira componente.

• A relação f3 = { (2, a), (3, a), (5, a) } é aplicação, isto pelo fato D(f3)= A e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente; observe que Im(f) = { a } .

• A relação f4 = { (2, a), (3, b), (5, c) } é aplicação, isto pelo fato D(f4)= A e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente; observe que Im (f) = { a, b, c } .

Exemplo 4.46

Sejam os conjuntos C = { 5, 2, 3 } e D = { 4, 2 }

A relação g1 = { (5, 4), (2, 4), (3, 2) } é aplicação de C em D , isto pelo fato D(g1)= C e não existem em g_1 pares diferentes com a mesma primeira componente.

A relação g2 = { (5, 4), (2, 4), (5, 4) } não é aplicação, isto pelo fato D(g2)  C .

A relação g3 = { (5, 4), (2, 4), (5, 4), (3, 2) } é aplicação de C em D , isto pelo fato D(g3)= C e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente.

Observação 4.6

Seja a aplicação f:A  B e (a, b)  f , como a e b tem seus valores variando nos conjuntos A e B respectivamente, a e b recebem o nome de variáveis.

A variável x é chamada “variável independente” e a variável b, “variável dependente”, é costume escrever (a, b)  f como b=f(a) e, para obter o valor de b dependemos de um valor de a .

Uma aplicação f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação b = f(a).

4.5.3 Gráfico de uma aplicação.

O gráfico de uma aplicação é o mesmo gráfico da relação que ela representa. Dada uma aplicação podemos desenhar seu gráfico em um sistema de coordenadas cartesianas, seguindo o mesmo processo para diagrama de relações.

4.4.2.1 Construção do diagrama de uma aplicação.

Um sistema de coordenadas cartesianas consiste em um par de retas de números reais as quais se interceptam formando ângulo reto como mostra a Figura (4.10); a reta horizontal é chamado “eixo- x” ou “eixo das abscissas” e a reta vertical é chamada de “eixo- y” ou “eixo das ordenadas”.

Figura 4.10 Figura 4.11

Para desenhar o gráfico de uma aplicação y = f(x), é suficiente atribuir valores do domínio D(f) à variável x e, usando a relação matemática que define a aplicação, calcular os correspondentes valores para y = f(x).

Exemplo 4.47

Sejam os conjuntos A = { 4, 6, 2, 5 } e B = { 3, 0, 5, 1, 9 } .

Para o diagrama do gráfico da aplicação f = {(4, 5), (6, 1), (2, 5), (5, 3) } é suficiente considerar um sistema de coordenadas cartesianas com os respectivos elementos de f como mostra a Figura (4.11).

Exemplo 4.48

Desejamos construir o diagrama da aplicação f: R  R definia por y = f(x) = 2x - 1. Primeiro observe que o domínio são todos os números reais, logo podemos considerar x = 2, x = 4, x = 6, x = 8, e assim calculamos os respectivos valores para y , como indica a Tabela 4.1.

Figura 4.12:

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano como mostra a Figura (4.123).

X 2 4 6 8 10 11

Y 3 7 11 15 19 21

Tabela 4.1:

O diagrama da aplicação é uma reta que passa pelos seis pontos encontrados. Basta traçar a reta pelo fato f  R  R , e o diagrama estará construído.

Do fato da unicidade, deduz-se que se um a aplicação tem seu diagrama num sistema de coordenadas retangulares, toda reta paralela ao eixo vertical intercepta este diagrama somente num ponto.

4.5.4 Definição formal de aplicação.

Definição 4.19

Uma aplicação f definida em A com valores em B e domínio D(f)  A , a um subconjunto Gf  A  B que satisfaz as seguintes condições:

i)  x  D(f) ,  y  B tal que (x, y)  Gf .

ii) Se (x, y)  Gf e (x, z)  Gf , então y = z .

Da parte (i) podemos afirmar que a todo elemento x  D(f) corresponde pelo menos um elemento y  B tal que (x, y)  Gf; e de (ii) o elemento y associado ao elemento x é único.

4.5.5 Aplicação biunívoca, sobrejetiva e bijetiva.

Definição 4.20 Aplicação biunívoca.

Dizemos que uma aplicação f:A  B com domínio D(f)  A é biunívoca se, elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas; isto é para qualquer x1 , x2  D(f) com x1  x2 tem-se que f(x1)  f(x2) .

Esta definição é equivalente a:

Dizemos que uma aplicação f: A  B com domínio D(f) , é “biunívoca” se para qualquer x1 , x2  D(f) com f(x1) = f(x2) tem-se que x1 = x2 .}

Definição 4.21 Aplicação sobrejetiva.

Dizemos que uma aplicação f: A  B com domínio D(f)  A , é “sobrejetiva” se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio; isto é para todo é para todo y  B , existe x  Df) tal que f(x) = y ; logo a aplicação f: A  B é sobrejetiva se Im(f) = B .

Definição 4.22 Aplicação bijetiva.

