3.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

As operações de união, interseção e de complemento entre conjuntos, verificam varias identidades:

3.3.1 Leis da álgebra de conjuntos.

3.3.1.1 Lei de idempotência.

a) A  A = A b) A  A = A

3.3.1.2 Leis associativas.

a) (A  B)  C = A  (B  C) b) (A  B)  C = A  (B  C)

3.3.1.3 Leis distributivas.

a) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

b) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

3.3.1.4 Leis comutativas.

a) A  B = B  A) b) A  B = B  A

3.3.1.5 Lei de identidade.

a) A   = A b) A  U = U

c) A   =  d) A  U = A

3.3.1.6 Lei de complemento.

a) A  A' = U b) A  A' = 

c) (A')' = A d) U '=   ' = U

3.3.1.7 Leis de Morgan.

a) (A  B)' = A'  B' b) (A  B)' = A'  B'

Observe que o conceito de elemento e de pertinência não aparecem em nenhuma destas propriedades, lembre que estes conceitos eram essenciais no desenvolvimento da teoria de conjuntos em seções anteriores. A relação A é um subconjunto de B define-se na álgebra de conjuntos por: A  B significa A  B = A.

Exemplo 3.35

Mostre que (A  B)  (A  B') = A

Demonstração

1. (A  B)  (A  B') . . . hipótese.

2. (A  B)  (A  B') = A  (B  B') . . . lei distributiva.

3. B  B'= U . . . lei de complemento.

4. (A  B)  (A  B') = A  U . . . (3) em (2), substituição.

5. A  U = A . . . lei de identidade.

6. Por tanto, (A  B)  (A  B') = A . . . (5) em (4), substituição.

Exemplo 3.36

Mostre que A  B e B  C  A  C

Demonstração

1. A  B e B C . . . hipótese.

2. A  B = A e B  C =B . . . definição de subconjuntos.

3. (A  (B  C)) = A . . . substituição.

4. ((A  B)  C) = A . . . lei associativa.

5. (A  C) = A . . . substituição.

6. Por tanto, A  C . . . def. de subconjunto.

3.3.2 Princípio de dualidade.

Se intercaláramos  por , assim como U por  em qualquer raciocínio sobre conjuntos, o novo enunciado resultante é chamado dual do primeiro.

Exemplo 3.37

O dual do conjunto (U  B)  (A   ) é o conjunto (  B)  (A  U).

Observe que o dual de cada lei da álgebra de conjuntos, encontra-se na mesma lei; fato de muita importância pela seguinte propriedade.

Propriedade 3.12 Princípio de dualidade.

Se alguns axiomas implicam seus próprios duais, então o dual de qualquer teorema que seja conseqüência dos axiomas, é também conseqüência dos axiomas.

Isto significa que, dados qualquer teorema e sua demonstração, o dual do teorema podemos demonstrar do mesmo modo aplicando o dual da cada passo da primeira demonstração.

Exemplo 3.38

Mostre que (A  B)  (A  B') = A

Demonstração

Observe que o dual de (A  B)  (A  B') = A é (A  B)  (A  B') = A mostrado que a igualdade é verdadeira no Exemplo (3.32). Portanto a igualdade é verdadeira pelo princípio de dualidade.

3.3.3 Família de conjuntos.

Sejam os conjuntos A1 = { a, b }, A2 = { a, b, c }, A3 = { a, d, e, g }, A4 = { b, c, g, f }, A5 = { c, d, g, m, n } e o conjunto I = { 1, 2, 3, 4, 5}.

Observe que, para cada elemento i  I corresponde um conjunto Ai. Dizemos então que I é o conjunto de índices, e que os conjuntos A1, A2, A3, A4, A5 estão induzidos. Uma família de conjuntos induzidos denotamos por F = {Ai}i  I

Em uma família induzida de conjuntos, podemos observar que a cada elemento i  I, corresponde um único conjunto Ai, assim podemos estabelecer uma relação de I para {Ai}i  I. O conjunto I também pode ser um conjunto não finito.

Exemplo 3.39

• Seja An = [- , ] onde n  N. Então temos que A1=[-1, 1], A2 = [- , ], A3 = [- , ], . . .

• Seja Bn = { x /. x é múltiplo de n } onde n  Z.

