1.5 ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES

Trata-se nesta seção de um conjunto de operações lógicas que podemos realizar, com a utilização dos conectivos da conjunção, disjunção, negação, implicação e bicondicional.

1.5.1 Propriedades da conjunção.

Consideremos p, q, r, s e t proposições simples, então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:

a) p  p  p . . .idempotente.

b) p  q  q  p . . . comutativa.

c) (p  q)  r  p  (q  r) . . . associativa.

d) p  t  p sempre que t verdadeira ( v ) . . . propriedade de p

e) p  s  s sempre que s falsa ( f }) . . . propriedade de s

Demonstração (a)

Na seguinte tabela-verdade observe que as linhas das proposições p  p e p são idênticas, e a bicondicional p  p  p é uma tautologia.

p p  p  p

v v ( v ) v

f f ( v ) f

Assim, tanto, p  p quanto p são proposições logicamente equivalentes.

Demonstração (b)

Com efeito, observando as colunas da tabela-verdade para as proposições p  q e q  p mediante o conectivo  obtemos uma tautologia.

p q p  q  q  p

v v v ( v ) v

v f f ( v ) f

f v f ( v ) f

f f f ( v ) f

Logo, tanto, p  q quanto q  p são proposições logicamente equivalentes.

Demonstração (c)

Temos que a tabela-verdade para a proposição (p  q)  r  p  (q  r) é uma tautologia.

p q r (p  q)  r  p  (q  r)

v v v v ( v ) v

v v f f ( v ) f

v f v f ( v ) f

v f f f ( v ) f

f v v f ( v ) f

f v f f ( v ) f

f f v f ( v ) f

f f f f ( v ) f

Fica mostrado que, tanto (p  q)  r quanto p  (q  r) são proposições logicamente equivalentes.

Demonstração (d) (Propriedade da identidade).

Somente no caso das proposições t verdadeira ( v ) e s falsa ( f ) temos que as proposições p  t  p e p  s  p são tautológicas.

Com efeito, temos as tabela-verdade seguintes:

p t p  t  p p s p  s  s

v v v v v v v f v f

f v f v f f v f v f

Estas propriedades exprimem de t e s são respectivamente o elemento neutro e o elemento absorvente da conjunção.

Exemplo 1.33 Propriedade idempotente.

i) x  3  x  3  x   3

ii) a  8  a  8  a  8

Exemplo 1.34 Propriedade comutativa.

i) x  7  x = 5  x = 5  x  7

ii) a  6  a  15  a  15  a  6

iii) y  6  y  1  1  y  y  6

Exemplo 1.35 Propriedade associativa.

i) ( x  7  x = 5 )  x  12  x  7  ( x = 5  x  12)

ii) (a  6  a  15 )  a  7  a  6  (a  15  a  7)

Exemplo 1.36 Propriedade da identidade.

i) a  3  |a |  0  a  3

ii) x  3  |x |< -2  |x |< -2

1.5.2 Propriedades da disjunção.

Sejam p, q, r, s e t proposições simples, então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades:

a) p  p  p . . .idempotente.

b) p  q  q  p . . . comutativa.

c) (p  q)  r  p  (q  r) . . . associativa.

d) p  t  t sempre que t verdadeira ( v ) . . . propriedade de t

p  s  p sempre que s falsa ( f ) . . . propriedade de p

Demonstração (a)

Na seguinte tabela-verdade as proposições p  p e p são idênticas, e a bicondicional p  p  p é uma tautologia.

p p  p  p

v v ( v ) v

f v ( v ) v

Demonstração (b)

Com efeito, observando as colunas da tabela-verdade para as proposições p  q e q  p mediante o conectivo  obtemos uma tautologia.

p q p  q  q  p

v v v ( v ) v

v f v ( v ) v

f v v ( v ) v

f f f ( v ) f

Demonstração (d)

Somente no caso das proposições t verdadeira ( v ) e s falsa ( f ) temos que as proposições p  t  t e p  s  p são tautológicas.

Com efeito, temos as tabela-verdade seguintes:

p t p  t  t p s p  s  p

v v v ( v ) v v f v ( v ) v

f v v ( v ) v f f f ( v ) v

Estas propriedades exprimem de t e s são respectivamente o elemento absorvente e o elemento neutro da conjunção.

