MODELO NEOCLÁSICO DE CRECIMIENTO: MODELO DE SOLOW

EL MODELO DE SOLOW (1956)

“La théorie néoclassique de la croissance dérive du modele de Harrod, ne serait-ce que dans un esprit de négation dialectique. Elle n´éxistait pas Aupara Vant”. Josef Steindl.

En su modelo, Solow trata de demostrar que si se descarta la hipótesis según la cual la producción se da en condiciones de proporciones fijas que Harrod plantea en su modelo, el crecimiento regular no sería inestable sino estable. Para llegar a la conclusión de un crecimiento regular estable Solow formulo un modelo de equilibrio general en el cual modificó un aspecto del modelo de Harrod, admitió una función de producción que permite la sustitución de factores (es decir, capital y trabajo).

En dicho modelo, Solow incorpora el equilibrio macroeconómico entre ahorro e inversión; incluye: al capital físico como un activo acumulable; a la mano de obra como reproducible; al ahorro real como función del ingreso; la tasa de depreciación y el crecimiento poblacional.

De manera general podemos decir que, en rigor, el modelo de Solow es un modelo de la síntesis clásico-keynesiana y parte de las siguientes hipótesis:

1) Del Keynesianismo retomó las siguientes hipótesis:

- En el mercado de bienes: El ahorro es función del ingreso. La relación entre ahorro y la tasa de interés del enfoque neoclásico no ha sido considerada; conservo la ley psicológica fundamental de Keynes.

- En el mercado de trabajo: rechazó la teoría neoclásica, en el sentido de que la oferta de trabajo es independiente del salario real.

2) De la óptica clásica o neoclásica retomó:

- La función de producción con factores sustitutivos.

- Todo el ahorro es invertido, por consiguiente necesariamente hay equilibrio en el mercado de los productos y por lo tanto no existe problema de salida o de demanda.

Supuestos del Modelo de Solow (Versión Simple).

I Función de Producción. Una vez descartada la hipótesis de un coeficiente de capital constante, Solow plantea una función de producción que permite sustitución entre los factores de manera que dicha función puede ser expresada de la siguiente manera:

(1)

Donde: K corresponde al capital, L al trabajo e Y al producto.

Esta ecuación (1) representa el lado de la oferta de una economía simplificada y señala que el producto producido está en función del acervo de capital y del monto de mano de obra.

La función de producción describe rendimientos constantes a escala, es decir, si se aumentan (o disminuyen) los factores de producción en determinada proporción, por ejemplo (A), el producto aumentaría (o disminuiría) en la misma proporción, o sea, (A). De ahí que la función de producción pueda ser reescrita de la siguiente manera:

(2)

El supuesto de rendimientos constantes a escala permite trabajar con la función de producción en su forma intensiva, o, dicho de otra manera nos permite escribir la función de producción en términos per capita. Si , la función descrita sería:

(3)

Donde: , cantidad de capital por unidad de trabajo.

producción por unidad de trabajo.

La ecuación (3) expresa el producto por unidad de trabajo como una función del capital por unidad de trabajo solamente. Para entender la intuición de esta ecuación, supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcional en L y K; el producto por trabajador no cambiaría, es decir, mientras que la razón permanezca igual, la ecuación (3) seguirá siendo la misma, dado que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala.

De manera que la producción por trabajador no depende del tamaño total de la economía sino como ya planteamos, de la cantidad de capital por trabajador o de capital por persona activa.

Como es sabido, la teoría de la producción se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de producción para los que el producto marginal es positivo pero decreciente, de manera que para nuestra función de producción representada en la ecuación (3) tenemos:

Donde: es el producto marginal del capital. La segunda derivada nos indica que f(k) es cóncava y tiene un máximo.

Gráficamente:

f(k)

k

Otras condiciones que debe satisfacer la función de producción [ecuación (3)] son las condiciones de INADA, es decir:

Esas condiciones (rendimientos constantes, producto marginal positivo pero decreciente y las condiciones de INADA) que cumple la función de producción (ecuación 3) garantizan la no-divergencia de la economía, de manera que se llega a un equilibrio estacionario único.

I FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Cobb-Douglas

Generalmente se considera a la función Cobb-Douglas como un ejemplo específico de una función de producción neoclásica, es decir, que es homogénea de grado uno o linealmente homogénea, con rendimientos constantes a escala y, además, con rendimientos marginales (productividades marginales), de cada uno de los factores, positivos y decrecientes, de manera que la ecuación (1) puede ser reescrita de la siguiente manera:

con (4)

Esta función es homogénea de grado uno si para cualquier número positivo arbitrario A, tenemos:

Para encontrar la forma intensiva hacemos , así tenemos:

(5)

La productividad marginal del capital (k) es positiva;

,

La segunda derivada es negativa:

,

Las condiciones de INADA correspondientes son:

, es decir,

, es decir,

II. Crecimiento de la Población

Para evitar las cuestiones relativas al desempleo, Solow considera que toda la población está empleada y, además, crece a una tasa constante determinada exógenamente. Su forma funcional es:

(6)

III. Evolución del Capital (K) y Tasa de Ahorro.

En este modelo simple, Solow asume que la tasa de ahorro (s) está dada y es una parte constante de la renta.

, (7)

Esta parte preestablecida y constante de la tasa de ahorro, viola el supuesto de maximización (optimización) de los agentes económicos, además determina el nivel de consumo:

(8)

donde C es el consumo.

A pesar de lo anterior, Solow (1956) en su modelo utilizó este supuesto para simplificar el análisis.