Então B1 = { . . . , -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, . . . , }, B2 = { . . . , -4 , -2, 0, 2 , 4 , 6 , . . . }, B3 = { . . . , -6, -3, 0, 3, 6, 9, . . . }, B4 = { . . . , -8, - 4, 0 , 4 , 8 , 12, . . . }, . . . B10 = { . . . , -20, -10, 0 , 10, 20, 30, . . . }

3.3.4 Axioma das uniões.

Se A1 e A2 são conjuntos, é natural querer às vezes unir seus elementos dentro de um conjunto que os compreenda. Uma maneira de descrever tal conjunto compreensivo é exigir que ele contenha todos os elementos que pertençam a pelo menos um dos membros do par { A1, A2 }. A questão é saber se a união de uma família de conjuntos é ou não um conjunto, esta formulação sugere uma generalização abrangente de si mesma; certamente uma construção semelhante poderia ter sido aplicada a coleções arbitrarias de conjuntos e não só a pares de conjuntos. O que se deseja, em outras palavras, é um quinto axioma o das uniões.

Axioma 3.5 Das uniões (5º. axioma de Zermelo).

Para toda família de conjuntos existe um conjunto que contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos da dada família.

Isto é, suponha temos a família de conjuntos F = {Ai}i  I, e denotamos Ai o conjunto que contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos da dada família. O axioma diz:

Ai = { a /. a  X para algum X  F }

Este conjunto Ai é chamado de união da família F.

Propriedade 3.13

Tem-se as seguintes propriedades para a união:

i)  A1, Ai /. A1  Ai  A1  Ai

ii)  =  iii) A = A

Demonstração i)

Seja A1  Ai, então  a  A_1 tem-se que a  Ai .

Portanto, A1  Ai.

Demonstração (ii)

Pelo Axioma (3.5) tem-se que  = { a /. a  X para algum X  F }, onde F = {  }. Assim,    .

Inversamente.

Para todo conjunto X, tem-se que X  F, então    .

Portanto,  =  .

Demonstração iii)

Seja a  A, então pelo Axioma (3.5) a  A para algum A  G da família G = { A }, logo A  A .

Inversamente.

Seja a  A, pela definição de G, tem-se que x  A para algum A  G, logo A  A.

Portanto, A = A

Conseqüência imediata do Axioma (3.5) é que a união de dois conjuntos também é um conjunto. Assim a classe união de classes é bem definida como mostra a seguinte propriedade.

Propriedade 3.14

Para todo par de conjuntos A1, A2 tem-se que Ai = A1  A2, onde I = { 1, 2 }

Demonstração.

Com efeito, seja a  Ai , então a  X para algum X  { A1, A2 }.

Assim, a  A1 ou a  A2, isto é a  A1  A2 .

Logo, Ai  A1  A2.

Inversamente.

Seja a  A1  A2, então a  X para algum X  { A1, A2 }, logo a  Ai onde I = { 1, 2 }. Isto implica que A1  A2  Ai .

Portanto, Ai = A1  A2.

3.3.5 Operações generalizadas.

A existência da operação geral da interseção depende do fato que, para toda família não vazia de conjuntos existe um conjunto que contém exatamente aqueles elementos que pertencem a cada um dos conjuntos da dada família.

Isto é, para toda coleção F, existe outra não vazia A tal que a  A se e somente se a  X para todo X  F. Este conjunto A é chamado interseção da família F.

Então, as operações de união e interseção, definidas para conjuntos podemos generalizar por indução a um número finito de conjuntos; assim dados os conjuntos A1, A2, A3, A4, A5, . . . A_n, podemos escrever:

Ai = A1  A2  A3  A4  A5  . . .  An

Ai = A1  A2  A3  A4  A5  . . .  An

Pela lei associativa, a interseção (união) de uma família de conjuntos, podemos agrupar em qualquer modo; por exemplo, seja J  I e a família de conjuntos {Ai}i  I. Assim tem-se as classes:

• A classe da união generalizada: Ai = { x /.  i  J  x  Ai }

• A classe da interseção generalizada: Ai = { x /.  i  J  x  Ai }

Propriedade 3.15 Leis de Morgan.