Demonstração (c)

Temos que a tabela-verdade para a proposição (p  q)  r  p  (q  r) é uma tautologia.

p q r (p  q)  r  p  (q  r)

v v v v ( v ) v

v v f v ( v ) v

v f v v ( v ) v

v f f v ( v ) v

f v v v ( v ) v

f v f v ( v ) v

f f v v ( v ) v

f f f f ( v ) f

Exemplo 1.37 Propriedade idempotente.

i) x  3  x  3  x  3

ii) a  8  a  8  a  8

Exemplo 1.38 Propriedade comutativa.

i) x  7  x = 5  x = 5  x  7

ii) a  6  a  15  a  15  a  6

iii) y  6  y  1  1  y  y  6

Exemplo 1.39 Propriedade associativa.

i) ( x  7  x = 5 )  x  12  x = 5  ( x  7  x  12

ii) (a  6  a  15 )  (a  7 )  a  15  (a  6  a  7)

Exemplo 1.40 Propriedade de identidade.

i) a  3  |a |< -1  a  3

ii) x  3  |x | 2  |x | 2

1.5.3 Propriedades da disjunção e conjunção.

Sejam p, q e r proposições simples, temos as seguintes propriedades:

1. Absorção.

(a) p  (p  q)  p

(b) p  (p  q)  p

2. Propriedade distributiva.

(a) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

(b) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

3. Negação.

(a)  ( p )  p

4. Leis de Morgan.

(a)  (p  q)  ( p   q)

(b)  (p  q)  ( p   q)

• Demonstração da propriedade de absorção.

Demonstração (a)

Temos a seguinte tabela-verdade para as proposições p  (p  q) e p

p q p  (p  q)  p

v v v ( v ) v

v f v ( v ) v

f v f ( v ) f

f f f ( v ) f

Observe que a bicondicional p  (p  q)  p é tautologia, logo as proposições p  (p  q) e p são logicamente equivalentes.

Demonstração (b)

De modo análogo, temos a seguinte tabela-verdade para as proposições p  (p  q) e p

p q p  (p  q)  p

v v v ( v ) v

v f v ( v ) v

f v f ( v ) f

f f f ( v ) f

A bicondicional p  (p  q)  p é tautologia, logo as proposições p  (q  r) e p são logicamente equivalentes.

• Demonstração das Leis de Morgan:

Demonstração (a) e (b)

Observe a tabela-verdade para a bicondicional:

p q  (p  q)   p   q p q  (p  q)   p   q

v v f ( v ) f v v f ( v ) f

v f v ( v ) v v f v ( v ) f

f v v ( v ) v f v v ( v ) f

f f v ( v ) v f f v ( v ) v

Nas duas tabelas temos tautologia; logo as proposições indicadas são logicamente equivalentes.

As demais demonstrações é exercício para o leitor.

Propriedade 1.2 Negação da condicional.

Tem-se que a negação da proposição p  q é logicamente equivalente à proposição p   q.

Demonstração.

Com efeito, a mostrar que (p  q)   p  q. Observe a tabela-verdade:

p q p  q   p  q

v v v ( v ) v

v f f ( v ) f

f v v ( v ) v

f f v ( v ) v

Por outro lado, a negação da proposição p  q é a proposição  (p  q), isto é  (p  q)   ( p  q)    p   q  p   q.

Portanto,  (p  q)  p   q.

Propriedade 1.3

A negação da proposição p  q é logicamente equivalente à proposição (p   q)  ( p  q).

Demonstração.

Com efeito temos que p  q é logicamente equivalente à proposição (p  q)  (q  p), isto da seguinte tabela-verdade.

p q (p  q)  (p  q)  (q  p)

v v v ( v ) v

v f f ( v ) f

f v f ( v ) f

f f v ( v ) v

Logo aplicando as regras de Morgan, temos que  (p  q)   ((p  q)  (q  p))   ( p  q )   ( q  p)  ((p   q)  (q   p)).

Portanto,  (p  q)  ((p   q)  (q   p)).

Observação 1.4

A condicional, p  q não satisfaz as propriedades idempotente, comutativa e associativa.

Observação 1.5

A bicondicional p  q não satisfaz a propriedade idempotente, pois é obvio que as proposições p  p e p não são logicamente equivalentes.

A bicondicional satisfaz as propriedades, associativa e comutativa.

1.5.4 Método dedutivo.

Todas as condicionais e bicondicionais lógicas, foram mostradas mediante a utilização de tabela-verdade. No que segue estas condicionais e bicondicionais mostraremos pelo método mais eficiente chamado “método dedutivo”.