Uma aplicação é bijetiva quando ela é sobrejetiva e biunívoca.

Exemplo 4.49

a) A aplicação f: R  R definida por f(x) = 3x é biunívoca pois se x1  x2 então 3x1  3x2 , portanto f(x1)  f(x2) .

b) A aplicação f: R  R definida por y = 3x é biunívoca, como vimos na parte (a) deste exemplo. Ela também é sobrejetiva, pois Im(f) = B = R. Logo, esta aplicação é bijetiva.

c) A aplicação g: N  N definida por y = x+5 não é sobrejetiva. Pois Im(g) = { 5 , 6, 7, 8, . . . } e o contradomínio é N , mas é biunívoca, pois valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa aplicação não é bijetiva.

Exemplo4.50

Considere os conjuntos A = { 5, 6, 7, 8} e B = { 1, 2, 3, 4, 9 } definida pela equação y = x - 4 .

Para cada a  A fica associado um único y  B .

Considerando y = f(x) = x - 4 tem-se f(5) = 1, f(6) = 2, f(3) = 7 e f(8) = 4 . Esta aplicação é biunívoca, não é sobrejetiva (para o elemento 9  B, não existe um elemento em A ), logo não é bijetiva.

São sinônimos de aplicação biunívoca; aplicação injetiva ou aplicação um-a-um.

Exemplo 4.51

a) Sejam A = {1, 3, 9, 10 } e B = { 2, 3, 4, 5 } e f :A  B a aplicação definida por f(1) = 2, f(9) = 3 , f(3) = 4 e f(11) = 5 é aplicação bijetiva.

b) A aplicação h = {(x, y)  R2 /. y = x^2+1; -3 < x  3 } não é biunívoca.

Definição 4.23 Aplicação identidade.

Seja f:A  A uma aplicação, definida por f(x) = x ; isto é a aplicação que faz corresponder a cada elemento de A o mesmo elemento, é chamada de “aplicação identidade”. Denotamos a aplicação identidade em A com o 1A

Definição 4.24

Uma aplicação f:A  B é chamada “aplicação constante”, se a todo elemento a  A corresponde somente o elemento b  B . Logo D(f)=A e Im(f) = { b } .

4.5.6 Composição de aplicações.

Definição 4.25 Composição de aplicações.

Sejam f: A  B e g: B  C duas aplicações tais que Im(f)  B ; a aplicação (gof) definida por (gof)(x) = g(f(x)) denomina-se “aplicação composta de g e f “ (nessa ordem).

O domínio da aplicação gof é: D(gof) = { x  D(f) /. f(x)  D(g) } .

O esquema da Figura (4.13) mostra como está definida a composição de aplicações.

Figura 4.13:

Exemplo 4.52

Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e sejam f, g: A  A definidas por: f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 3, f(4) = 1, f(5) = 2, g(1) = 4, g(2) = 1, g(3) = 1, g(4) = 2, g(5) = 3 .

Determine gof e fog .

Solução.

(gof)(1) = g(f(1)) = g(3) = 1 (fog)(1) = f(g(1)) = f(4) = 1

(gof)(2) = g(f(2)) = g(5) = 3 (fog)(2) = f(g(2)) = f(1) = 3

(gof)(3) = g(f(3)) = g(3) = 1 (fog)(3) = f(g(3)) = f(1) = 3

(gof)(4) = g(f(4)) = g(1) = 4 (fog)(4) = f(g(4)) = f(2) = 5

(gof)(5) = g(f(5)) = g(2) = 1 (fog)(5) =f(g(5)) = f(3) = 3

Observe que as aplicações gof e fog não tem a mesma definição.

Exemplo 4.53

a) Dadas as aplicações f(x) = x2-1 e g(x) = 2x , determine (fog)(x) e (gof)(x) .

b) Dadas as aplicações f(x)=5x e (fog)(x) = 3x + 2 , determine g(x) .

c) Dadas as aplicações f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3x - 4 , determine (fog)(3) .

Solução. (a)

(fog)(x)= f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1 .

(gof)(x) = g[f(x)] = g(x^2-1) = 2(x^2-1) = 2x2 - 2

Solução. (b)

Como f(x)=5x , então (fog)(x)= f[g(x)]= 5.g(x) .

Porém, (fog)(x) = f[g(x)]=3x+2 ; logo 5.g(x)=3x+2 , e daí g(x)= .

Solução. (c)

g(3) = 3(3) - 4 = 5 então (fog)(3) = f[g(3)] = f(5) = 52 + 1 = 25 + 1 = 26 . Exemplo 4.54

Sejam f e g duas aplicações definidas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x . Determine as aplicações (gof)(x) e (fog)(x).

Solução.

Temos os seguintes domínios e imagens para cada uma das aplicações: D(f) = R, Im(f) = R, D(g) = R e Im(g) = [-4, + ) .

i) Do fato Im(f)  D(g) então (gof)(x) = g(f(x)) = [f(x)]2 + 4 f(x)  g(f(x)) =[3x - 2]2 + 4[3x - 2] = 9x2 -4 .