Dado um conjunto X, seja C = { Ai /. i  I } uma família de subconjuntos de X com conjunto de índices I, então:

i) C( Ai) = C(Ai)

ii) C( Ai) = C(Ai)

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Exemplo 3.40

• Sejam A1= { 2, 4, 6, 10 }, A2 ={ 1, 10 }, A3 ={ 6, 5, 10 }, A4 ={ 3 , 9, 6 }, A5 ={ 8, 4 } e J = { 1, 3, 4 }.

Então Ai = { 2, 4, 6, 10, 5, 3, 9 } e Ai = { 6 }

• Seja Bn = [- , ] onde n  N.

Então Bi = [-1, 1] e Bi = { 0 }

• Seja Cn = { x /. x é múltiplo de n  N }.

Então Ci = N e Ci = {0}

Propriedade 3.16

Dada uma família induzida de conjuntos {Ai}i  I, para qualquer conjunto B temos as seguintes igualdades:

a) B  ( Ai) = (B  Ai) b) B  ( Ai) = (B  Ai)

Demonstração (a)

1. Seja x  B  ( Ai) . . . hipótese.

2. x  B  x  ( Ai) . . . def. de .

3. x  B  x  Ai para algum i  N . . . def. de Ai

4. x  (B  Ai) para algum i  N . . . def. de 

5. x  (B  Ai) . . . def. de

6. B  ( Ai)  (B  Ai) . . . de (1)-(5)

Inversamente (exercício para o leitor)

Portanto, de (6) e (7) segue que B  ( Ai) = (B  Ai)

A demonstração de b) é exercício para o leitor.

Dado um conjunto T, dizemos que T funciona como um conjunto de índices para a família F = {A} de conjuntos se para todo   T existe um conjunto A na família F. O conjunto T pode ser finito ou infinito. Freqüentemente usamos o conjunto dos números inteiros não negativos como conjunto de índices, porém T pode ser qualquer conjunto não vazio.

Sejam   T e A, indicamos a reunião dos conjuntos A como A e definimos a reunião dos conjuntos A como o conjunto { x /. x  A para pelo menos um   T}; a interseção dos conjuntos A indicamos como A e definimos como o conjunto { x /. x  A para todo   T }.

Dois conjuntos A e A são disjuntos, se para    temos que A  A =  é o conjunto vazio.

Exemplo 3.41

Seja S = R o conjunto de números reais e T = Q o conjunto de números racionais; para cada   Q seja A = { x  R /. x  }. Observe que A = R entanto A =  ; os conjuntos A são mutuamente disjuntos.

Exemplo 3.42

Sejam A1, A2, A3, . . . An conjuntos arbitrários. Mostrar que P(Ai) = P( Ai) .

Demonstração.

1. Seja X  P(Ai) . . . hipótese (conclusão)

2.  X  P(Ai) para todo i = 1, 2, 3, . . . , n . . . . def.

3.  X  A_i def. conj. potência

4.  X  Ai l propriedade da 

5.  X  P( Ai) conclusão (hipótese)

Portanto, P(Ai) = P( Ai) .

Observação 3.7

Em geral para a união cumpre-se que: P(Ai)  P( Ai) .

3.3.6 Axioma do conjunto vazio.

Suponha temos a família F = { Ai /. i  N} onde os conjuntos Ai são todos o conjunto vazio.

Para família de conjuntos, temos a seguinte propriedade:

Propriedade 3.17

A interseção de uma família de conjuntos vazios é a classe universal.

Demonstração.

Pela classe da interseção arbitrara sabe-se que Ai = { x /.  i  N então x  Ai }.

Para todo x  Ai tem-se que x  C(x) e, para todo i  N tem-se que x  Ai onde Ai  F , assim somente acontece que x  C(x).

Logo Ai = { x /. x  C(x) } = { x /. x = x }= U .

Portanto,  = U.

Axioma 3.6 Do conjunto vazio (10º. axioma de Neumann-Bernays-Gödel- Quine).

Existe um conjunto sem elementos C().

Conseqüência deste axioma é a seguinte propriedade:

Propriedade 3.18

A interseção de uma família de conjuntos universais, é o conjunto vazio.

Demonstração.

Pelo absurdo.

Suponhamos que  U   .

Sabe-se que  U = { x /.  y  U, tem-se que x  C(y) }.

Como  U   então, [ U  C(  )] implica que   U. Assim, existe x   , logo  é não vazio. Contradição !

Portanto, não é verdade que  U   ;assim,  U =  .