Neste “método dedutivo” são de muita importância as equivalências relativas à álgebra de proposições; por exemplo, para a seguinte proposição (p  q )  p, temos:

((p  q )  p )  ( (p  q)  p)  . . . tautologia.

 ( (p  q)  p)  (( p   q)  p)  . . . lei de Morgan.

 (( p   q)  p)  ( p  p )   q)  . . . comutativa.

 ( p  p )   q)  (T   q )  . . . tautologia.

 (T   q )  T . . . tautologia.

Portanto, (p  q )  p é logicamente verdadeira; é tautologia.

Observação 1.6

Denotamos com T as proposições logicamente verdadeiras (tautologias), e com C proposições logicamente falsas (contradição)

Exemplo 1.41

Mostre a implicação: ((p  q)  p)  (modus ponens) é logicamente verdadeira.

Demonstração.

(((p  q)  p)  q)  . . . hipótese.

 ((( p  q)  p )  q) . . . tautologia.

 (( p  p )  (q  p )  q) . . . distributiva.

 (C  (q  p )  q) . . . contradição.

 ((q  p )  q) .. . cancelamento.

 T . . . tautologia.

Portanto, ((p  q)  p )  p é logicamente verdadeira; é tautologia.

1.5.5 Redução do número de conectivos.

Foram estudados cinco conectivos lógicos, entretanto podemos reduzir esse número para dois, entendendo-se com isto que três deles podem ser definidos em função de dois, confirmando-se para estas novas definições a mesma tabela-verdade da proposição original.

Propriedade 1.4

Entre os cinco conectivos lógicos fundamentais: , , , ,  três exprimem-se em termos apenas dos seguintes pares:

a)  e ; b)  e ; c)  e .

Demonstração a)

1o. p  q  ( p    q )   ( p   q)

2o. p  q  ( p  q)

3o. (p  q)  ((p  q)  (q  p))  (( p  q )  ( q  p)) 

  (p   q)   (q   p))   ((p   q)  (q   p))

Demonstração b)

1o. p  q  ( p    q )   ( p   q)

2o. p  q  ( p  q)   (p   q)

3o. (p  q)  ((p  q)  (q  p))  ( (p   q)   ( (p  q)))

Demonstração c)

1o. p  q  ( ( p   q ))   ( p   q)

2o. p  q  ( p  q)  ( p  q)

3o (p  q)  ((p  q)  (q  p))   ((p  q)   ( q  p))

Observação 1.7

1º. Os conectivos ,  e  não se exprimem em termos de  e 

2º. O conectivo  exprime-se em função unicamente de  pela equivalência p  q  ((p  q)  q)

3º. Todos os conectivos exprimem-se em termos de um único  ou .

Definição 1.14 Forma normal.

Diz-se que uma proposição esta na forma normal (FN) se, e somente se, quando muito, contém os conectivos  ,  e  .

Exemplo 1.42

As seguintes proposições estão na forma normal (FN):

 p   q ,  p   q, (p  q)  ( q  r)

Definição 1.16 Forma normal conjuntiva.

Diz-se que uma proposição esta na forma normal conjuntiva (FNC) se, e somente se, são verificadas as seguintes condições:

a) Contém quando muito os conectivos  ,  e ;

b)  opera sobre as proposições simples; e não tem alcance sobre  e ;

c) não aparecem sinais de negação sucessivos como   ;

d)  não tem alcance sobre , não há expressões do tipo p1  (p2 p3).

Exemplo 1.43

As seguintes proposições estão na forma normal (FNC):  p   q ,  p  q  r, ( p  q)  ( q   r)

Exemplo 1.44

• São (FNC) ( p  q)  (r  s  p),  p  q, p   q, p,  q

• Não são (FNC)  p  q,   r, p  (q  r),  (p  q)

Observação 1.8

Para todo proposição composta, é possível determinar uma (FNC) a ela logicamente equivalente. Para isso, usamos as seguintes regras:

a) Eliminando p  q por  p  q e p  q mediante a substituição ( p q)  (p   q).

b) Eliminando as negações repetidas e parênteses precedidos de  pelas regras da “negação dupla” e de “Morgan” .

c) Substituem-se:

1. p  (q  r) por (p  q)  (p  r)

2. (p  q)  r) por (p  q)  (p  r)

Exemplo 1.45

Seja  ((p  q)   q)  (r  q); temos:

1.  ((p  q)   q)  (r  q) . . . hipótese.