Portanto, (gof)(x) = 9x^2 -4 e D(gof) = R .

ii) Do fato Im(g)  D(f) então (fog)(x) = f(g(x)) = 3g(x) - 2  f(g(x)) = 3(x^2 +4x) - 2 = 3x2 + 12x - 2 .

Portanto, (fog)(x) = 3x2 +12x -2 e D(fog) = R .

Muitas vezes são dadas aplicações f(x) e g(x) sem especificar quais são seus domínios; para obter (gof)(x) o domínio de f deve ser escolhido de modo que Im(f)  D(g) .

Exemplo 4.55

Sejam as aplicações h(x) = 10 definida em [-3, 4] e s(x) = x2 - 8 definida em [0, 7] . Determine (hos)(x) e (soh)(x)

Solução. (i)

Solução de (hos)(x)

Temos que D(h) = [-3, 4] e D(s) = [0, 7] .

Por outro lado, (hos)(x) = h(s(x)) = 10  x  [0, 7] e s(x)  [-3, 4] ; isto é,  x  [0, 7] e -3  x^2 - 8  4 então x  [0, 7] e 5  x2  12 .

Portanto, (hos)(x) = 10  x  [ , ]

Solução. (ii)

Solução de (soh)(x) .

Observe que, (soh)(x) = s(h(x)) = [h(x)]^2 - 8 = 102 - 8 = 92 , para todo x  [-3, 4] e h(x)  [0, 7] ; isto é  x  [-3, 4] e 0  10  7 (isto último é absurdo !).

Portanto, não existe (soh)(x)

4.5.7 Imagem inversa de uma aplicação.

Suponhamos que f: A  B seja uma aplicação bijetiva, e b  B. A imagem inversa da aplicação f denotamos por f* , e é o conjunto { a  A /. f(a) = b }

4.5.8 Aplicação inversa.

Seja f:A  B uma aplicação. Em geral f*(B) pode ter mais de um elemento, ou ainda ser o conjunto vazio 

. Definição 4.26 Aplicação inversa.

Se f:A  B é uma aplicação bijetiva, então para cada b  B , a imagem inversa f*(b) consta somente de um elemento em A .

Logo f*:B  A é uma aplicação e f* é chamado “aplicação inversa de f “.

Sejam a aplicação f:C  D, A  C e B  D ,tais f(A) = { f(a)  B /. a  A } e f^*(B) = { a  A /. f(a)  B } .

Podemos considerar estas expressões como regras para aplicações f de P (A) em P (B) assim como para aplicações f* de P (B) em P(A) . Por outro lado, f(a)  f(A)  a  A além disso, a  f*(B)  f(a)  B .

Propriedade 4.6

Se f :A  B e se, { Ai /. i  I } é uma coleção de conjuntos em P(A) , então:

a) f( Ai) = f(Ai) b) f( Ai)  f(Ai) }

Demonstração (b)

1. Seja f(a)  f( Ai)  . . . hipótese.

2.  a  Ai . . . def. de

3.  a  Ai , para todo i  I . . . def. de

4.  f(a)  f(Ai) , para todo i  I . . . def. de f .

5.  f(a)  f(Ai) . . . def. de

Nesta nem sempre é verdadeira a igualdade (b); observe o seguinte exemplo.

Exemplo 4.56

Seja f(x)= |x| para x  [-1, 1] , e consideremos os conjuntos A1 = [-1, 0] e A2 = [0, 1] , temos que A1  A2 = {0} , assim f(A1  A2 )= f({0}) = 0 . Por outro lado, f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1] , logo f(A1)  f(A2) = [0, 1] .

Propriedade 4.7

Se f :A  B é uma aplicação biunívoca e se, { Ai /. i  I } é uma coleção de conjuntos em P(A) , então: f( Ai)= f(Ai).

Demonstração.

1. y  f(Ai) ==> . . . hipótese.

2.  y  f(Ai) para todo i  I . . def. de

3.   xi  Ai , tal que y = f(xi) . . . f é sobrejetiva.

4. Os xi são iguais  i  I . . . f é biunívoca.

5.  x = xi

6.  x  Ai

7.  y  f( Ai)

8. f(Ai)  f( Ai)

Portanto, da Propriedade (4.4) (b) e de (8) segue que f( Ai) = f(Ai) .

Propriedade 4.8

Se f :A  B e se, { Bi /. i  I } é uma coleção de conjuntos em P(B) , então:

a) f*( Bi) = f*(Bi) b) f^*( Bi) = f*(Bi)

Demonstração (a)

1. x  f*( Bi )  . . . hipótese.

2.  f(x)  Bi . . . def. de f* .

3.  f(x)  Bi , para algum i  I . . . def. de B_i.

4.  x  f*(Bi) , para algum i  I . . . def. de f^* .

5.  x  f*(Bi)

Portanto, de (1)-(5), segue que f*( Bi) = f*(Bi)

A demonstração de (b) é exercício para o leitor.