Exercícios 3-2

1. Mostre que, uma condição necessária e suficiente para que (A  B)  C = A  (B  C) é que C  A.

2. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B= { 5, 3, 2, 7 }, C = { 8, 4, 1, 6 } e U = { x  N /. 1  x  8 } calcular o seguinte:

1. A  B 2. [(A'  B') (A - C)]' 3. [(A- B)- (A - C)]'

4. A  B 5. [(A'  B')- (A'  C')]' 6. [(A  B)- (A  C)]'

7. (A-B)' 8. [(A'  B')- (A'  C')]' 9. [(A  B)- (A  C)]'

10. (A  B)  C 11. (A'  B)' C 12. [(A- B)  (A - C)]'

13. [C - (A  B)]' 14. [(A'  B') (A - C)]' 15. [(A  B) (A - C)]'

3. Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, demonstre as seguintes proposições:

1. A  A = A 2. A  B = B  A

3. A  (B  C) = (A  B)  C 4. A  B = B  A

5. A  A  B e A  B  A 6. A  A = A

7. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 8. A   = 

9. A  B  A e A  B  B 10. A   = A

11. A  ( B  C) = (A  B)  C 12. A - A = 

13. A  B =   A =   B =  14. A - (A - A) = A

4. Dados: A={ x  R /. -3  x  5 }, B = { x  R /. 0  x  9 } e C = { x  R /. 4  x  8 }. Determine o conjunto A  B  C

5. Sejam: A={ a  N /. a é múltiplo de 2 }, B = { b  N /. b é múltiplo de 4 }. Demonstre que A - B = { c  N /. c = 2k, k é ímpar }

6. Demonstrar as seguintes proposições.

1. Se A  B e C é um conjuntos quaisquer, então A  C  B  C.

2. Se A  B e C é um conjuntos quaisquer, então A  C  B  C.

3. Se A  B e B  C, então A  C.

4. A  B se, e somente se, A  B = A.

5. B  A se, e somente se, A = A  B.

6. Se B  A, então (A - B)  B = A.

7. Sejam os conjuntos A, B, C qualquer. Demonstrar o seguinte:

1. A  (B-C)  A - (B  C)

2. (A - B)  C  A - (B  C )

3. (A-B)  B = A  B  A

4. A  (B-C ) = (A  B) - (C - A)

5. A - (A - B) = A  B &

6. A  (B- C ) = (A  B) - (A  C)

7. A  (B - A) = 

8. (A – C )  (B - C ) = (A  B) - C

9. A - (B-A) = A

10. (A - B)  (B - A) = (A  B) - (A  B)

11. A  U = A

12. (C-D)  (A-B)  (C  A) - (B  D)

13. B  A  B - C  A - C

14. B  A  C - A  C - B

15. A - (A - A) = A

16. (A - B)  (A - C)  A - (B  C)

17. (A  B) - C  A  (B - C)

18. A = (A  B)  (A - B)

8. Para cada proposição, mostre com um exemplo que:

1. A - (B  C)  A  (B-C)

2. A - (B  C)  (A-B)  C)

3. Não é verdade que A - (B-C) = (A-B)  (A - C)

4. (C  A) - (B  D)  (C-D)  (A-B)