2. ( (p  q )   q)  (r  q) . . . lei de Morgan

3. ( p   q)  q )  (r  q) . . . lei de Morgan, tautologia.

4. (( p  q)  ( q  q))  (r  q) . . . tautologia.

5. ((( p  q)  ( q  q))  r)  (( p  q)  ( q  q))  q)

. . . tautologia.

6. ( p  q  r)  ( q  q  r)  ( p  q  q)  ( q  q  q )

Exemplo 1.46

Determine a (FNC) da proposição  (((p  q)   q)  (q  r))

Solução

 (((p  q)   q)  (q  r))  (( (p  q)    q)  ( q   r )) 

 ((( p   q)  q )  ( q   r))  (( p  q)  ( q  q)  ( q   r))

Propriedade 1.5

Uma forma normal conjuntiva (FNC) é tautológica se, e somente se, cada elemento da conjunção é uma tautologia, isto é cada elemento equivale fórmula disjunta formada por p e a negação  p.

Demonstração.

Efetivamente, se cada elemento equivale à formula de tautologia, então cada elemento é tautológico e dai cada um equivale a p   p.

Reciprocamente, se cada elemento equivalente é tautológico p   p, então, a conjunção, que é a (FNC) é tautologia.

Definição 1.16 Forma disjuntiva.

Diz-se que uma proposição esta na forma normal disjuntiva (FND) se, e somente se, são verificadas as seguintes condições:

a) Contém quando muito os conectivos,  e ;

b)  opera sobre as proposições simples; e não tem alcance sobre  e  ;

c) não aparecem sinais de negação sucessivos como   ;

d)  não tem alcance sobre  , não há expressões do tipo p1  (p2  p3)

Exemplo 1.47

As seguintes proposições estão na forma normal disjuntiva (FND):  p  q , p  ( q  r), (p   q)  ( p   q  r)

Exemplo 1.48

• São (FND ) p  (q  r)  ( s  p), p,  p  p,  q,  p  q

• Não são (FND)   p,  (p  q), p  (q  r).

Para todo proposição composta, é possível determinar uma (FND) a ela logicamente equivalente. Para isso, usamos as seguintes regras:

a) Substituem-se p  q por  p  q e p  q por (  q)  (p   q)

b) Utilizando a lei de Morgan, elimina-se o conectivo da negação  que precede ao parênteses.

c) Eliminam-se as negativas múltiplas.

d) Substituem-se:

p  (q  r) por (p  q)  (p  r)

(p  q)  r) por (p  q)  (p  r)

Exemplo 1.49

Determinar a (FND) da proposição: (p  q)  (q  p).

Solução

((p  q)  (q  p))  ((( p  q)   q)  (( p  q)  p) 

 (( p   q)  (q   q)  ( p  p)  (p  q))

Exemplo 1.50

Determinar a (FND) da proposição:  ((p  q)   q)  (r  q).

Solução

1.  ((p  q)   q)  (r  q) . . . hipótese.

2.  (p  q)    q  (r  q) . . . lei de Morgan.

3. ( p   q)  q  (r  q) . . . lei de Morgan.

Propriedade 1.6

Uma fórmula normal disjuntiva é contradição se, e somente se, cada elemento é equivalente à fórmula conjunta p com sua negação  p.

Demonstração

De fato, se cada elemento equivale a p   p então, a disjunção da (FND) é contradição.

Reciprocamente, se a (FND) é contradição, então cada elemento da disjunção é contradição e daí, cada elemento é equivalente a p   p.

Observação 1.9

1. Toda proposição pode ser levada para uma (FN) equivalente pela eliminação dos conectivos  e .

2. Existem duas espécies de (FN) para uma proposição: a forma normal conjuntiva (FNC) e a forma normal disjuntiva (FND).

3. Uma mesma proposição pode ter mais de uma (FNC) ou (FND).

1.5.6 Princípio de dualidade.

Seja P uma proposição que só contem os conectivos ,  e . A proposição que resulta de P trocando cada conectivo  por , cada  por  é chamado de dual de P e denotado por P'.

Propriedade 1.7

Se P e Q são duas proposições equivalentes que somente contem os conectivos ,  e , então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são logicamente equivalentes.

Exemplo 1.51

• Da equivalência p  (p  q)  p, deduz-se pelo principio de dualidade, a equivalência p  (p  q)  p.