Además, añade una ecuación, para representar la evolución del proceso de acumulación de capital (stock de k):

Sin depreciación ó (9)

Con depreciación ó

El capital, K, no está ajustado. K es la cantidad de capital por trabajador o relación capital-trabajo. ? es la depreciación que es constante. .

Con esa descripción de los supuestos del modelo simple de Solow, ya podemos pasar al estudio de la dinámica de este modelo. Recuérdese, que visto que la población o la fuerza de trabajo crece a una tasa constante ? determinada exógenamente, el insumo que se analizará es la cantidad de capital por trabajo (k):

Sin depreciación:

(10)

Con depreciación:

(11)

Podemos expresar las ecuaciones (31) y (32) al especificar la función de producción Cobb-Douglas de rendimientos constantes a escala:

(10’)

Ahora dividiendo entre k:

(10’’)

(11’)

Ahora dividiendo entre k:

(11’’)

El miembro izquierdo de la ecuación 11? representa la tasa de crecimiento del capital per capita y es igual a la diferencia entre (curva de ahorro) y (curva de depreciación).

La curva de ahorro es decreciente, tiende a cero cuando k se aproxima a infinito y se aproxima a infinito cuando k se acerca a cero (CONDICIONES INADA).

En cuanto a la curva de depreciación es horizontal, es decir, es independiente de k. Considerando que ésta es estrictamente positiva y la curva toma valores entre cero e infinito, las dos funciones (curvas) se cruzan una sola vez en la gráfica (punto P) y la k* correspondiente que representa a este punto es el capital per capita que existe en el estado estacionario.

En ausencia de tecnología, cuando la economía empieza muy por debajo del estado estacionario (k*), es decir en k0, se dice que la economía parte de una reducida razón capital-trabajo y los ahorros sirven para pagar el nuevo capital (después de la amortización). En razón de la disminución del rendimiento del capital marginal, el producto marginal del capital baja a medida que la razón capital-trabajo aumenta. Además, en este modelo de Solow la tasa de ahorro es exógena y representa una fracción constante del ingreso. Por consiguiente, cada nueva unidad de capital produce menor ingreso y menos ahorro, lo que deja menos ingreso para la acumulación de capital. A largo plazo (en k*) la razón capital-trabajo alcanza un nivel de rendimiento de capital que corresponde a su amortización, es decir, los ahorros nada más alcanzan para pagar la amortización del capital físico. No hay incentivo para invertir en el nuevo capital. Por lo tanto, la acumulación del capital y el crecimiento se detienen, la economía alcanza un estado estacionario (un estado de equilibrio a largo plazo).

Si la economía se encuentra en k1, su comportamiento es simétrico, es decir la economía termina por alcanzar el estado estacionario. De manera resumida, podemos decir, que cualesquiera que sean las rutas iniciales de la economía, ésta terminará en el estado estacionario. Por lo tanto, el sistema es estable y allí Y, K, L crecen a la tasa n, es decir, .

Estos resultados que observamos en el estado estacionario -que es una construcción teórica- no concuerdan con los hechos estilizados del crecimiento. En un estado de la vida real, tanto el capital como el producto tienden a crecer a la misma tasa, pero con mayor velocidad que L, es decir,

Para paliar esta diferencia, el modelo neoclásico (versión Solow) introduce el progreso técnico (A). Éste constituye un factor exógeno que crece a un ritmo constante (?) y es esencial para el crecimiento económico a largo plazo. El progreso tecnológico mejora la productividad del trabajo, impidiendo la baja del producto marginal del capital cuando la razón capital-trabajo aumenta.

A largo plazo, el capital, el producto y AL crecen a la tasa , donde AL es la fuerza de trabajo eficiente. Este progreso técnico es exógeno, es decir, no se sabe nada acerca de sus características, no ha sido sujeto a ningún análisis económico.

El modelo de Solow (ampliado) puede ser representado a través de la siguiente función de producción:

El mismo análisis que hemos hecho para el caso del modelo simple es también válido aquí, pero como ya dijimos en el párrafo anterior:

Este caso está más de acuerdo con los hechos estilizados de la realidad económica.

El progreso técnico constituye un factor exógeno que crece a un ritmo constante y es esencial para el crecimiento económico a largo plazo. El progreso técnico mejora la productividad del trabajo, impidiendo la baja del producto marginal del capital cuando la razón aumenta. Considerando que a largo plazo el crecimiento de la tecnología nunca llega al límite, a un tope, como tampoco la productividad del trabajo, por consiguiente, la tasa de crecimiento del ingreso real per capita no puede ser reducida a cero.

Para el contexto de este modelo, el crecimiento económico es durable, pero los factores que explican la tasa de crecimiento de largo plazo son analizados y tomados exógenamente (tasa de crecimiento de la población, tasa de crecimiento del progreso técnico).

Esta concepción del progreso técnico es relativamente débil, dado que su naturaleza no es especificada, y su ritmo determinado fuera de la esfera económica.

Para contrarrestar la inestabilidad del crecimiento observado en el modelo de Harrod-Domar, originado a raíz de una función de producción que no permite sustitución entre los factores, Solow en su modelo incluye la posibilidad de sustituir los factores de producción, además incluyó de manera exógena al progreso técnico. De tal manera que existen fuerzas capaces de llevar a la economía al estado estacionario.

En efecto, como hemos podido observar, este equilibrio en el estado estacionario es único y estable. A pesar de esta aportación de Solow, su modelo no respondía a algunas preguntas relevantes de la teoría del crecimiento. A saber:

1) ¿De dónde se origina la tecnología?

2) Las razones económicas que explican que las familias ahorran una parte constante de su renta

3) La no convergencia

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