5. A - (B  C)  (A - B)  (A - C)

6. A  (B - C)  (A  B) - C

9. Demonstrar que:

1. A  B  (A - A  B)  (B - A  B e ilustre usando diagrama de Venn.

2. Dar um exemplo que a outra inclusão A  B  (A - A  B)  (B - A  B ) não se cumpre.

3. Dar uma condição necessária e suficiente para que se cumpra a igualdade: A  B =(A - A  B)  (B - A  B )

10. Dados três conjuntos quaisquer, demonstre que:

1. A  B = (A  B')(A'  B) 2. (A  B)  C = (A  C)  (B  C)

3. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

11. Determine se o seguinte é verdadeiro. Justificar sua resposta.

1. Se A - B =  , então A = B.

2. A  B A  (B  C), onde C é conjunto arbitrário, C  A e C  B.

3. A - B =  e B - A =   A = B.

12. Demonstre que:

1. B - An = (B – An) 2. B - An = (B - An)

13. Sejam An  An+1 para n  N. Demonstre que An = A1 [ (An - An-1)]

14. Seja M um conjunto finito, para cada x  M definimos o conjunto Nx = M - {x}. Determine:

1. Nx 2. Nx

15. Sejam A_i subconjunto do conjunto U para i = 1, 2, ,3, . . . , n. Demonstre que:

1. CU[ Ai] = CU(Ai) 2. CU[ Ai] = CU(Ai)

16. Suponhamos An = { x  N /. x é múltiplo de n }, onde n  N. Determine:

1. A7  A2 2. A6  A8 3. A3  A2 4. As  Ast

17. Seja Bi = [i, i+1) um intervalo semi-aberto i N.Determine:

1. B5+i 2. B5+i 3. B_4  B_5 4. B6  B7

18. Sejam A, B subconjuntos de um conjunto X. Mostre que X - A = B se e somente se A  B = X, A  B = .

19. Mostre que se A  B se e somente se A- B =  .

20. Dados os conjuntos X e A, B, C  X defina o conjunto A - (B- C)). Os conjuntos A - (B-C) e (A-B)-C são iguais, justifique.

21. Sejam A0 =  , An = An-1  {An-1}, n  N. Descrever explicitamente A1, A2, A3, A4.

1. Quantos elementos tem cada um destes conjuntos?

2. Quantos elementos tem An sendo n arbitrário?

22. Seja A1 um conjunto arbitrário, e definimos An+1 = P(An), n  N, A = An. É verdade que B  A se e somente se P(B)  A ?

23. Para cada k  N, seja Ak = { n  Z /. n  k }, verificar que:

A1  A2  A3  . . .  Ak  Ak+1  . . .

por conseguinte An = Ak   para qualquer k  N. Porém An = .

24. Para cada n  N seja An = [0, 1- ], Bn = [0, 1- ]. Mostre que An está estritamente contido em Bn para todo n  N.

A união de todos os An está estritamente contida na união dos Bn? Sugestão: Mostre que An = Bn = [0, 1).

25. Leia com atenção:

a) Em um hospital existem 2 médicos pediatras, paulistas, recém- formados;

b) Há 12 médicos recém- formados;

c) Há 13 médicos pediatras;

d) Há 11 médicos paulistas;

e) Há 4 médicos pediatras que não são paulistas nem recém- formados;

f) Existem 5 médicos recém- formados que não são paulistas nem pediatras;

g) São 3 médicos paulistas que não são recém formados e nem pediatras;

h) O total é de 23 pessoas.

Quantos são os médicos paulistas recém formados, que não são pediatras?

26. O resultado do levantamento de preferência de suco de frutas de maça, morango e abacaxi, é o seguinte: 60% gostam de maça, 50% gostam de morango, 40% gostam de abacaxi, 30% gostam de maça e abacaxi, 20% gostam de morango e abacaxi, 15% gostam de maça e abacaxi e 5% gostam os três sabores.Qual é a porcentagem de pessoas da pesquisa que não gosta suco de frutas mencionadas?

27. Na Licenciatura de Matemática do UFT foi realizada uma pesquisa com 100 estudantes, que reprovaram matérias e o resultado foi o seguinte: 28 reprovaram em Cálculo II, 30 em Cálculo I, 42 em Fundamentos, 8 em Cálculo II e Cálculo I, 10 em Cálculo II e Fundamentos, 5 em Cálculo I e Fundamentos e 3 nas três matérias.

a) Quantos alunos não reprovaram estas três matérias?

b) Quantos alunos somente reprovaram em Fundamentos?

c) Quantos estudantes foram reprovados em Cálculo II ou Cálculo I mas não em Fundamentos?

28. Assistiram a um jogo de futebol 120 torcedores, num gol mal cobrado pelo juiz todos brigaram e o resultado foi o seguinte: 45 foram feridos na cabeça, 42 no braço, 40 na perna, somente: 7 foram feridos na cabeça e braço, 12 na perna e braço, 15 na perna e cabeça. Se os 120 foram feridos, averiguar quantos feridos houve nos três lugares do corpo.

29. No ano de 2002, de um total de 41 alunos do 1^o da Licenciatura em Matemática que participaram das provas das disciplinas Cálculo I (C), Fundamentos da Matemática (F) e Geometria (G), obteve-se a seguinte informação:

Disciplinas C F G C, F C, G F, G C, F, G

Alunos reprovados 12 5 8 2 6 3 1

Pergunta-se: Qual o número de estudantes que aprovaram as três disciplinas?