• A partir de (p   p)  q  q deduz-se, pelo princípio de dualidade que: (p   p)  q  q

Pequeno dicionário de heurística

Definições: De termos são descrições de seus significados por meio de outros termos que se supõe sejam bem conhecidos.

Os termos técnicos em matemática são de duas categorias: Uns são aceitos como termos primitivos e não se definem (ponto, reta, plano, elemento, conjunto, etc). Outros consideram-se como termos derivados e são definidos normalmente (bissetriz, círculo, parábola, etc).

Diagnóstico: É um termo técnico em educação, com o significado de caracterização mais rigorosa do aproveitamento do aluno.

Equacionamento; É como tradução de um idioma para outro. Esta comparação usada por Newton na sua “Arithmetica Universalis”, pode contribuir para estabelecer a natureza de certas dificuldades muitas vezes encontradas na solução de um problema.

Heurística: Ou heurética era o nome de um certo ramo de estudo, não bem delimitado, pertencente à lógica, à filosofia, muitas vezes delineado mas raramente apresentado com detalhes

Idéia brilhante: É uma expressão coloquial que significa um súbito avanço no sentido da solução.

Exercícios 1-3

1. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e a proposição r falsa, determinar o valor lógico ( v ) ou ( f ) das seguintes proposições:

1. (p  q)  (q  r) 2. ((p  q)  (q  r ))  (r  p)

3. (p  q)  ((q  r)  p)

2. Traduza cada uma das frases para a linguagem do cálculo proposicional; atribua letras às proposições atômicas e use conectivos e parênteses.

1. O Pedro e a Maria vão à escola.

2. Se o Pedro sai com a Maria então o Jorge não.

3. O Pedro sai com a Maria ou o Jorge sai com a Maria, mas não ambos.

4. O Pedro passa a Lógica só se estudar.

5. O Pedro não passa a Lógica a não ser que faça o trabalho de casa e estude.

6. O Pedro inscreveu-se em Lógica, mas a Maria não.

7. O Pedro não passa a Lógica se não fizer o trabalho de casa nem estudar.

8. Não é verdade que Pedro passe a Lógica desde que faça o trabalho de casa e estude.

9. Uma condição suficiente para Pedro passar a Lógica é que ele estude e faça o trabalho de casa.

10. Nem o Pedro nem a Maria gostam do Jorge.

11. Se o Pedro não estudar e fizer o trabalho de casa então ele não passa a Lógica.

12. Se o Pedro e a Maria trabalharem a um ritmo constante então não há perda nem ganho de eficiência quando trabalham juntos.

13. Se perder o minha “Besta” chego 10 minutos atrasado, assumindo que o próximo vem à tabela.

14. Hoje vamos ao parque desde que o carro não se estrague e não chova.

15. Se Lógica é difícil o Pedro e a Maria só passam se estudarem.

3. Mostre as propriedades comutativa e associativa da bicondicional.

4. Determine as regras de Morgan para três proposições.

5. Determine a negação de cada uma das seguintes proposições:

1. É falso que não está nublado ou que está frio.

2. Não é verdade que o pai de Pedro é chileno ou que a mãe é boliviana.

3. Não é verdade de Maria estuda Matemática, mas não Agronomia.

4. Não é verdade que os preços estão aumentando e que as vendas estão diminuendo.

6. Mostre as seguintes propriedades:

1 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 2.  ( p )  p

3. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

7. Sejam as proposições: p : chove, e q : faz frio. Consideremos

P(p, q) : Se chove, então chove ou faz frio.

Q(p, q) : Se chove e não chove, então, não é verdade que se faz frio então chove.

Mostre que P(p,q)  Q(p,q)

8. Sejam as proposições: p : Pedro estuda, e q : Carlos dança. Consideremos

P(p, q) : Não é verdade que, Pedro estuda e Carlos dança.

Q(p, q) : Se Pedro estuda, Carlos não dança.

Mostre que P(p,q)  Q(p,q)

9. Sejam as proposições: p : o quadrado é retângulo e q : o quadrado é paralelogramo. Consideremos

P(p, q) : Se o quadrado não é retângulo, então, ele não é paralelogramo e se ele é retângulo, então, é paralelogramo.

Q(p, q) : Não é verdade que: O quadrado é retângulo e não é paralelogramo ou o quadrado não é retângulo e é paralelogramo.

Mostre que P(p,q)  Q(p,q)

10. Definir ,  e  a partir de  e .

11. Definir ,  e  a partir de  e .

12. Definir  e  em função do símbolo de Sheffer ; idem para o símbolo .

13. Simplificar as proposições:

1.  ( p   q) 2.  (p  q)  ( p  q) 3.  (p  p)

4.  ( p   q) 5. (p  q)  ( p  q) 6. (p  q)   p

7.  ( p  q) 8.p  (p  q)  (p   q)

14. Determinar a (FNC) equivalente para as seguintes proposições:

1. p  (q   r) 2. p  q 3. (p  q)  ( q   p)

4.   p   q 5.  p   q 6. (p  q)  ( q  p)

7. p  q 8.  (p  q) 9.  ( p  q)   r  q

10. p  q 11.  (p  q ) 12. (p  q)  (q  r)  s

15. Determinar a (FND) equivalente para as seguintes proposições:

1.  p  q 2. p  q 3.  ( p  q)   s  q

4.  p   q 5. p  q 6.  ((p  q)   q)  (q  r)

7.  (p  q) 8.  (p  q) 9. (p  q)  (r  q)   s

10.  (p  q)  r 11. p   q 12.    (p  q)   ( p  q)

16. Demonstrar as equivalências:

1. p  (p  q)  p 2. p  (p  q)  p

17. Demonstre a equivalência: (p  q)  ((p  p)  (p  p))  (q  q)

18. Usar o método dedutivo para demonstrar o seguinte:

1. p   p  q 2. (p  q)  q  p  q

3. (p  r)  (q  r)  p  q  r 4. p  p  q  p  q

5. (p  q)  (p  r)  p  q  r 6.  p  p  p

19. Demonstrar: (p  q )  ((p  p)  (q  q))  ((p  p)  (q  q))

20. Determine uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada uma das seguintes proposições:

1. p  q 2.  p  p 3. p   p

4. p  q 5. p  p 6. p   p

7.  p  q)  q 8. (p   p)  (q   q) 9. p   p

10. p  q 11. (p   p )  (q   q ) 12.  p  (q  p)

13. (p  q)  p 14. ( ( p   q))  (r   p )

21. Determinar uma forma normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma das seguintes proposições:

1.  ( p   q) 2.  (p  q) 3. (p  q )   p

4.  (p  q ) 5. (p  q)   p 6.  (p q)

7. p   p 8. p   p 9. p  q

10. p  q 11. p  p 12.  p  p

22. Determine os duais das seguintes proposições.

1.  p  q  r 2.  (p  q)   p 3.  p   (q  r)  s

4.  p  (q  r ) 5.  ( p  q) 6. q  (p  r)

23. Qual é a negação lógica de “Todo cão late?”

24. Mostre que, se P(p, q) é uma (FNC) tautológica se, e somente se,  P(p, q) é contradição.

Sugestão: Use a condição para que (FNC) seja tautológica.

25. Mostre que, P(p, q)  Q(p, q) é tautológica, nas condições do problema anterior, então  Q(p, q)   P(p, q) é tautológica.

Sugestão: Lembrar que (P(p, q)  Q(p, q))   P(p,q)  Q(p, q)

26. Mostre que se P*(p, q) obtém-se de P(p,q), pela troca dos conectivos  e  e negação dos átomos, então P*(p,q)  P(p, q)

27. Num povoado de uma cidadezinha da Amazônia, foi celebrado um juízo no qual são três os acusados, um de eles o culpado sempre mente e os outros dois sempre dizem a verdade.

Um deles não fala o português e o juiz decide considerar como intérprete a os outros dois acusados.

O juiz interrogando ao primeiro que não fala português pergunta: é você culpado? e os interpretes dizem:

O segundo: O acusado falou que não é culpado.

O terceiro: O acusado falou que sim é culpado.

Pergunta-se quem é o culpado?

a) O primeiro. b) O segundo. c) O terceiro.

28. Resolver o seguinte enigma:

Na audiência:

O inspetor Nyko tinha costume de ir à audiência para observar os juízos. Deste modo o inspetor testava sua capacidade de raciocínio. Um dos casos com os que ele se encontrou foi o seguinte:

Temos quatro acusados A, B, C e D. Aconteceram os seguintes fatos:

• Se A é culpado, então B era seu cúmplice.

• Se B é culpado, então o bem C era o cúmplice ou bem A é inocente.

• Se D é inocente, então A é culpado e C é inocente.

• Se D é culpado, também o é A.

Pergunta-se: Quem são os inocentes e quem os culpáveis?

29. Os ovos de galinha são mais baratos do que os de perua.Não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias deovos de galinha; logo:

a) Tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de ovos de galinha.

b) Não tenho dinheiro para comprar duas dúzias de ovos de perua.

Miscelânea 1-1

1. Substituindo ``m'' por ``p'' na palavra “mapa”. O resultado é:

a) papa b) mama c) pama

2. Se trocarmos “p” por “m” na palavra “mapa”. O resultado é:

a) papa b) mama c) pama

3. Traduza cada uma das frases para a linguagem do cálculo proposicional; atribua letras às proposições atômicas e utilize conectivos e parênteses.

1. Se duas retas são coplanares uma condição necessária e suficiente para serem paralelas é que não se interceptem nem coincidam.

2. Se Q é um quadrilátero então Q é um paralelogramo se os seus lados opostos são paralelos e iguais.

3. Se a aplicação f é contínua no intervalo (a, b) então f tem um máximo em [a,b] ou f não é contínua em a e b.

4. Uma condição suficiente para a aplicação f ter um máximo em [a, b] é que f seja contínua em (a,b) e que f seja contínua em ambos a e b.

5. Se f' está definida num intervalo (a,b), uma condição necessária e suficiente para f ser crescente em (a, b) é que f' seja positiva em (a, b).

6. Uma condição necessária e suficiente para f' ser positiva em (a,b) é que f' esteja definida em (a, b) e f seja crescente em (a,b).

7. Se A é uma aproximação de I obtida pelo método do trapézio então se f'' >0 para ?

8. Se 3 e 4 forem substituir x e y, respectivamente, na desigualdade 2x+y < x+3y obtemos a desigualdade 10 < 15.

9. Se , , são três vetores de R3 aplicados na origem, então o conjunto { , , } é linearmente independente se os três vetores estão no mesmo plano.

4. Traduza cada das orações dos seguintes exercícios, em uma declaração no cálculo proposicional.

1. Toda menina boa merece fruta.

2. Meninos bons sempre merecem fruta.

3. Algumas vacas não são pássaros e alguns são.

4. Algumas vacas são pássaros mas nenhuma vaca é pessoa.

5. Alguns números são maiores que dois; outros não são.

6. Todo número menor que 6 também são menores que 600.

5. Determine a negação lógica das seguintes proposições:

1. Ser branco

2. 3  x

3. Todo cão late

4. Se você se comportar bem então, levo você ao circo.

5. Se eu estudo lógica, esta prova é fácil.

6. Eu estudo lógica, e esta prova não é fácil.

7. Estudo lógica, ou esta prova é fácil.

8. Não estudo lógica, e esta prova não é fácil.

9. Se esta prova está difícil então, reprovo em Fundamentos.

10. 3+5  6  5  6-3.

11. Se esta prova está fácil, aprovo em Fundamentos.

6. Sejam A, B conjuntos e seja w um objeto tal que w  A  B, então:

a) w  A e w  B b) w  A e ( w  B ou w  B) c) w  A ou w  B.

7. Um número está formado pelos dígitos: 1, 3, 4, 6, 7 e 8 não necessariamente nessa ordem. O número 7 está depois do 1; o 3 e 4 não são vizinhos do 1 nem do 7. O número 4 e o 1 não são vizinhos do 6; o 6 está depois do 8. Pergunta-se: qual é o número procurado?

8. Foi cometido um delito, os suspeitos são Andrés Arnaez, Bonifácio Benites, Carlos Corso e Dario Diaz. Na defesa Arnaez diz que no momento do fato esteve com Carlos e Benites. Bonifácio diz que no momento do fato esteve com Corso e Andrés. Carlos diz que esteve com Dario. Por último, Diaz diz que esteve com Andrés.

Se duas afirmações coincidem, então são verdadeiras. Pergunta-se quais são os culpáveis? Sabe-se que no máximo duas pessoas cometeram o delito.

9. Cinco aviões Xavantes são identificados por letras de cores diferentes. Cada um dos aviões apresenta uma variação. Todos os pilotos fumam marcas de cigarros diferentes ou cachimbo ou charuto, e praticam esportes distintos.

• o aparelho do coronel Milton tem letras vermelhas e fica próximo do que tem letras amarelas;

• o rádio transmissor do tenente Walter está em pane;

• o piloto do avião com letras verdes fica à direita do avião com letras marrom;

• o major Rui pratica natação;

• o piloto do avião com letras verdes e adora pesca;

• o piloto que fuma charuto está com o altímetro desregulado +20 pés;

• o piloto do avião com letras amarelas fuma “Continental”

• o do avião com letras vermelhas joga “golf”;

• o aparelho do capitão Pedro é o da extrema esquerda;

• o piloto que fuma “Minister”, voa ao lado do avião que está com a pressão do sistema hidráulico caindo;

• o piloto que fuma “Continental” voa ao lado do piloto que está com a bússola desviada 5 graus a mais;

• o piloto que fuma ``Hollywood'' pratica equitação;

• o brigadeiro Washington fuma cachimbo;

• o capitão Pedro voa ao lado do avião com letras azuis;

• o que se dedica a equitação, ao voar, é vizinho do que pratica “golf”.

Pergunta-se:

1. Qual o piloto que pratica tênis?

2. Qual o avião cujo motor está com a temperatura subindo?

10. Quem é o atleta?

Em um bar encontram-se quatro amigos, cujos nomes são: Mário, Marcelo, Rafael e Eduardo. Estes por sua vez são atleta, futebolista, operário e engenheiro, não necessariamente nessa ordem. O atleta é primo de Mário, é o mais jovem de todos e sempre vai ao cinema com Marcelo. Rafael que é mais velho de todos é vizinho do futebolista, que por sua vez é milionário. Mário que é demasiado pobre e tem cinco anos menos que o engenheiro.

11. Quem é a esposa de João?

Os nomes das esposas de Pedro, Pablo, João e Romão são Carmem, Rosa, Ana, Maria, não necessariamente nessa ordem.

Pablo e sua esposa se dirigem a praia e encontram Romão e Pedro

com suas respectivas esposas. Logo falam

Carmem: Olá, faz muito tempo que nos esperam?.

Ana: Não, chegamos faz pouco tempo. Viram a Rosa no caminho?

Pedro: (interrompendo Ana) Olha querida, ela está vindo.

12. Em uma escola privada seis mestres dão aulas do primeiro ao sexto ano.

Seus nomes por ordem alfabética são: Abel, Carlos Diego, Laura, Mário e Silvia.

O professor do sexto ano é o pai do quinto;

O do primeiro ano é sogro do quarto;

Laura em anos anteriores foi professora do terceiro ano, mas não é agora;

Abel é o noivo de Laura, Carlos tem 26 anos;

Mário é muito amigo do professor do sexto ano.

Qual o ano que cada um deles dá aulas?

13. José, Miguel, João, Rosa, Maria e Diana, amigos e estudantes universitários, se encontram em uma festa.

Em um momento em que os seis estão dançando resolvem fazer uma roda composta por quatro deles e os outros no centro da mesma. Se trata de averiguar com quem cada um estuda, se sabe que:

• Maria está dançando com a pessoa que estuda matemática;

• Rosa encontra-se entre José e a pessoa que estuda engenharia;

• A pessoa que estuda química se encontra na frente da que estuda medicina;

• Miguel se encontra a direita de Diana e na esquerda da que estuda medicina;

• Rosa é parente da pessoa que estuda economia;

Então: O que estuda cada um deles, se José não estuda física?

14. Kriztian mente às segundas, terças e quartas-feiras, e fala a verdade nos demais dias da semana. Karyn mente apenas às quintas, sextas e aos sábados. Num certo dia, foram feitas as afirmações:

Kriztian: “ontem foi meu dia de mentir”;

Karyn: "ontem foi também meu dia de mentir".

Qual o dia da semana em que foram feitas estas afirmações?

15. Se Vera disse a verdade, Roberto e Júlio mentiram. Se Júlio mentiu, Regina falou a verdade. Se Regina falou a verdade, Brasília é banhada pelo mar. Ora Brasília não é banhada pelo mar, logo:

a) Vera e Roberto disseram a verdade.

b) Vera e Regina mentiram.

16. Quatro amigas vão ao teatro e uma delas resolve entrar sem pagar. Aparece o vigilante e quer saber qual delas entrou sem pagar.

“Eu não fui”, diz Gabriela.

“Foi a Graziela”, diz a Manuela.

“Foi a Daniela”, diz a Graziela.

“A Manuela não tem razão”, diz a Daniela.

Só uma delas mentiu. Quem não pagou a entrada?